上海市徐汇区2026-2027学年沪教版（五四制）七年级上学期数学期中模拟试题

上海市徐汇区2026-2027学年七年级上学期 数学期中模拟试题 （卷面总分150分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 4 分，共24分） 1．代数式，，，，，，中，整式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的概念，根据整式的概念逐一判断即可，解题的关键是正确理解只含有数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，由几个单项式的和组成的代数式． 【详解】解：根据整式的概念可得，代数式，，，，，，中是整式的为，，，，，共个， 故选：． 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是5 C．与是同类项 D．是三次三项式 【答案】C 【分析】本题考查了项的系数及次数，同类项的定义，多项式的定义，解题的关键是理解相关定义； 利用多项式次数与项数定义以及单项式的次数与系数以及同类项定义分别判断即可． 【详解】A，的系数是，故该选项错误，不符合题意； B，的次数是，故该选项错误，不符合题意； C，与是同类项，故该选项正确，符合题意； D，是四次三项式，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项合并法则、单项式乘法法则、同底数幂的除法法则逐一判断选项． 【详解】解：对于选项A，与不是同类项，不能合并，故 A计算错误； 对于选项B，，故B计算错误； 对于选项C，，故 C计算正确； 对于选项D，，故D计算错误； 4．下列各式中，可以运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的特点直接判断即可． 【详解】A.，利用完全平方公式计算，故错误； B.，利用平方差公式计算，故正确； C.，利用多项式乘多项式计算，故错误； D.，利用完全平方公式计算，故错误； 故选：B 【点睛】此题考查整式乘法的公式，解题关键是平方差公式为：． 5．下式等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可 【详解】A、 ，从左到右的变形是整式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、 ，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C、，等式的右边不是几个整式的积的形式，故本选项不符合题意； D、，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式 6．我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中引用了如图数表，人们称这个数表为“杨辉三角”，这个数表给出了（为非负整数）的展开式的系数规律． 根据数表规律，在的展开式中的系数为（     ） A．1 B．5 C．10 D．15 【答案】C 【分析】根据题目中给出的例子，结合“杨辉三角”找出规律进行解答即可． 【详解】解：由图可知：找规律发现的第三项系数为，是的展开式的第二项和第三项的系数的和；的第三项系数为，是的展开式的第二项和第三项的系数的和； ∴的第四项系数是的展开式的第三项和第四项的系数的和，即的展开式中的系数为． 二、填空题（每题 4 分，共48分） 7．单项式的系数为___________． 【答案】 【分析】本题考查单项式的系数，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数． 单项式的系数是指其数字因数部分，包括常数和． 【详解】解：该单项式可以写为，其中数字因数为，故系数为． 故答案为：． 8．多项式按的降幂排列为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式的降幂排列，根据x的指数从高到低排列即可． 【详解】解：多项式按的降幂排列为． 故答案为： 9．计算（1）______；（2）______． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，多项式除以单项式，解题的关键是掌握各运算法则． （1）根据单项式乘以单项式的法则计算； （2）根据多项式除以单项式的法则计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 10．计算：______．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，将看作整体，根据同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 11．单项式与的和仍为单项式，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，单项式的系数、次数，已知同类项求指数中字母或代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 两个单项式的和仍为单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，由此列出方程求解，求得，，再代入求值． 【详解】解：∵单项式与的和仍为单项式， ∴和． 解得：，． 所以． 故答案为：9． 12．若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为_____________ 【答案】1 【分析】本题考查多项式乘以多项式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过展开乘积后，令一次项系数为零，求解m的值． 【详解】解： ， 由于不含 的一次项， 则 ， 解得 ． 故答案为 ：1． 13．分解因式：_________． 【答案】 【详解】此题考查因式分解知识点，考查提取公因式法、公式法的因式分解的方法；首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止； 解：原式=； 14．因式分解：__________________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查逆用同底数的幂的乘法，逆用幂的乘方；利用同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 16．已知是完全平方式，则_______． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故答案为：． 17．已知a是一元二次方程的一个根，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断． 将a代入可得，则， ，代入要求的代数式，整理化简即可求解． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：2． 18．规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：若，，则的值为____________． 【答案】50 【分析】本题考查了新定义，同底数幂的乘法和除法，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据新定义得，从而，，求出，进而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ， ． 故答案为：50． 三、解答题（共78分） 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键． 