考点01 空间向量及其运算9大题型（专项训练）高二数学苏教版选择性必修第二册

考点01 空间向量及其运算 考点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母表示；若向量的起点是，终点是，也可记作：，其模记为或． 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量． 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量： 相等向量 相同 相等 考点二：空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 减法 加法运算律 ①交换律： ②结合律： （2）空间向量的数乘运算 ①定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与向量方向相同； 当时，与向量方向相反； 当时，；的长度是的长度的倍． ②运算律 结合律：． 分配律：，． 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 考点三：共线问题 共线向量 （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． （2）方向向量：在直线l上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有． （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使． （4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得． 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线． 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 考点四：向量共面问题 共面向量 （1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． （2）共面向量定理：若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． （3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对，使或对空间任意一点O，有． （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）． 考点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作．即． 规定：零向量与任何向量的数量积为． （2）常用结论（，为非零向量） ①． ②． ③． （3）数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 考点六：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则叫做向量与的夹角，记作，如下图． 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦． 知识点诠释： （1）规定： （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作． 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到． 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角． 考点七：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；． 2、利用向量求线段的长度． 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题．一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解． 题型一：空间向量的概念 （1）平面向量是一种特殊的空间向量． （2）两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． （3）向量不能比较大小． 混淆向量与点坐标，忽略零向量方向任意性，误判共线、共面向量充要条件，遗忘向量夹角范围。 1．（2025·高二·贵州毕节·月考）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 2．（2025·高二·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【解析】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 3．（2025·高二·天津·月考）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【解析】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 4．（2025·高二·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【解析】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 5．（2025·高二·河南商丘·月考）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 题型二：空间向量及其线性运算 （1）向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 混淆向量与点坐标，忽视零向量特殊性，误将共线当共面，运算时忽略数乘方向与分配律适用前提。 1．（2025·高二·河南周口·月考）已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是平行四边形，且， 则 ．显然A正确. 故选：A． 2．（2025·高二·河北·月考）如图，在正四面体中，，是的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接,延长交于， 因为是的重心，所以是的中点， . 故选：A 3．（2025·高二·湖南衡阳·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在四棱锥中，平面，且，若， 则 . 故选：A. 4．（2025·高二·天津·月考）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，N为BC中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，由题意， . 故选：A 5．（2025·高二·河北保定·期中）在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以. 故选：A 题型三：共线向量 向量共线的判定及应用 （1）判断或证明两向量共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用穴间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． （2）判断或证明空间中的三点（如共线的方法：是否存在实数，使． 混淆向量共线与点共线，忽略零向量与任意向量共线，误将共线充要条件中实数唯一性遗漏。 1．（2025·高二·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，在正方体中，. 故选：A. 2．（2025·高二·天津武清·月考）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 3．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 4．（2025·高二·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 5．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 题型四：空间向量的夹角 空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角． 混淆向量夹角与几何角范围，忽略夹角取，未将向量起点平移至同一点，误判钝角锐角符号。 1．（2025·高二·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【解析】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 2．（2025·高二·北京·月考）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设向量，且， 可得， 则，所以， ， 所以， 且， 所以. 故选：B. 3．（2025·高二·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为 .    【答案】 【解析】因为平面平面，， 且平面平面，平面，可得平面， 又因为平面，则， 即，，， 则，，且，，， 因为， 则， 即， 又因为， 可得， 所以向量与夹角的余弦值为. 故答案为：. 4．（2025·高二·贵州·期中）在长方体中，．若，则与的夹角大小为 ． 【答案】/ 【解析】如图：在长方体中， 因为， 所以四边形为正方形，所以. 即与的夹角为. 故答案为： 5．如图在正三棱锥中，，则 ； ． 【答案】 【解析】取的中点，连接、， 因为为正三棱锥且，所以三棱锥为正四面体， 所以、，又，平面， 所以平面， 又平面，所以，所以，所以， 又为等边三角形，所以， 所以. 故答案为：； 题型五：空间向量的数量积 由向量数量积的定义知，要求与的数量积，需已知，和，与的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使计算准确． 