3.7切线长定理讲义2025-2026学年北师大版数学九年级下册

本讲义聚焦初中数学切线的性质与判定定理及切线长定理，先梳理切线判定（过半径外端且垂直半径）和性质（切线垂直过切点半径），结合二推一定理（过圆心、过切点、垂直切线知二推一），再过渡到切线长定理（圆外一点引两切线长相等，圆心连线平分夹角），构建知识递进支架。 资料通过即时、巩固、课后三级分层练习，涵盖证明、计算、作图等题型，如证明切线、求线段长等实例，培养几何直观与推理能力，助力教师系统授课，学生可通过多样化练习查漏补缺，提升应用意识。

切线长定理讲义 切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且 垂直半径，二者缺一不可。即：：MN⊥OA且MN过半径OA外端.MN是⊙O的切 线 M (2)性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心：②过切点：③垂直切线 6.切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两 条切线的夹角。即：：PA、PB是的两条切线：PA=PB;PO平分∠BPA 即时练习 1.如图，在 IABC电，∠ABC=0,以B为直径作 中， 0.D为0 上一点，且 CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E. (1)求证：直线 D与o0 相切： 1 BE=8,DE=16 (2)若 ，求C 的长 2如图，P为O0外一点，P1和P为00的两条切线，和为切点， ⊙O BC 为直径 A 0 分 (1)求证： ①△APO≌△BPO. ②PO∥AC. 2若4C=40C=25,求4P的长 3.已知：如图，4B,AC是O0的切线，B,C是切点，过C上的任意一点P作O0的切线 与AB,AC分别交于点D,E. 2 D E (1)连接OD和OE,若∠A=40°，则∠D0E=_° (2)已知AB=5,求△ADE的周长. 4如图，1B为⊙0 的直径，PDn⊙o D切©O于点C,与BA的延长线交于点D, DE⊥PO、PO 为 延长线于点E,连接OC,PB,已知PB=6,DB=8,∠EDB=∠EPB C D A E ⊙0 (1)求证： 是 PB 的切线： ⊙0 (2)求的半径. 3 (3)连接BE,求BE的长. △ABC,∠ACB=90° AC OC 5.在 中， 点O在上，以为半径的 0与B 相交于点P,且 2∠ACP=∠B; C 0 AB⊙O (1)求证： 是的切线. AB=10,BC=6 、⊙0 (2)若 ,求的半径。 6.已知41BCg⊙0 ∠BAC ⊙0 平分线与0相交于点D,连接 B,DC 是的内接三角形， A E B D 图1 图2 4 1)如图1，过点P作直线 DE∥BC,求证：DEgO0 是的切线： (2)如图2，点I在弦AD上，且CD=DI,求证：CI平分∠ACB: 巩固练习 1.如图， ⊙0 是aABC BC 的外接圆，P是延长线上一点，连接 AOC,PA,且 ∠PCA=∠PAB,点D是AC中点，OD的延长线交AP于点Q,则下列结论： 5 A ①∠B=∠10D,②O0垂直平分1C,③直线PA和C 00 .C ⊙0 C2∥AO 都是 的切线：④ 其中正确的结论是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④ 2.如图，在钜形4BCD中，B=5,D=3,连接4C,点E为4AC上一个动点，点F 为BC上一个动点，连接BE、EF,且始终满足∠ABE=∠BFE,则线段BF的最小值为( ) D A.1 B.2 C. D.2 3.如图，P1.9是0的切线，A,B为切点，4C怎 ⊙0 1C是o0的直径，若∠P=26,则 ∠BAC的度数为 B 4、如图，矩形4BCD。 AB=4,AD=9⊙0 AD,BC,CD 中， 分别与边 相切，点E,F分别 在D, C上，将四边形4BFE沿者F翻折得四边形EFGH并满足FG所在的直线恰好与 6 ⊙0 相切，切点为P,设线段FB的长为，则FP (用含x的代数式表示)； 若AE=1,则x的值为 H AE D G ⊙ F C 5.如图，P1.PB分别与O0相切于AB两点，∠P=6,PH=6,则O0的半径为 ⊙0 B 6.如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O,以点D为圆心、DA为半径作圆弧 AE 交半圆O于点P.连接DP并延长交AB于点E,则BE的值为 A B 7如图，1B是0的直径，4B=10 E为圆上的两点，过C作CD1MB于D,过 E作EF1AB于F,CD=3,EF=4,点H为AB上一动点，连接HC、HE,则HC+HE 的最小值为 1 D HO F B 8.如图，四边形BCDE内接于O0,其中BC=4DE-2 5,分别延长BE、CD交于点 A，若tan∠A= =3,则00的半径为一· 0 B C 9.学校要举办运动会，九(1)班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸 片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切 小聪用A,B,C ”，表示三角形纸片的三个顶点（如图1）·请你按要求完成： C A B 图1 ()尺规作图：在图1中找出圆心点O(要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法)： ②若纸片三边长分别是，C=8,4C=6,B=10,O0与边4B,BC,C1 别相切 于点D,E,F(如图2)，求小聪截得的圆形道具的面积. 8 C E D B 图2 Rt△ABC 10.如图，在 中， 为直径的00交4C ，以B ∠ABC=90° 于点D,过点D的切 线交C十点E.求证：DE-BC。 A B E 11.如图，AC,BDa⊙0 D是0的切线，C,D为切点，连接B， 9 B D B 1B与0相切于点E,求证4C+D= (2)若1C+BD=AB 求证B与O0, 相切. 课后训练 1.如图，PA、B句o0于点A、8,PM=4,CD0于点E,交PA、PB于C、 D两点，则△PCD的周长是() A C D 0 B A.4 B.8 C.12 D.16 10