3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 教学设计 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

3.6 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 教学内容 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 课时 1 核心素养目标 1. 经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能， 在探索切线的判定条件的过程中，可采用旋转实验的方法来行之有效地解决问 题，使之形象而直观地为问题的结论而服务，并能解决简单的问题. 2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线； 3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念 4.能从数学的视角去发现问题、分析问题，会用数学语言准确刻画位置关系. 知识目标 1． 掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明； 2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线； 3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. 教学重点 理解并掌握同底数幂的乘法法则. 教学难点 能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 师生活动：学生自由讨论回答. 预设：都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？ 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：圆的切线的判定 合作探究 如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时， （1） 随着∠α 的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？ （2）当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r ？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么？ 师生活动： 教师利用多媒体演示旋转实验后，得出自己的猜想，然后引导学生动手再去验证自己的猜想，画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α 发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见，得出结论. 预设1： ∠α 从 90° 变小到 0°，再由 0° 变大到 90°， 点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到 0，再由 0 变大到 r. 预设2： 直线 l 与 ⊙O 先 相切 ，再 相交 ，最后又 相切 . 预设3： 当∠α = 90° 时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切. 师生共同总结： 切线的判定定理 过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 几何语言： ∵ OA 为⊙O 的半径，BC⊥OA 于A， ∴BC 为⊙O 的切线. 典例精析 例1 判断： (1) 过半径的外端的直线是圆的切线 ( ) (2) 与半径垂直的的直线是圆的切线 ( ) (3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( ) 师生活动：教师给学生时间，让学生分组讨论交流，充分发挥自己的意见。然后每组派代表发言，说出小组探究结果。 预设：（1）× （2）× （3）× 方法总结 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件： (1) 直线经过半径的外端； (2) 直线与这半径垂直. 做一做 已知 ⊙O 上有一点 A，过点 A 画 ⊙O 的切线. 师生活动：学生通过动手尝试，小组讨论，互相学习，得出作图方法，教师利用实物展台展示部分学生作品，适时进行表扬和鼓励。 方法总结 证明切线的方法 ： (1) 定义法(交点个数)； (2) 数量关系法(证明 d = r)； (3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 典例精析 例2 如图，已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C 并且OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是⊙O 的切线. 证明：连接 OC (如图). ∵ OA = OB，CA = CB， ∴ AB ⊥ OC. ∴ OC 是⊙O 的半径. ∴ AB 是⊙O 的切线. 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°， ∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB. ∴ AC 是⊙O 的切线. 师生活动：教师先让学生尝试完成例题，如果学生通过讨论不能完成，教师引导学生作出辅助线，写出证明方法，然后独立完成巩固练习题，教师展示习题答案并总结两类题的解题方法，即“连半径，证垂直”和“作半径，证垂直”。 思考 观察例 2 和例 3，说说这两种证明方法有什么不同. 方法总结： 常见证切线作辅助线的方法： 有交点，连半径，证垂直； 无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 知识点二：三角形的内切圆及内心 探究：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？ 例4 已知：△ABC. 求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切. 师生活动：让学生在练习本上画草图进行分析，要明确此圆需在三角形的内部，且与三角形三边相切，然后重点探究确定圆心和半径的方法，并尝试画图，同时能口述画图过程，还要让学生说明这样做的道理. 作法： 1. 分别作∠B，∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I . 2. 过 I 作 BC 的垂线，垂足为D . 3. 以 I 为圆心，以 ID 的长为半径作⊙I . ⊙I 就是所求的圆. 与三角形三边都相切 知识要点 这样的圆可以作出几个? 为什么? ∵直线 BM 和 CN 只有一个交点 I， 并且点 I 到△ABC 三边的距离相等， ∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个， 并且只能作一个. 知识要点 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ☉I 是△ABC 的内切圆， 点 I 是△ABC 的内心， △ABC 是☉I 的外切三角形. 3、 当堂练习，巩固所学 1. 判断下列命题是否正确. (1) 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） (2) 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） (3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ） (5) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） (6) 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点. （ ） (7) 三角形的内心到三角形各边的距离相等. （ ） (8) 三角形的内心一定在三角形的内部. （ ） 2. 如图，⊙O 内切于△ABC，切点 D、E、F 分别在BC、AB、AC 上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接 OE，OF，DE，DF，那么∠EDF 等于(　　) A．40° B．55° C．65° D．70° 链接中考 1.(宁夏)如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：直线 DE 是⊙O 的切线. 设计意图： 由图片的形式向学生展示直线和圆有关的生活现象，创设问题情境，吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣．以问题的形式引导学生发现图片中直线和圆相切，从而引出本节课的课题. 设计意图：教师利用多媒体演示旋转实验，探索圆的切线与过切点的半径之间的关系，让学生通过观察，猜想，动手操作，得出直线l与半径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线，然后进一步加以验证，得出切线的判定定理，便于学生理解掌握。 设计意图：通过一组不是圆的切线的判断，让学生体会圆的切线必须满足三个条件：有过圆心的线（直径或半径）；过圆上的点（直径一端或半径外端）；垂直.为下步添加辅助线判断圆的切线做准备. 设计意图：利用作图加深对圆的切线的判定定理的理解，提升学生动手作图的能力，并通过辅助线的作法进行反思，引导学生了解得出圆的切线的各种方法. 设计意图：通过例 2 圆与直线有交点和例 3圆与直线无交点，让学生体会在判定切线时，如果已知点在圆上，则连半径是常用的辅助线，培养学生运用判定定理解决问题的能力。 设计意图：创设问题情境，吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣．以问题的形式引导学生发现图片中三角形的内切圆，从而引出知识点. 设计意图：学生已有了作外接圆的经验，让学生自主类比作外接圆的过程进行分析，一是提高学生的自主分析能力，二是培养学生的小组合作意识.学生通过作图还可以提高动手操作的能力和说理能力. 设计意图：学生类比外接圆和外心的概念，总结内切圆和内心的概念，一是提高学生的归纳能力，二是让学生体会类比思想. 设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 板书设计 切线的判定及三角形的内切圆 1.切线的判定方法 2．三角形的内切圆和内心的概念 课后小结 教学反思 本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$