3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时（教学设计）数学北师大版九年级下册

3.4 圆周角和圆心角的关系 （第1课时）教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版九年级下册数学第三章“圆”中3.4“圆周角和圆心角的关系”的第1课时。主要围绕圆周角的定义、圆周角定理及其推论展开，探究圆周角与对应的圆心角之间的数量关系，进而运用这些定理与推论解决一些简单的几何问题。 2.内容解析 本课时以情境引入，初步认识到当顶点落在圆周上时，所形成的角即为圆周角。接着重点阐述圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半。通过画图、测量、比较等环节，学生理解到同弧（或等弧）所对的圆周角相等这一推论。由此引申出多个典型应用场景，如足球射门取不同位置，弧所对圆周角相等等。课堂中将圆心相对圆周角所处位置分为三类，分别加以证明，强化“外角等于内对角之和”以及“等边三角形”等几何基础，进一步巩固定理的严谨性。在知识层面，本课突出理解与证明圆周角定理的重要性，并以圆周角与圆心角的“半”这种倍数关系为主线，通过例题与练习让学生掌握内接四边形、直径相关性质等综合运用。教学重点是熟练应用圆周角定理及其推论解决简单几何问题，难点在于对定理的分类讨论与证明思路的理解。本课时将充分利用学生对平行线、全等三角形、圆心角及内角外角关系的认知基础，让他们在观察与推理的过程中建构圆周角与圆心角之间的对应联系 1.教学目标 •理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理。 •理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题。 •了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”。 2.目标解析 •学生能区分圆心角与圆周角，并能正确指出圆周角的顶点与边在圆上的位置关系。 • 学生能独立或小组合作完成定理的三种位置分类证明，并理解外角与内对角之和的几何依据。 •学生能在几何图形中找出同弧或等弧，正确应用相关性质得出角度大小，或进行边长、弧长等推理。 •学生通过分类讨论的任务及课堂练习，熟练掌握圆心位置变化对圆周角度数的影响，形成完整的推理链条。 3.重点难点 • 教学重点：圆周角的概念、圆周角定理及其推论的运用。 • 教学难点：分情况证明圆周角定理时，对外角和等边三角形等几何性质的灵活应用，及对三种位置关系的全面理解。 学生在之前已学习了直径垂径定理、弦和弧的基础知识，具备基本的几何推理和作图能力，能辨识角和弧之间的关系。然而对“顶点在圆上的角”与“顶点在圆心的角”的区别需进一步明确。学生普遍乐于通过测量、对比发现规律，但在分类讨论及准确表述几何证明时往往略显不足。本节课需结合学生已有几何知识，通过循序渐进的探究活动，引导学生在实践和公式推导中理解并掌握圆周角定理及推论，夯实圆几何的综合运用能力。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 垂径定理: __垂直于弦___的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论: 平分弦（不是_直径_）的直径垂直于弦，并且__平分弦所对的弧__. 顶点在__圆心__，角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠BOC. 2.情景引入 如图，在足球射门的游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠BAC）有关．当球员在B、D、E三点射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠BAC，∠BAC，∠BAC．这三个角的大小有什么关系？在这三点射门的效果一样吗？ 图中的三个角∠ABC，∠ADC，∠AEC，以前见过这种类型的角吗？它们有什么共同特征？ 【设计意图】通过学生熟悉的“足球射门”情境，让他们观察不同位置对球门的“张角”变化，激发兴趣，引发对“顶点在圆上，角两边与圆相交”这类角的思考，为学习圆周角概念做铺垫。 探究点1：圆周角的定义 1.想一想 图中的三个角∠BAC，∠BAC，∠BAC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？ 解：顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交. 思考：确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流。 2.知识归纳 圆周角的定义： 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角概念的理解： (1)角的顶点在圆上； (2)角的两边都与圆相交.（两个条件缺一不可） 3.练一练 下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由. 解：（1)不是，因为顶点在圆内 (2)不是，因为顶点在圆外 (3)不是，因为边AC没有与圆相交 (5)不是，是圆心角 (4)（6）是圆周角 【设计意图】通过典型图形判断圆周角或非圆周角，让学生在观察与讨论中理解“顶点在圆上、两边与圆相交”是必备条件，突破“圆周角”的概念学习难点。 探究点2：圆周角定理 1.做一做 如图，∠AOB=80°． （1）请你画几个所对的圆周角？这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流． （2）这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流． 解：（1）∠D=∠E= ∠F=40° 使用量角器进行测量可得弧AB所对的圆周角的度数都相等． （2）∠D=∠E= ∠F=∠AOB. 利用量角器得出弧AB所对的圆周角都等于40°，都等于弧AB所对的圆心角80°的一半． 2.议一议 在图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？说说你的想法，并与同伴交流． 解：仍然成立 3.知识归纳 圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 4.新知探究 已知：如图，∠C是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角. 求证：∠C=∠AOB. 分析：根据圆周角与圆心的位置关系，分三种情况讨论： （1）圆心O在∠C的一条边上； （2）圆心O在∠C的内部； （3）圆心O在∠C的外部. 证明：（1）当圆心O在圆周角∠C的一边上时，如图(1)． ∵∠AOB是△ACO的外角， ∴∠AOB=∠C+∠A． ∵OA=OC， ∴∠A=∠C． ∴∠AOB=2∠C， 即∠C=∠AOB. （2）当圆心O在圆周角∠C的内部时，如图(2)． 如图，连接CO并延长，交圆O于D， ∵∠AOD是△AOC的外角，∠BOD是△BOC的外角， ∴∠AOD=∠ACO+∠A，∠BOD=∠BCO+∠B． ∵OA=OC，OB=OC， ∴∠A=∠ACO，∠BCO=∠B． ∴∠AOD=2∠ACO，∠BOD=2∠BCO． ∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO =2(∠ACO+∠BCO)=2∠ACB． 即∠ACB=∠AOB. （3）当圆心O在圆周角∠C的外部时，如图(3)． 如图，连接CO并延长，交圆O于D， ∵∠AOD是△AOC的外角，∠BOD是△BOC的外角， ∴∠AOD=∠ACO+∠A，∠BOD=∠BCO+∠B． ∵OA=OC，OB=OC， ∴∠A=∠ACO，∠BCO=∠B． ∴∠AOD=2∠ACO，∠BOD=2∠BCO． ∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO =2(∠ACO-∠BCO)=2∠ACB． 即∠ACB=∠AOB. 5.练一练 如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是(　　) A．25°   B．30°  C．40°  D．50° 解：A 【设计意图】分情境、分案例的方式使学生理解圆心与圆周角位置多样，培养分类讨论和几何推理能力，使“圆周角 = 圆心角的一半”这一结论印象深刻。 探究点3：圆周角定理的推论 1.想一想 （1）在足球射门的游戏中，球员在B、D、E三点射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ 解：它们都是所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于∠AOC度数的一半，所以这三个角相等． （2）如图，在☉O中，那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么? 解：∠C=∠G. 理由：如图，连接AO，BO，EO，FO， ∵， ∴∠AOB=∠EOF， ∵∠C=∠AOB，∠G=∠EOF， ∴∠C=∠G. 2.知识归纳 圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 3.练一练 如图，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝(　　) A．150°   B．75° C．60°  D．15° 解：B 4.典例分析 例1 如图，所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，E在⊙O上． (1)∠AOD＝52°，求∠DEB的度数； (2)若AC＝，CD＝1，求⊙O的半径． 解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB， ∴ ， ∴. (2)设⊙O的半径为x，则OC＝OD－CD＝x－1. ∵， ∴，解得x＝4， ∴⊙O的半径为4. 例2 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在弧AB上，连接CD交AB于点E，点B是的中点. 求证：∠B＝∠BEC. 证明：∵B是的中点， ∴， ∴∠BCE＝∠BAC. ∵∠BEC＝180°-∠B-∠BCE，∠ACB＝180°-∠BAC-∠B， ∴∠BEC＝∠ACB. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠BEC. 【设计意图】以生活化情境引探，推导圆周角定理推论，搭配基础练习+典例，落实知识，提升几何推理与综合解题能力。 1．如图，在☉O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于(　　) A.40° B.45° C.50° D.60° 解：D． 2.如图，AB是☉O的直径，C、D、E是☉O上的点，则∠1+∠2等于（　　） A．90° B．45° C．180° D．60° 解：A． 3.如图，☉O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（　　） A．15° B．25° C．30° D．75° 解：C. 4.如图，点A、B、C是☉O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　） A．12.5° B．15° C．20° D．22.5° 解：B． 5. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C, D为半圆上的两点，∠CAD=25°，则∠COD 的度数为_____. 解：50° 6.如图，点B，C在☉O上，且BO＝BC，则圆周角∠BAC ＝______. 解：30° 7.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ADB=______. 解:50° 8.如图，OA,OB,OC都是☉O的半径，∠AOB=50°,∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数. 解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB所对的弧为, ∴∠ACB=∠AOB=25°. 同理∠BAC=∠BOC=35°. 9.如图，△ABC的三个顶点都在☉O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长． 解:如图，连接OC. ∵ ∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B， ∴ ∠AOC＝∠DAC， ∴ CO＝AC. 又∵ OA＝OC， ∴ AO＝AC＝OC， ∴ △AOC是等边三角形， ∴ AC＝AO＝AD＝3 cm. 【设计意图】通过对不同位置圆弧、圆心角、圆周角的分析，学生可反复验证“同弧或等弧所对的圆周角相等”以及圆心角与圆周角的数量关系，进而灵活应用于求角、求边等各类题型。 主板书 3.4 圆周角和圆心角的关系 （第1课时） 探究点1 圆周角的定义 探究点 2 圆周角定理 探究点3 圆周角定理的推论 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题3.4第1-3题。 2.探究性作业：习题3.4第4题。 学科网（北京）股份有限公司 $