根据合并同类项法则计算即可．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解：原式 ． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 21．计算：． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，平方差公式． 通过观察表达式，将原式变形为平方差公式的形式，然后计算． 【详解】解： ． 22．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，多项式除以单项式，先计算单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式即可得到答案． 【详解】解： ． 23．利用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，将原式写成平方差公式的形式成为解题的关键． 先把原式写成平方差公式的形式，然后运用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 24．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再去括号、合并同类项即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 25．因式分解： 【答案】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 26．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用十字相乘法分解因式；先利用十字相乘法分解，再继续利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 27．先化简，再求值：（m﹣2n）（m+n）﹣（m﹣n）2．其中m=，n=﹣2． 【答案】－13 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：当m=，n=﹣2时， 原式=m2﹣mn﹣2n2﹣（m2﹣2mn+n2） =mn﹣3n2 =﹣1﹣3×4 =﹣13 【点睛】考查学生的运算法则，解题的关键是熟练运用运算法则． 28．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． (1)利用“配方法”分解因式： (2)若，求m和n的值 (3)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：例如：．请你仿照上面的方法对进行因式分解 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的应用，以及平方差公式的计算，解决本题的关键是熟练掌握完全平方式的概念． （1）根据配方法，先将凑成完全平方式，再求解即可； （2）根据配方法，将配方，并将化为完全平方式，求解即可； （3）根据配方法，将配方，再使用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 则有， ∴，， 解得， ∴，解得， 则m的值为8，n的值为4； （3）解：． 29．【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法在因式分解和求代数式最值中的应用，熟练掌握配方法的步骤以及完全平方式的非负性是解题的关键． （1）先通过配凑，将转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）先提取二次项系数，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最小值． （3）先提取二次项系数的负号，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最大值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 故代数式的最小值为． （3）解： ， ， ， ， 故代数式的最大值为． 30．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 【答案】(1) 证明：根据题意，设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． (2)12 【分析】（1）利用直角三角形的面积，梯形的面积等于各个三角形的面积和，列式解答即可． （2）设，则，根据勾股定理，得，即，解方程即可． 本题考查了勾股定理的证明与应用，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市徐汇区2026-2027学年七年级上学期 数学期中模拟试题 （卷面总分150分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 4 分，共24分） 1．代数式，，，，，，中，整式的个数是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是5 C．与是同类项 D．是三次三项式 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中，可以运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 5．下式等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中引用了如图数表，人们称这个数表为“杨辉三角”，这个数表给出了（为非负整数）的展开式的系数规律． 根据数表规律，在的展开式中的系数为（     ） A．1 B．5 C．10 D．15 二、填空题（每题 4 分，共48分） 7．单项式的系数为___________． 8．多项式按的降幂排列为_________． 9．计算（1）______；（2）______． 10．计算：______．（结果用幂的形式表示） 11．单项式与的和仍为单项式，则______． 12．若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为_____________ 13．分解因式：_________． 14．因式分解：__________________． 15．若，，则______． 16．已知是完全平方式，则_______． 17．已知a是一元二次方程的一个根，则_____． 18．规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：若，，则的值为____________． 三、解答题（共78分） 19．计算：． 20．计算： (1)； (2)． 21．计算：． 22．计算：． 23．利用乘法公式计算：． 24．计算：． 25．因式分解： 26．分解因式： 27．先化简，再求值：（m﹣2n）（m+n）﹣（m﹣n）2．其中m=，n=﹣2． 28．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． (1)利用“配方法”分解因式： (2)若，求m和n的值 (3)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：例如：．请你仿照上面的方法对进行因式分解 29．【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 30．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $