精品解析：广西南宁市青秀区凤岭北路中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

南宁市青秀区凤岭北路中学2025-2026学年九年级1月大作业 数学 （形式：闭卷 时间：120分钟 分值120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中与是反比例关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似 4. 某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 5. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥寥数语，把图形之妙趣说得淋漓尽致．二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，则平移后的函数解析式为( ) A. y＝2x2﹣1 B. y＝2x2+1 C. y＝2(x﹣1)2 D. y＝2(x+1)2 8. 古埃及《林德纸草书》中记载了大量关于比例和增长的计算．某古埃及部落第一年储存粮食100石，第三年储存粮食121石，若每年粮食储存量的增长率相同，设该增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为4cm，瓶内液体超过一半，最大深度，则截面圆中弦的长为（　　） A. B. C. D. 11. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 小钟去书城购书，他乘自动扶梯上二楼（如图），已知自动扶梯的长为，倾斜角为，则自动扶梯的垂直高度（）等于________． 14. 如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 15. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图1），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图2的正八边形是其示意图，则的度数是________． 16. 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为____________．（参考数据：） 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程： 18. 如图，已知扇形，，． （1）已知点P是的中点，过A点作的切线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接线段交切线于点M，求与线段、线段所围图形的面积． 19. 某校准备从九年级学生中选拔部分学生参加市中学生辩论赛，九（1）班共有10名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、即兴演讲、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、即兴演讲、回答问题三项的测试成绩计算出每人的综合成绩．小涵即兴演讲和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，这10名学生的综合成绩频数分布直方图（如图）（每组含最小值，不含最大值） （1）在自我介绍测试中，五位评委给小涵打出的分数分别为83，84，79，80，89．这组数据的中位数是________，平均数是________． （2）在（1）的条件下，计算得出小涵的综合成绩为分，班主任根据综合成绩择优选取5名学生推荐到学校里进行选拔，试分析小涵能否入选，并说明理由． （3）在5位评委老师中，有2位是男老师，3位是女老师，小涵在即兴演讲环节中，有2位评委老师给了满分，请用树状图或列表法求给满分的2位评委中“恰好1名男老师1名女老师”的概率． 20. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） （1）求的长； （2）该充电站有20个停车位，求的长． 21. 某数学活动小组研究一款如图①简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图②是该秤的电路图，已知串联电路中，电流（单位：）与定值电阻．可变电阻（单位：）之间关系为 ，电源电压恒为， 定值电阻的阻值为． 根据与之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … 4 p 2 （1）填空： ， ； （2）该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图③中描出实数对的对应点，画出函数 的图象，并写出一条此函数图象关于增减性的性质． （3）若电流表量程是，可变电阻与踏板上人的质量之间函数关系如图④所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 22. 如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． （1）以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； （2）如图1，设，请你说明为什么k约为； （3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； （4）图3中的的黄金分割线有几条？ 23. 类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，，． （1）①猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②由①可得______，______（填“”，“”或“”）； （2）如图2，已知平行六边形满足．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市青秀区凤岭北路中学2025-2026学年九年级1月大作业 数学 （形式：闭卷 时间：120分钟 分值120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可． 从正面看，在后面的部分会被遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面． 【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右两边各有一个小矩形； 故选A． 2. 下列选项中与是反比例关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例关系，如果两个变量乘积一定，这两个量之间就是反比例关系．解决本题的关键是根据反比例关系的定义进行判断． 【详解】解：A、中两个变量的和一定，这两个量之间不是反比例关系，故A选项不符合题意； B、中两个变量的积一定，这两个量之间是反比例关系，故B选项符合题意； C、中两个变量的商一定，这两个量之间不是反比例关系，故C选项不符合题意； D、中两个变量的商一定，这两个量之间不是反比例关系，故D选项不符合题意； 故选：B． 3. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断； 【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度 故选：D. 【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解. 4. 某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（ ） A. 0.80 B. 0.85 C. 0.90 D. 0.95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率；由图可知，成活频率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：∵由图可知，成活频率在0.90上下波动， ∴可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 故选：C． 5. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥寥数语，把图形之妙趣说得淋漓尽致．二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象开口向上，与x轴有两个交点，与y轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，即可判断 ． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与x轴有两个交点，与y轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ， ，故选项B错误，符合题意． 故选：B． 6. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，对应边  与  的夹角即为旋转角，从而可以得到  的度数，由  结合角的和差关系可以得到  的度数． 【详解】解： 绕点  按逆时针方向旋转  后得到 ， ， ， ． 7. 将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，则平移后的函数解析式为( ) A. y＝2x2﹣1 B. y＝2x2+1 C. y＝2(x﹣1)2 D. y＝2(x+1)2 【答案】D 【解析】 【分析】先得到抛物线y＝2x2的顶点坐标为(0，0)，再利用点平移的规律得到点(0，0)平移后对应点的坐标为(﹣1，0)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为(0，0)，把(0，0)先向左平移1个单位所得对应点的坐标为(﹣1，0)，所以平移后的抛物线解析式为y＝2(x+1)2． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质． 8. 古埃及《林德纸草书》中记载了大量关于比例和增长的计算．某古埃及部落第一年储存粮食100石，第三年储存粮食121石，若每年粮食储存量的增长率相同，设该增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——增长率问题．审清题意、找准等量关系是解题的关键． 设该增长率为，根据第一年储存粮食100石到第三年储存粮食121石，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设该增长率为， ∵ 第一年储存粮食100石，第三年储存粮食121石，每年增长率相同为x， ∴． 故选C． 9. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 10. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为4cm，瓶内液体超过一半，最大深度，则截面圆中弦的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，根据勾股定理求出，根据垂径定理可知． 【详解】解：如下图所示，连接， 球的半径为， ， ， ， ， ． 故选：D． 11. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数图像的性质． 由反比例函数解析式可知反比例函数图象在第二、四象限，该函数在每个象限内，随的增大而增大，由此进行求解即可． 【详解】点，，在反比例函数的图象上，， ∴函数图象在第二、四象限，该函数在每个象限内，随的增大而增大， ， ， 即， 故选：D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于，延长交轴于，根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得． 【详解】如图作轴于，延长交轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数的几何意义，，， 四边形的面积， 故选C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 小钟去书城购书，他乘自动扶梯上二楼（如图），已知自动扶梯的长为，倾斜角为，则自动扶梯的垂直高度（）等于________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了含角的直角三角形． 根据题意可得：，从而可得，然后在中，利用含角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴自动扶梯的垂直高度等于． 故答案为：． 14. 如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 15. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图1），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图2的正八边形是其示意图，则的度数是________． 【答案】135 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式求出正八边形内角和，然后再除以8即可得出答案． 【详解】解：∵是一个正八边形， ∴正八边形的每个内角为：， 即． 16. 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为____________．（参考数据：） 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 【答案】 【解析】 【分析】设数字记为圆心，数字记为，数字记为，过点作于点解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可． 【详解】如图所示，设数字记为圆心，数字记为，数字记为，过点作于点 ∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， ∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等角对等边，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元二次方程． （1）先计算乘方和括号里的减法，再计算乘除，最后计算加法即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ， 解得：． 18. 如图，已知扇形，，． （1）已知点P是的中点，过A点作的切线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接线段交切线于点M，求与线段、线段所围图形的面积． 【答案】（1） 如图所示为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查垂线的作法，切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，扇形面积，正确作出图形是解题的关键． （1）过点A作的垂线即可； （2）根据点P是的中点，可得，易证是等边三角形，得到，由切线的性质可得，求出，求出，再利用勾股定理求出，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接并延长交切线于点M，连接， ∵点P是的中点，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与线段、线段所围图形的面积为． 19. 