混淆数量积与向量模长运算，忽略夹角范围限制，误将数量积为零等同于向量为零向量。 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 【答案】0 【解析】设向量，则， 所以， 又由，， 所以. 故答案为：. 2．（2025·高二·云南曲靖·月考）在正三棱锥中，，，D为棱AB的中点，则正三棱锥的体积为 ， ， . 【答案】 / 0 / 【解析】过点作垂直于平面，连接， 由正弦定理得，所以， 则正三棱锥的体积为： ， ， . 故答案为：；； 3．（2025·高二·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形，，则 ． 【答案】2 【解析】设． ， ， . 故答案为： 4．（2025·高二·河北沧州·月考）在正三棱柱中，，为的中点，则 . 【答案】1 【解析】连接，由题意得为的中点，故， 由正三棱柱性质得，故， 可得. 故答案为：1. 5．（2025·高二·湖北·月考）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【解析】（1），． ． 点为的中点， ． （2）， ， ， ． 题型六：空间向量的投影向量 利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键所在． 混淆投影向量与投影数量，忽略夹角对投影方向的影响，计算时未规范将向量起点平移至同一点。 1．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【解析】因为平面平面，平面平面，平面，， 可得平面， 且平面，则， 又因为平面，平面，则， 故在方向上的投影向量为． 故答案为：. 2．（2025·高二·江西·月考）在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 【答案】 【解析】 由图可知.向量 在方向上的投影数量为. 向量在方向上的投影数量为， 所以向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为. 故答案为：. 3．（2025·高二·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【答案】 【解析】由题意， 在三棱锥中，已知平面， , ∵面， ∴， 在中，，， ∴, ， ∴向量在向量上的投影向量为： ， 故答案为：. 4．如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    【答案】 ； . 【解析】空（1）法一：在正方体中，易知，， 向量与向量夹角为45°，，， 所以向量在向量上的投影向量是． 法二：设，如图，由正方体的性质得，，， 向量在向量上的投影向量是． 空（2）如图，连接AC，交BD于点O，易知，线面垂直性质有， 由，平面，则平面， 所以在平面上的投影向量就是，易知． 故答案为：； 5．四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【解析】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 题型七：共面向量问题 （1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示． 混淆向量共面与点共面，忽略零向量与任意两向量共面，误用共线条件判定共面关系。 1．（2025·高二·河北张家口·期末）在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则 . 【答案】 【解析】因为， 若，，共面，则，，，四点共面， 则，解得. 故答案为：. 2．（2025·高二·湖北·期中）如图，已知在四棱锥中，与相交于点，且为的中点，．若平面与棱交于点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为则 【答案】 【解析】因为，且，，所以， 又， 所以， 又为的中点，， 所以，， 则， 因为四点共面， 所以，解得． 所以 故答案为： 3．（2025·高二·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【解析】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 4．（2025·高二·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【解析】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 5．在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    【解析】取中点，连接，，，如图所示. 因为点是中点，所以. 因为点为的中点，所以， 因为， 所以， 因为，点是中点，所以G为HD的中点. 又点为的中点，所以为的中位线， 所以， 所以，，，四点共面. 题型八：利用空间向量的数量积求线段的长度 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用．向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解． 混淆向量模长与线段长度关系，计算数量积时夹角取值错误，忽略向量坐标运算的符号准确性。 1．（2025·高二·河北石家庄·月考）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【解析】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . （2）因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 2．（2025·高二·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【解析】（1）因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体的所有棱长都等于2， 得到，故. （2）因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. 3．（2025·高二·天津·月考）如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 【解析】（1）在平行六面体中，，且， 由向量数量积的计算公式，可得. （2）由向量的线性运算法则，可得， 因为，且， 所以 ， 所以，即的长. 4．（2025·高二·云南玉溪·月考）如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示； (2)求． 【解析】（1）连接，如图所示． ∵点N为中点，∴． ∵，∴. 则． （2）因为正四面体的棱长为1，所以， 所以 ， 所以． 5．（2025·高二·山东淄博·月考）在平行六面体中，，，，， (1)用表示； (2)求的长． 【解析】（1）由题意得：； （2） ， 故． 题型九：利用空间向量的数量积证垂直 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零． 忽略向量非零前提，坐标运算符号出错，混淆向量垂直与线段垂直，未正确转化几何垂直关系。 1．（2025·高二·广东清远·月考）在四面体中，，，，，，，，，，点在棱上，且， (1)计算，，的值； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意可得， ， ， （2）由题意，， 则， 设， 则， 又， 若在线段上存在一点，使得， 则 解得， 故线段上不存在一点，使得. 2．（2025·高二·福建厦门·月考）如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 【解析】（1）， ， 所以； （2）， 所以，所以， 同理可证，所以。 3．（2025·高二·陕西咸阳·月考）如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 【解析】（1）正方体中，，， 有，， 所以. （2）证明：正方体中，，， 有，， 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以且，即， 则有， 所以． 4．（2025·高二·安徽·期中）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 【解析】（1）由题意得，，，， 可知， 则 . （2）因，，，， 则 ， 则当时，有最小值，最小值为. （3）当时，， 则， ， 所以，， 因为AB，平面ABCD，，平面ABCD.， 所以平面ABCD. 5．（2025·高二·湖北·月考）如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 【解析】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. （2）， 则 . 故. 1．（2025·高二·河北·月考）如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】A 【解析】由题意得， 所以． 因为，二面角的大小为， 所以，． 因为， 所以， 所以. 故选：A. 2．（2025·高二·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 3．（2025·高二·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【解析】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为. 故选：B 4．（2025·高二·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 5．（2025·高二·四川·月考）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 6．（2025·高二·江西赣州·期中）已知空间四点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】； 故选：. 7．（2025·高二·重庆荣昌·月考）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在平面ABC内，，则下列选项中可能正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】空间向量共面定理：， 若不共线，且共面，其充要条件是， 即若点M在平面ABC内，则且. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点共面； 对C，因为，所以四点不共面； 对D，因为，所以四点不共面. 故选：B 8．（2025·高二·湖南·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由空间向量得，两边平方得， 整理得，所以，则，故异面直线与所成角为． 故选：C. 9．（多选题）（2025·高二·辽宁抚顺·期末）如图，直三棱柱的所有棱长均为1，E，F分别为的中点，则（    ）    A． B． C．在平面上的投影向量的模长为 D．在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】，A正确； ，B错误； 过作，垂足为，易知， 根据直三棱柱的性质可知， 因为平面， 所以平面， 过作，垂足为，易知， 同理可得平面， 即在平面上的投影向量为，，C正确； 过作，垂足为，易知，过作，垂足为， 易知，即在上的投影向量为，D错误. 故选：AC 10．（多选题）（2025·高二·福建福州·期中）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 【答案】BD 【解析】因为， 则 ，故，A错误； ，， ，故，B正确； 连接， 则， ， 即，同理，故四边形为矩形， 面积为，C错误； 过作面，在直线上，过作于，连接， 由平面，得平面，平面，得， 故，，， 故平行六面体的体积为，D正确． 故选：BD． 11．（多选题）（2025·高二·贵州·月考）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【解析】如图，设，则，所以，，， 又，，所以，因为，所以的值可能为4和5. 故选：BC. 12．如图，平行六面体中，，，则 .    【答案】 【解析】因为， 所以 ， 所以. 故答案为：. 13．（2025·高二·内蒙古赤峰·期中）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则 . 【答案】 【解析】点为的中点，， ，. 故答案为：. 14．（2025·高二·新疆·月考）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）由平行六面体的性质可知， 是的中点， ， ， ， ， ． （2）． （3），， ， 又， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 15．（2025·高二·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）设，，，则、、不共面， 由题意可得，，所以， 又因为直线、不重合，所以，故、、、四点共面. （2）由题意可得，， 由空间向量数量积的定义可得， ，同理可得， 因为为的中点，所以， ， 所以， 故 ， ， ， 所以， 因此直线与所成角的余弦值为. 16．（2025·高二·广西河池·月考）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 【解析】（1） 平行六面体所有棱长均为2，的模均为2，夹角均为，为与的中点， ，， ， ． （2）， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 空间向量及其运算 考点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母表示；若向量的起点是，终点是，也可记作：，其模记为或． 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量． 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量： 相等向量 相同 相等 考点二：空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 减法 加法运算律 ①交换律： ②结合律： （2）空间向量的数乘运算 ①定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与向量方向相同； 当时，与向量方向相反； 当时，；的长度是的长度的倍． ②运算律 结合律：． 分配律：，． 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 考点三：共线问题 共线向量 （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． （2）方向向量：在直线l上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有． （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使． （4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得． 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线． 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 考点四：向量共面问题 共面向量 （1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． （2）共面向量定理：若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． （3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对，使或对空间任意一点O，有． （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）． 考点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作．即． 规定：零向量与任何向量的数量积为． （2）常用结论（，为非零向量） ①． ②． ③． （3）数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 考点六：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则叫做向量与的夹角，记作，如下图． 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦． 知识点诠释： （1）规定： （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作． 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到． 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角． 考点七：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；． 2、利用向量求线段的长度． 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题．一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解． 题型一：空间向量的概念 （1）平面向量是一种特殊的空间向量． （2）两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． （3）向量不能比较大小． 混淆向量与点坐标，忽略零向量方向任意性，误判共线、共面向量充要条件，遗忘向量夹角范围。 1．（2025·高二·贵州毕节·月考）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2．（2025·高二·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 3．（2025·高二·天津·月考）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 4．（2025·高二·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 5．（2025·高二·河南商丘·月考）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：空间向量及其线性运算 （1）向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 混淆向量与点坐标，忽视零向量特殊性，误将共线当共面，运算时忽略数乘方向与分配律适用前提。 1．（2025·高二·河南周口·月考）已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025·高二·河北·月考）如图，在正四面体中，，是的重心，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·湖南衡阳·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥中，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·高二·天津·月考）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，N为BC中点，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·河北保定·期中）在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且．若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：共线向量 向量共线的判定及应用 （1）判断或证明两向量共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用穴间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． （2）判断或证明空间中的三点（如共线的方法：是否存在实数，使． 混淆向量共线与点共线，忽略零向量与任意向量共线，误将共线充要条件中实数唯一性遗漏。 1．（2025·高二·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·天津武清·月考）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 4．（2025·高二·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型四：空间向量的夹角 空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角． 混淆向量夹角与几何角范围，忽略夹角取，未将向量起点平移至同一点，误判钝角锐角符号。 1．（2025·高二·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 2．（2025·高二·北京·月考）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为 .    4．（2025·高二·贵州·期中）在长方体中，．若，则与的夹角大小为 ． 5．如图在正三棱锥中，，则 ； ． 题型五：空间向量的数量积 由向量数量积的定义知，要求与的数量积，需已知，和，与的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使计算准确． 混淆数量积与向量模长运算，忽略夹角范围限制，误将数量积为零等同于向量为零向量。 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 2．（2025·高二·云南曲靖·月考）在正三棱锥中，，，D为棱AB的中点，则正三棱锥的体积为 ， ， . 3．（2025·高二·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形，，则 ． 4．（2025·高二·河北沧州·月考）在正三棱柱中，，为的中点，则 . 5．（2025·高二·湖北·月考）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 题型六：空间向量的投影向量 利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键所在． 混淆投影向量与投影数量，忽略夹角对投影方向的影响，计算时未规范将向量起点平移至同一点。 1．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 2．（2025·高二·江西·月考）在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 3．（2025·高二·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    4．如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    5．四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 题型七：共面向量问题 （1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示． 混淆向量共面与点共面，忽略零向量与任意两向量共面，误用共线条件判定共面关系。 1．（2025·高二·河北张家口·期末）在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则 . 2．（2025·高二·湖北·期中）如图，已知在四棱锥中，与相交于点，且为的中点，．若平面与棱交于点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为则 3．（2025·高二·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 4．（2025·高二·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 5．在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    题型八：利用空间向量的数量积求线段的长度 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用．向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解． 混淆向量模长与线段长度关系，计算数量积时夹角取值错误，忽略向量坐标运算的符号准确性。 1．（2025·高二·河北石家庄·月考）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 2．（2025·高二·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 3．（2025·高二·天津·月考）如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 4．（2025·高二·云南玉溪·月考）如图，棱长为1的正四面体中，，，，点M满足，点N为中点． (1)用、、表示； (2)求． 5．（2025·高二·山东淄博·月考）在平行六面体中，，，，， (1)用表示； (2)求的长． 题型九：利用空间向量的数量积证垂直 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零． 忽略向量非零前提，坐标运算符号出错，混淆向量垂直与线段垂直，未正确转化几何垂直关系。 1．（2025·高二·广东清远·月考）在四面体中，，，，，，，，，，点在棱上，且， (1)计算，，的值； (2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 2．（2025·高二·福建厦门·月考）如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 3．（2025·高二·陕西咸阳·月考）如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 4．（2025·高二·安徽·期中）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 5．（2025·高二·湖北·月考）如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 1．（2025·高二·河北·月考）如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 2．（2025·高二·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 3．（2025·高二·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 4．（2025·高二·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 5．（2025·高二·四川·月考）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·江西赣州·期中）已知空间四点，，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·重庆荣昌·月考）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在平面ABC内，，则下列选项中可能正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·湖南·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·高二·辽宁抚顺·期末）如图，直三棱柱的所有棱长均为1，E，F分别为的中点，则（    ）    A． B． C．在平面上的投影向量的模长为 D．在上的投影向量为 10．（多选题）（2025·高二·福建福州·期中）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 11．（多选题）（2025·高二·贵州·月考）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 12．如图，平行六面体中，，，则 .    13．（2025·高二·内蒙古赤峰·期中）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则 . 14．（2025·高二·新疆·月考）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 15．（2025·高二·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 16．（2025·高二·广西河池·月考）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $