3.6 直线和圆的位置关系 第1课时（教学设计）数学北师大版九年级下册

3.6 直线和圆的位置关系 第1课时 教学设计 1.教学内容 本课基于北师大版九年级下册第3章“圆”中3.6节“直线和圆的位置关系”（第1课时），核心在于认识直线与圆的相交、相切、相离三种情况，及其判定方法与切线性质。教学内容涵盖圆心到直线的距离与圆半径的比较，帮助学生形成对几何图形的整体理解。 2.内容解析 通过数形结合的方法，学生需要从“公共点个数”以及“圆心到直线的距离 与半径 的大小”两个角度理解直线与圆的三种位置关系；进一步运用切线性质“切线垂直于过切点的半径”，在几何证明与解题中体现其价值。 1.教学目标 •理解直线和圆的相交、相切、相离三种位置关系。 •掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法。 •掌握切线的性质定理，会用切线的性质解决问题。 2.目标解析 • 通过观察与操作，学生能识别并区分三种位置关系，形成直观概念。 • 利用 与 的比较，学生能灵活判断直线与圆的位置关系。 • 借助轴对称及垂直原理，理解并应用切线定理，解决简单几何问题。 3.重点难点 • 教学重点：三种位置关系的判定及切线的性质。 • 教学难点：用切线垂直于半径的性质进行推理论证与解题。 学生已掌握点与圆的位置关系及基本作图技能，对直线与圆的交点个数有初步认识。但对利用距离判定并将切线性质应用于综合几何证明，需要进一步的引导与训练。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 点和圆的位置关系有三种： o当圆心 到点 的距离 满足 （ 为圆半径）时，点 在圆内； o当 时，点 在圆上； o当 时，点 在圆外。 2.情景引入 ①如图，如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？ ②观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的? 解： 【设计意图】通过身边的“太阳升起”情境，引导学生直观感知“直线与圆”的位置关系，激发兴趣和探究热情。复习“点与圆”的位置关系，为后续学习“直线与圆”的位置关系作好知识链接. 探究点1：直线和圆的位置关系 1.做一做 作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线.固定圆，平移直尺. 从直线与圆的交点个数这一角度进行思考，如何对直线与圆的位置关系进行分类？ 解：（1）直线和圆有两个交点；（2）直线和圆有一个交点；（3）直线和圆没有交点． 2.想一想 圆心O到直线l的距离d与☉O的半径的大小有什么关系？你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系呢？ 3.知识归纳 ◎直线和圆的位置关系： 当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交； 当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切； 当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离． ◎圆的切线: 直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）. ◎直线和圆的位置关系: 直线和圆相交：d< r 直线和圆相切：d= r 直线和圆相离：d> r （d为圆心O到直线的距离，r为圆的半径.） 数形结合：位置关系数量关系公共点个数 4.练一练 ①下列说法正确的是（ ） A.直线与圆最多有两个公共点 B.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上 C.若A是☉O上一点，则直线AB与☉O相切 D.若C为☉O外一点，则过点C的直线与☉O相交或相离 解：A ②已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为(　　) A．相切   B．相交 C．相切或相离   D．相切或相交 解：D 【设计意图】通过“动手操作+小组讨论”，让学生观察直线与圆的公共点个数，形成直观感受； 借助数形结合，将几何直观和代数判定（ 与 的数值比较）统一起来，实现理解到抽象的过渡，突破判定方法的难点。 探究点2：圆的切线的性质 1.议一议 (1)下图中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？ 解：三个图形都是轴对称图形，对称轴经过圆心且与直线l垂直. (2)如图，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由. 解：直径AB垂直于直线CD. 理由是: ∵右图是轴对称图形，AB所在直线是对称轴, ∴沿直线AB对折图形时，AC与AD重合, ∴∠BAC=∠BAD=90°， ∴AB⊥CD. 2.知识归纳 圆的切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言： ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 3.练一练 如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=______. 解: 60° 4.典例分析 例1 如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm. (1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？ 提示：(1)要使AB与⊙C相切，则过点C作AB的垂线，垂足为D，求出CD的长即可； 解：(1)如图，过点C作AB的垂线，垂足为D. ∵AC＝4 cm，AB＝8 cm， ∴BC＝＝4（cm）. ∵＝AC×BC＝AB×CD， ∴CD＝＝2（cm）， ∴当半径长为2cm时，AB与⊙C相切． (2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？ 提示：(2)根据直线与圆的位置关系进行判断． 解：(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2cm， 当r＝2 cm时，d>r，⊙C与AB相离； 当r＝4 cm时，d＜r，⊙C与AB相交． 【设计意图】通过“观实验形+辨对称性”让学生主动猜想“切线垂直半径”的性质； 以生活图形或实物演示加深感性认识，逐步培养学生用“轴对称”与“垂直”关联的几何思维。 1.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（ ） 解：B． 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于(　　) A．2cm   B．2cm    C．2cm  D．4cm 解：B． 3.⊙O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能 解：A. 4.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为1，动直线AB与x轴交于点P(x，0)，且满足直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是(　　) A．－1≤x≤1   B．－＜x＜ C．0≤x≤   D．－≤x≤ 解：D． 5. 已知⊙O半径R＝3，O点到l的距离为d，且d是方程－5x＋6＝0的一个根，则l与⊙O的位置关系是_____. 解：相切或相交 6.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=_____. 解:60° 7. 如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°， 若⊙O的半径长1cm，则CD=_____cm. 解 8. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝34°，求∠C的度数. 解：连接OB，如图． ∵AB与⊙O相切， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO＝90°， ∴∠AOB＝90°-∠A＝90°-34°＝56°. ∵∠AOB＝∠C＋∠OBC， ∴∠C＋∠OBC＝56°. 又∵OB＝OC， ∴∠C＝∠OBC， ∴∠C＝×56°＝28°. 9.如图，已知AB是⊙O的切线，半径OC的延长线与AB相交于点B，且OC=BC. （1）求证： AC=OB. （2）求∠B的度数. 解：(1)证明：∵AB是⊙O的切线，OA为半径， ∴∠OAB=90°， 在Rt△OAB中，∵OC=CB， ∴AC=OC=OB. （2）由(1)可知OA=OC=AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴在Rt△OAB中， ∠B=90°-60°=30°. 【设计意图】本环节将针对本节课所学知识进行分层次练习，既帮助学生夯实基础，又通过不同类型题目加强对“直线和圆位置关系”及圆切线性质的综合运用能力。 主板书 3.6 直线和圆的位置关系 第1课时 探究点1 直线和圆的位置关系 探究点 2 圆的切线的性质 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题3.6第1-3题。 2.探究性作业：习题3.6第4题。 学科网（北京）股份有限公司 $