某校准备从九年级学生中选拔部分学生参加市中学生辩论赛，九（1）班共有10名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、即兴演讲、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、即兴演讲、回答问题三项的测试成绩计算出每人的综合成绩．小涵即兴演讲和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，这10名学生的综合成绩频数分布直方图（如图）（每组含最小值，不含最大值） （1）在自我介绍测试中，五位评委给小涵打出的分数分别为83，84，79，80，89．这组数据的中位数是________，平均数是________． （2）在（1）的条件下，计算得出小涵的综合成绩为分，班主任根据综合成绩择优选取5名学生推荐到学校里进行选拔，试分析小涵能否入选，并说明理由． （3）在5位评委老师中，有2位是男老师，3位是女老师，小涵在即兴演讲环节中，有2位评委老师给了满分，请用树状图或列表法求给满分的2位评委中“恰好1名男老师1名女老师”的概率． 【答案】（1）83，83； （2） 小涵能入选，理由如下： 小涵的综合成绩为分， 由直方图可知：分的学生人数为5人， 故小涵能入选． （3）． 【解析】 【分析】本题考查求中位数，平均数，直方图和利用列表法求概率． （1）根据中位数和平均数的计算公式进行计算即可； （2）结合直方图进行判断即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：将5个数据排序后，中间一位是83， 故中位数为：83； 平均数为：； 故答案为：83；83 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：用表示女老师，用表示男老师，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种等可能的结果，其中给满分的2位评委中恰好1名男老师1名女老师的结果有12种结果， ∴“恰好1名男老师1名女老师”的概率． 20. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） （1）求的长； （2）该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用： （1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 21. 某数学活动小组研究一款如图①简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图②是该秤的电路图，已知串联电路中，电流（单位：）与定值电阻．可变电阻（单位：）之间关系为 ，电源电压恒为， 定值电阻的阻值为． 根据与之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … 4 p 2 （1）填空： ， ； （2）该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图③中描出实数对的对应点，画出函数 的图象，并写出一条此函数图象关于增减性的性质． （3）若电流表量程是，可变电阻与踏板上人的质量之间函数关系如图④所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 【答案】（1）， （2）根据题意， … 1 2 3 4 6 … 4 3 2 根据表格数据在平面直角坐标系中描点如下： ∴根据图示，电流随可变电阻的增大而减小； （3）电子体重秤可称的最大质量为千克 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数图象的综合运用，掌握自变量，函数值的计算方法，待定系数法求解析是解题的关键． （1）根据题意，分别把，代入，即可求解； （2）根据函数图象作图的方法，列表、描点、平滑曲线连接的方法即可求解； （3）根据题意可求出可变电阻与踏板上人的质量之间函数关系为，根据电流表量程，电流与电压，电阻的函数关系可求出子体重秤可称的最大质量． 【小问1详解】 解：已知电流（单位：）与定值电阻．可变电阻（单位：）之间关系为 ，电源电压恒为， 定值电阻的阻值为， ∴当时，，即； 当时，， 解得，，即； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，设可变电阻与人的质量的函数关系为，且该直线过，， ∴， 解得，， ∴可变电阻与人的质量的函数关系为：， ∴可变电阻随人的质量增大而减小， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∵， ∴不能超过； 当时，， 解得，， ∴， 解得，， ∴电子体重秤可称的最大质量为千克． 22. 如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． （1）以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； （2）如图1，设，请你说明为什么k约为； （3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； （4）图3中的的黄金分割线有几条？ 【答案】（1）满足的矩形是黄金矩形 （2） 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； （3） 解：直线是的黄金分割线，理由如下： ∵点P是线段的黄金分割点， ∴， 设的边上的高为h，则 ， ∴ ∴直线是的黄金分割线． （4）无数条 【解析】 【分析】（1）仿照题意进行定义即可； （2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析； （4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条． 【小问1详解】 解：由题意得，满足的矩形是黄金矩形， 故答案为：满足的矩形是黄金矩形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（2）知，在边上也存在这样的黄金分割点Q，则也是黄金分割线，设与交于点W，则过点W的直线均是的黄金分割线，故黄金分割线有无数条． 【点睛】本题主要考查了黄金分割图形，正确理解题意是解题的关键． 23. 类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，，． （1）①猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②由①可得______，______（填“”，“”或“”）； （2）如图2，已知平行六边形满足．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】（1）①， 证明：连接，如图 1， ， ， ， ． ②， （2）证明：如图2，延长交于点，延长交于点， ， ∴四边形为平行四边形，， ， ∵， ∴， ∴， 由（1）得，， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）①连接，根据平行线的性质即可解决问题；同①，根据平行线的性质即可解决问题； （2）延长交于点，延长交于点，可得四边形为平行四边形，证明，得，进而可以解决问题； （3）过点作的平行线，过点作的平行线，两条线交于点，连接，可得四边形是平行四边形，然后证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：①略 ②同①，连接， ， ， ， ， 即． 连接， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据（2）可得，，， ， ， 如图3，过点作的平行线，过点作的平行线，两条线交于点，连接， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， ∴平行六边形的面积的， ∴与平行六边形的面积之比是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $