预习第01讲 空间向量及其运算10种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

预习第01讲 空间向量及其运算10种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示. 2.掌握空间向量的线性运算 3.掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题． 4.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法. 5.理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行. 6.理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面．。 知识点1　空间向量的概念 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||. (2)几类特殊的空间向量 ①零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 ②单位向量：长度为1的空间向量，即. ③相等向量：方向相同且模相等的向量。 ④相反向量：方向相反但模相等的向量。 ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 知识点2　空间向量的加减运算及运算律 如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a. (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算． ＝＋＝a＋b ＝－＝a－b ＝＋＝＋＝a＋b (2)空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点3　空间向量的数乘运算 (1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb； ③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)． 知识点4　共线向量与共面向量 (1)平行(共线)向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 充要条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb 点P在直线l上的充要条件 存在实数t满足等式＝＋ta在直线l上取向量＝a，则＝＋t 向量a为直线的方向向量 (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 点P位于平面ABC内的充要条件 存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y 对空间任一点O，有＝＋x＋y 知识点5　空间向量数量积的概念 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c (3)空间向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点6　空间向量的数量积的性质 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ ④|a·b|≤|a|·|b| 知识点7 投影向量的概念1、向量在向量上的投影 对于空间向量任意两个非零向量，，设向量，，过点作， 垂足为，上述由向量得到向量的变换称为向量向向量的投影， 向量称为向量在向量上的投影向量。与平面向量的情形类似，我们有 2、向量在平面上的投影 向量，过，作平面的垂线，垂足为，，得到向量， 我们把向量称为向量在平面上的投影向量，此时数量积有 考点一：空间向量的概念 例1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【变式1-1】下列说法正确的是（ ） A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【变式1-2】已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　） A．与共面的单位向量有无数个 B．与垂直的单位向量有无数个 C．与平行的单位向量只有一个 D．与同向的单位向量只有一个 【变式1-3】在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【变式1-5】在长方体中，下列向量与是相等向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-6】如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： （1）与相等的向量； （2）与相反的向量； （3）与平行的向量． 考点二：空间向量的加减运算 例2.如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】化简算式：______． 【变式2-2】如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量. （1）； （2）. 【变式2-3】如图，在空间四边形中，则（    ） A． B． C． D． 考点三：空间向量的数乘运算 例3.求为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 考点四：空间向量共线问题 例4.满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( ) A． B． C． D． 【变式4-1】若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【变式4-2】已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式4-3】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-4】在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 【变式4-5】如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【变式4-6】如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 【变式4-7】已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 考点五：空间向量共面问题 例5.已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】八十年代初期，空间向量解决立体几何问题的思路得到了长足的发展，已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点（ ） A．不共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．共面 【变式5-2】已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【变式5-4】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面. 【变式5-5】如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，CD=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点.证明：直线EE1平面FCC1. 考点六：空间向量的数量积运算 例6.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【变式6-1】如图，面为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6-2】已知正四面体的棱长为1，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】在正四面体中，是的中心，，则等于（    ） A． B． C． D． 考点七：利用数量积求夹角 例7.已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】空间四边形中，，，则的值是（ ） A．0 B． C． D． 【变式7-2】如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是.则与所成角的余弦值为 .    【变式7-3】已知单位向量满足，若与的夹角为，则实数 ． 【变式7-4】已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ． 考点八：利用数量积求距离 例8.已知空间中三个单位向量两两夹角均为60°．OA的中点为M，BC的中点为N，则 ． 【变式8-1】如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在棱长为6的正四面体中，点在线段上，且满足，点在线段上，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】在平行六面体中，，，则 . 【变式8-4】如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则 . 考点九：利用数量积证明垂直关系 例9.如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求证：OA⊥BC． 【变式9-1】在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是(　　) A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【变式9-2】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【变式9-3】已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 考点十：空间投影向量的计算 例10.如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    【变式10-1】如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是   .    【变式10-2】已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为 ． 【变式10-3】在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式10-4】已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式10-5】如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 一、单选题 1．（24-25高二上·天津和平·期末）长方体中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（22-23高二上·天津滨海新·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）如图，在四面体中，，，，，，且（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在平行六面体中，一以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 10．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 11．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 二、多选题 12．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 13．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高三上·江苏常州·期末）在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·广东深圳·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 16．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知四面体的所有棱长都等于分别是棱的中点.则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 18．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则 . 19．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是 ． 20．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是 . 21．（上海市普陀区2024-2025学年高三上学期12月质量调研数学试卷）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 22．（24-25高二上·内蒙古包头·阶段练习）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，其中，，则的最大值为 ． 四、解答题 23．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 24．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知空间四面体的每条棱长都等于1，点分别是的中点，    求证：． 25．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）如图．在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，点G为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段AG的长及直线AG与所成角的余弦值． 26．（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 27．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习第01讲 空间向量及其运算10种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示. 2.掌握空间向量的线性运算 3.掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题． 4.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法. 5.理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行. 6.理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面．。 知识点1　空间向量的概念 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||. (2)几类特殊的空间向量 ①零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 ②单位向量：长度为1的空间向量，即. ③相等向量：方向相同且模相等的向量。 ④相反向量：方向相反但模相等的向量。 ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 知识点2　空间向量的加减运算及运算律 如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a. (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算． ＝＋＝a＋b ＝－＝a－b ＝＋＝＋＝a＋b (2)空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点3　空间向量的数乘运算 (1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb； ③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)． 知识点4　共线向量与共面向量 (1)平行(共线)向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合 充要条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb 点P在直线l上的充要条件 存在实数t满足等式＝＋ta在直线l上取向量＝a，则＝＋t 向量a为直线的方向向量 (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 点P位于平面ABC内的充要条件 存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y 对空间任一点O，有＝＋x＋y 知识点5　空间向量数量积的概念 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c (3)空间向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点6　空间向量的数量积的性质 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ ④|a·b|≤|a|·|b| 知识点7 投影向量的概念 1、向量在向量上的投影 对于空间向量任意两个非零向量，，设向量，，过点作， 垂足为，上述由向量得到向量的变换称为向量向向量的投影， 向量称为向量在向量上的投影向量。与平面向量的情形类似，我们有 2、向量在平面上的投影 向量，过，作平面的垂线，垂足为，，得到向量， 我们把向量称为向量在平面上的投影向量，此时数量积有 考点一：空间向量的概念 例1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 【变式1-1】下列说法正确的是（ ） A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】C 【解析】A：零向量与它的相反向量相等，故错误； B：将空间中的所有单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故错误； C：空间向量与平面向量一样，既有模又有方向，不能比较大小，故正确； D：一个非零空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故错误；故选：C 【变式1-2】已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　） A．与共面的单位向量有无数个 B．与垂直的单位向量有无数个 C．与平行的单位向量只有一个 D．与同向的单位向量只有一个 【答案】C 【分析】利用向量的定义，有大小，有方向两个方面进行判断，即可确定每个选项的正确性． 【详解】解：与共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故A正确； 与垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B正确； 与平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C错误； 与同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D正确． 故选：C． 【变式1-3】在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 【变式1-4】给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据空间向量的相关概念逐项判断. 【详解】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误； 和大小一样、方向相同， 则，故②正确； 若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确； 向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误. 综上所述，②③正确. 故选：B． 【变式1-5】在长方体中，下列向量与是相等向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示的长方体中， A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确； C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确， 故选：B 【变式1-6】如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： （1）与相等的向量； （2）与相反的向量； （3）与平行的向量． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等， ∴与相等的向量为； （2）连接，由平行六面体的性质可得， ∴是平行四边形， ∴，与相反的向量为． （3）连接，由平行六面体的性质可得， ∴是平行四边形， ∴，与平行的向量为． 考点二：空间向量的加减运算 例2.如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量加减运算，结合长方体的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：B 【变式2-1】化简算式：______． 【答案】 【解析】. 【变式2-2】如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量. （1）； （2）. 【答案】（1），作图答案见解析 （2），作图答案见解析 【解析】（1）； 向量如图所示. （2）因为点E､F､G分别为BC､CD､DB的中点. 所以，， 所以. 向量如图所示. 【变式2-3】如图，在空间四边形中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，利用向量的线性运算即可求出结果. 【详解】， 故选：C. 考点三：空间向量的数乘运算 例3.求为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案. 【详解】原式. 故选：B. 【变式3-1】四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法、数乘运算求解即可. 【详解】如图， 因为E为棱BC的中点， 所以, 故选：C 【变式3-2】如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到，然后将表示出来并代入的表示中，由此可得结果. 【详解】连接，如下图所示， 因为，， 所以，所以． 故选：A. 【变式3-3】在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得解. 【详解】 如图所示， 在三棱柱中，，， 依题意， 故选：A. 【变式3-4】如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为分别为的中点，所以. 因为为的重心，所以， 所以. 故选：B. 考点四：空间向量共线问题 例4.满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而， 据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则A、B、C三点共线，选项C正确； ，则线段的长度与线段的长度相等， 不一定有A、B、C三点共线，选项D错误；本题选择C选项. 【变式4-1】若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【解析】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）. 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 【变式4-2】已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】利用空间向量平行证明三点共线即可. 【详解】因为，，若、、三点共线， 则，而无解，故A错误. 因为，若、、三点共线， 则，而无解，故B错误. 因为、、， 所以，即， 所以、、三点共线，故选C正确. 因为、、， 所以，若、、三点共线， 则，而无解，故D错误. 故选：C. 【变式4-3】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 【变式4-4】在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 【答案】或 【解析】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 【变式4-5】如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【解析】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 【变式4-6】如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 【答案】证明见解析 【解析】证明：连接，． ∵， ， ∴，∴． 又，∴，，三点共线． 【变式4-7】已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】，，， ，， 因为、无公共点，故. 考点五：空间向量共面问题 例5.已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以. 故选:C． 【变式5-1】八十年代初期，空间向量解决立体几何问题的思路得到了长足的发展，已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点（ ） A．不共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．共面 【答案】D 【分析】根据空间向量共面定理的推论进行判断即可. 【详解】对于空间任意一点和不共线三点、、，若点满足：，且，则、、、四点共面. 而，其中，所以四点共面. 故选：D 【变式5-2】已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论逐项判断即得. 【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且， 对于A，由，得，点不共面，A不是； 对于B，由，得，点不共面，B不是； 对于C，由，得，点不共面，C不是； 对于D，由，得，点共面，D是. 故选：D 【变式5-3】已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 【变式5-4】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面. 【答案】证明见解析 【解析】因为在上，且， 所以. 同理. 所以=++=. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面. 【变式5-5】如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，CD=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点.证明：直线EE1平面FCC1. 【答案】证明见解析 【解析】由题意知， ∵F是AB的中点，∴， ∴四边形AFCD是平行四边形，∴. ∵E，E1分别是AD，AA1的中点， ∴. 又∵与不共线， 根据向量共面的充要条件可知共面. 又∵EE1不在平面FCC1内， ∴EE1平面FCC1. 考点六：空间向量的数量积运算 例6.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【详解】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B 【变式6-1】如图，面为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据线线垂直、线面垂直的知识确定正确答案. 【详解】由于平面，平面， 所以，则与垂直，D选项错误. 由于平面，所以平面， 由于平面，所以，所以与垂直，C选项错误. 由于平面， 所以平面，由于平面，所以， 所以与垂直，B选项错误. 由于与不一定垂直，是在平面内的射影， 所以与不一定垂直，即与的数量积不一定为，A选项正确. 故选：A    【变式6-2】已知正四面体的棱长为1，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 根据向量的减法法则，得， 所以 .故选：C. 【变式6-3】在正四面体中，是的中心，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，，然后求数量积即可. 【详解】 因为为正四面体，是的中心， 所以，， 所以 . 故选：D. 考点七：利用数量积求夹角 例7.已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律即可求出，进而求出结果. 【详解】因为与垂直，所以， 即， 所以. 又，所以. 故选：D. 【变式7-1】空间四边形中，，，则的值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ， 因为，所以， 所以，故选：A. 【变式7-2】如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是.则与所成角的余弦值为 .    【答案】/ 【解析】设，则， 因为以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是， 故， 故 ， ， ， 故， 与为异面直线，所成角范围为大于小于等于， 故与所成角的余弦值为， 故答案为： 【变式7-3】已知单位向量满足，若与的夹角为，则实数 ． 【答案】 【解析】因为与的夹角为， 所以， 即，解得， 又，所以． 故答案为： 【变式7-4】已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得，，关于的表达式，再由两向量夹角为钝角得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为， 所以，，， 故， ， ， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，即， 则， 解得，即. 故答案为：. 考点八：利用数量积求距离 例8.已知空间中三个单位向量两两夹角均为60°．OA的中点为M，BC的中点为N，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积运算律求解. 【详解】如图，    , 所以 ， 所以， 故答案为: . 【变式8-1】如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ，即线段的长度为.故选：D. 【变式8-2】如图，在棱长为6的正四面体中，点在线段上，且满足，点在线段上，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 即， 因为是棱长为6的正四面体， 所以，故选：A 【变式8-3】在平行六面体中，，，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量基本定理，得到，即可求出. 【详解】在平行六面体中，. 因为，所以. 所以 . 故答案为： 【变式8-4】如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则 . 【答案】 【分析】根据二面角的定义，结合空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为分别在半平面内，，二面角等于， 所以， 因为， 所以 ， 所以， 故答案为： 考点九：利用数量积证明垂直关系 例9.如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求证：OA⊥BC． 【答案】见解析 【解析】证明：∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA， ∴△OAB≌△OAC． ∴∠AOB＝∠AOC． ∵ ∴.即OA⊥BC． 【变式9-1】在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是(　　) A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】B 【分析】用向量作空间向量的一组基底分别表示和，由数量积为0可得垂直. 【详解】由题意，用向量作空间向量的一组基底 则 设正方体的棱长为1，于是： 故，即与垂直 故选：B 【变式9-2】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 【变式9-3】已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 【解析】设， 由题意得，，， 因为，所以， 又， 所以， 所以. 考点十：空间投影向量的计算 例10.如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    【答案】 ； . 【解析】空（1）法一：在正方体中，易知，， 向量与向量夹角为45°，，， 所以向量在向量上的投影向量是． 法二：设，如图，由正方体的性质得，，， 向量在向量上的投影向量是． 空（2）如图，连接AC，交BD于点O，易知，线面垂直性质有， 由，平面，则平面， 所以在平面上的投影向量就是，易知． 故答案为：； 【变式10-1】如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是   .    【答案】 【解析】在中，由余弦定理得，， 而平面ABC，，故，， 在中，， 即，得 故向量在向量上的投影向量是 故答案为： 【变式10-2】已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，在方向上投影的模为 故答案为：. 【变式10-3】在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 【变式10-4】已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解. 【详解】，，与夹角的余弦值为， 在上的投影向量为 . 故选：D． 【变式10-5】如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由已知E为棱上的动点，设， 因为， 所以 ， 所以向量在向量方向上投影数量为， 又，， ， 所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高二上·天津和平·期末）长方体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量运算的三角形法则和平行四边形法则，可得结果. 【详解】 由向量的运算法则得，, 代入，，， 所以. 故选：A 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面的基本定理可得答案. 【详解】若四点共面，则， 解得. 故选：C. 3．（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 4．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】由于，且是正四棱锥， 故，且侧面均为等边三角形， ， 故，则， 故选：C 5．（22-23高二上·天津滨海新·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示，然后由向量加减法运算可得结果. 【详解】因为是平行四边形，所以， 所以， 所以. 故选：B. 6．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）如图，在四面体中，，，，，，且（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解． 【详解】，， ， 即. 故选：D. 7．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在平行六面体中，一以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量将线段的长度转化成求解向量的模，结合空间向量的数量积运算即可得解.. 【详解】由题意可知，，，如图， 则， 因为， 所以 ， 所以，即. 故选：A. 8．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，延长，，至点，，，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到，，，四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，    延长，，至点，，，使得，，， 所以， 又由，所以，，，四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为， 所以的最小值为. 故选：C 9．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 10．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】由可得，利用数量积运算即可得出结果. 【详解】因为，即，所以， 因为平行六面体各条棱长均为，， 所以，， 因为， ∴ ， 所以，即线段的长度为. 故选：D. 11．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 【答案】D 【分析】根据平行六面体的向量运算、向量的模、向量的夹角，数量积等概念和公式.通过向量运算法则分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，， 由于，，所以，选项A正确. 对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是. ，则 .所以，选项B正确. 对于C，， ， 因为，所以，选项C正确. 对于D，，设向量与的夹角为 ， ， 所以，选项D错误. 故选：D. 二、多选题 12．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 13．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据直四棱柱的几何性质，结合空间向量的线性运算以及数量积的运算律，可得答案. 【详解】对于A，由为的中点，则， 在直四棱柱中，易知， 所以，故A正确； 对于B，由为的中点，则， 在直四棱柱中，易知， ，故B错误； 对于C，由题意可得与的夹角为，且， 则 ，故C正确； 对于D， ，故D正确． 故选：ACD． 14．（24-25高三上·江苏常州·期末）在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由向量加减法的几何意义判断AB,利用数量积和夹角模长公式判断CD可得答案. 【详解】对于选项A，，正确； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，错误； 对于选项D，易得为正三角形， 故，正确； 故选：AD． 15．（24-25高二上·广东深圳·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为，整理变形为，由平面向量基本定理可知共面；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由单位向量与投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小， 而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由可得， 则， 即，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，与方向相同的单位向量为 ， 由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 16．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知四面体的所有棱长都等于分别是棱的中点.则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空间数量积运算法则计算出ABC三个选项中的结果；作出辅助线，证明出⊥，得到即可判断D. 【详解】由题意得：四面体为正四面体， 故， 故，A错误； 因为分别是的中点， 所以，，且，， 故，B正确； ，C正确； 取的中点，连接， 因为均为等边三角形， 所以⊥，且⊥， 因为，且平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥，⊥， 故，所以 ，D错误. 故选：BC 三、填空题 17．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 18．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则 . 【答案】 【分析】利用转化法结合向量的数量积的运算律可求值. 【详解】 . 故答案为：. 19．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是 ． 【答案】1 【分析】利用空间向量基底法结合数量积公式计算即可. 【详解】依题意，设，其中， . 因此的最大值是1. 故答案为：1. 20．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是 . 【答案】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可得，结合空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度. 【详解】由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，， 由空间向量的平行六面体法则可得， 则 ， 因此，. 故答案为：. 21．（上海市普陀区2024-2025学年高三上学期12月质量调研数学试卷）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】以为基底表示，结合题意运用数量积及向量数乘运算即可求解. 【详解】， ， ， 所以， 由，，， 可得， ，解得. 故答案为：. 22．（24-25高二上·内蒙古包头·阶段练习）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，其中，，则的最大值为 ． 【答案】// 【分析】根据空间向量共面定理可得，再由基本不等式计算可得结果. 【详解】由空间向量共面定理可得，即， 又，解得， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 23．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 24．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知空间四面体的每条棱长都等于1，点分别是的中点，    求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量基本定理得到，计算出，得到垂直关系. 【详解】设， ， 所以． 故，即． 25．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）如图．在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，点G为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段AG的长及直线AG与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2)，直线与的所成角的余弦值为 【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则求解； （2）将两边平方即可求出，将两边平方求出，然后求出，最后根据向量的夹角公式即可得出答案. 【详解】（1）因为是的中点，所以. （2），，， 由（1）可知：，两边平方得：， 所以， 而，两边平方得：， 所以， 因为 ， 设直线与的夹角为，则. 26．（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）， 所以 ； （2）， 所以 ， ，， ， ， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 27．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由向量的线性运算可得，由向量的数量积的运算律可得； （2）由两边平方后可得. 【详解】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$