2.1.1直线的倾斜角与斜率导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.1.1　直线的倾斜角与斜率 【学习目标】1．结合图形，探索确定直线位置的几何要素：点和方向． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念．掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．理解倾斜角与斜率的关系，会求倾斜角与斜率范围． 【学习重难点】重点：了解直线的倾斜角和斜率的概念 难点：理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性 【知识梳理】 一、直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 范围 直线的倾斜角α的取值范围为{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 说明：直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于x轴正向位置的刻画，如图. 倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 二、直线的斜率 1．直线的斜率 定义 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α 公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝ 注：直线的倾斜角和直线的斜率都是刻画直线的倾斜程度的一个量，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2．倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率(范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 三、直线的方向向量 一般地，如果已知(x，y)为直线l的一个方向向量，则 (1)当x＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)当x≠0时，直线l的斜率存在，设为k，则k＝，即斜率为k的直线的一个方向向量的坐标可以为(1，k)． 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角．(　 ) (2)一条直线的倾斜角可以为－30°.(　 ) (3)倾斜角为0°的直线有无数条．(　 ) (4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　 ) A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．α＋40°或α－140° 解析：选D　根据题意，画出图象，如图所示． 因为0° ≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D. 3．已知直线l经过A(－1,0)，B(1,2)两点，则直线l的倾斜角是(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　设直线l的倾斜角为α，由已知可得直线l的斜率k＝tan α＝＝1，又α∈[0，π)，所以倾斜角是，故选B. 4．已知直线l1经过点M(－4,3)，N(8，－2)且直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的一半，则直线l2的斜率为____________． 解析：设直线l1的倾斜角为α，则直线l1的斜率k1＝tan α＝＝－，由于α∈[0，π)，所以sin α＝，cos α＝－，所以直线l2的斜率k2＝tan＝＝＝5. 答案：5 5．已知直线l的一个方向向量为(，1)，则直线l的倾斜角θ＝(　 ) A．0 B. C. D. 解析：选B　由题意知，因为直线l的一个方向向量为(，1)，所以直线l的斜率k＝＝.又k＝tan θ，所以tan θ＝.因为θ∈[0，π)，所以θ＝. 【典例分析】 例1、经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角． ①A(2,3)，B(4,5)； ②C(－2,3)，D(2，－1)； ③P(－3,1)，Q(－3,10)； ④M(2,4)，N(－3,4)． ⑤A(a,2)，B(3,6) 解　①存在．直线AB的斜率kAB＝＝1， 则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝45°. ②存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1， 则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝135°. ③不存在．因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. ④存在．因为yM＝yN＝4， 所以直线MN的斜率为0，倾斜角α＝0°. ⑤　当a＝3时，斜率不存在； 当a≠3时，直线的斜率k＝. 例2 （1）直线x＝1和直线y＝1的倾斜角分别是(　　) A．不存在，0°　　 B．0°，90° C．90°，0° D．90°，180° （2）已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 ． （1）C【解析】作出图象，故C正确． （2）60°或120°【解析】有两种情况：① 如图①，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ② 如图②，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 例3、已知有A(－3,4)，B(3,2)两点，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． （1）若直线l的斜率存在，求直线l的斜率k的取值范围； （2）求直线l的倾斜角α的取值范围． 解析：如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. (1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}. 变式、已知两点A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上”，求的最大值．（几何意义） 解：设Q(3,0)， 则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－， ∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点， ∴的取值范围是， 故的最大值为－. 【当堂训练】 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案　ABC 2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 答案　A 解析　由题意知，tan 45°＝，得m＝2. 3．已知A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，则x＝________，直线AB的倾斜角为________． 答案　3　 解析　因为A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，所以kAB＝kBC，即＝，解得x＝3，设直线AB的倾斜角为θ，由tan θ＝1得θ＝，所以直线AB的倾斜角为. 4．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1) 答案　0°<α≤90° 解析　当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1直线的倾斜角与斜率 【学习目标】1．结合图形，探索确定直线位置的几何要素：点和方向． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念．掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．理解倾斜角与斜率的关系，会求倾斜角与斜率范围． 【学习重难点】重点：了解直线的倾斜角和斜率的概念 难点：理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性 【知识梳理】 一、直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴 与直线 的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角 范围 直线的倾斜角的取值范围为，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为 说明：直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于轴正向位置的刻画，如图. 倾斜角 直线 平行(重合)于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 二、直线的斜率 1．直线的斜率 定义 我们把一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率,常用小写字母表示，即 公式 如果直线经过两点可得斜率公式为 注：直线的倾斜角和直线的斜率都是刻画直线的倾斜程度的一个量，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2．倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角(范围) 斜率(范围) 不存在 三、直线的方向向量 一般地，如果已知为直线的一个方向向量，则 (1)当时，直线的斜率不存在，倾斜角为. (2)当时，直线的斜率存在，设为，则，即斜率为的直线的一个方向向量的坐标可以为． 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角．(　 ) (2)一条直线的倾斜角可以为 (　 ) (3)倾斜角为的直线有无数条．(　 ) (4)若直线的倾斜角为，则．(　 ) 2．设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得直线，则直线的倾斜角为(　 ) A． B． C． D． 3．已知直线经过两点，则直线的倾斜角是(　 ) A. B. C. D. 4．已知直线经过点且直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，则直线的斜率为______． 5．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角(　 ) A． B. C. D. 【典例分析】 例1、经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角． 例2、（1）直线和直线的倾斜角分别是(　　) A．不存在　　 B． C． D． （2）已知直线向上方向与轴正向所成的角为，则直线的倾斜角为 ． 例3、已知有两点，过点的直线与线段有公共点． （1）若直线的斜率存在，求直线的斜率的取值范围； （2）求直线的倾斜角的取值范围． 变式、已知两点，若点在线段上”，求的最大值．（几何意义） 【当堂训练】 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若是直线的倾斜角，则 B．若是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 2．若经过两点的直线的倾斜角为，则等于(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 3．已知三点共线，则________，直线的倾斜角为________． 4．经过两点的直线的倾斜角的取值范围是________．(其中) 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $