3.8 圆内接正多边形（教学设计）数学北师大版九年级下册

3.8 圆内接正多边形 教学设计 1.教学内容 本节内容选自北师大版·九年级下册第三章圆，侧重“圆内接正多边形”的概念与应用。学生需要在已有圆与正多边形的基础知识上，进一步掌握内接正多边形的特征与作图方法，为后续几何综合解题与探索提供支撑。 2.内容解析 本节核心在于明确“正多边形的顶点均在同一圆上”以及边心距、半径、中心角、边长之间的关系。通过作图或构造直角三角形，学生能理解正边形的中心角为 ，并掌握用分割圆或作切线等方法来构造与分析圆内接正多边形，最终应用于解决实际问题。 1.教学目标 •了解圆内接正多边形的有关概念。 •理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系。 •会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题。 2.目标解析 • 通过实际图片观察与作图练习，引导学生理解正多边形顶点共圆的特征； • 借助中心角与半径的构造，使学生能推导出边心距、边长间的数量关系； • 结合典型实例，提升运用几何方法分析及解决建筑、设计等情境问题的能力。 3.重点难点 • 教学重点：正多边形各要素（半径、中心角、边心距、边长）的数量关系。 • 教学难点：将几何概念与实际情境结合，熟练运用分割圆或构造直角三角形等方法进行综合解题。 学生对正多边形与圆的初步概念已有一定了解，但对“内接”与“外接”的区别及正多边形与圆心间的关联尚不熟悉。部分学生在运用三角形几何性质和勾股定理时不够灵活，需要重点演示作辅助线的方法，以加深对正多边形边心距等概念的理解和应用。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长． ②切线长定理： 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． ③各边相等 ,各角也相等的多边形叫做正多边形. 2.情景引入 问题1： 观看下面的图形，你能从这四幅图中找出多边形吗？它们都是几边形？ 解：三角形 六边形 四边形 五边形 问题2： 上图的多边形都是什么样的多边形？ 解：是各边都相等，各内角都相等的正多边形. 【设计意图】通过呈现与正多边形相关的直观图形以及复习关于圆切线与正多边形的概念，激发学生的已有认知，带领学生思考什么是“正多边形”并适度复习切线长定理等旧知，为后续探究“圆内接正多边形”作铺垫。 探究点1：圆内接正多边形 1.尝试思考 观看下面的图形，这些正多边形的顶点都具有什么样的特征？ 解：它们的顶点都在同一个圆上． 2.想一想 如何作圆内接正多边形呢？ 如图，把⊙O分成相等的5段弧，即，依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？说说你的理由 解：是正五边形. 证明：∵ ∴AB=BC=CD=DE=EA. ∴ ∴∠A=∠B.　 同理 ∠B=∠C=∠D=∠E. ∴ 五边形ABCDE是正五边形. 3.知识归纳 ◎圆内接正多边形 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆． ◎利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法： 把一个圆n等分(n≥3)，依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多边形． 这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆. 拓展：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形． 4.议一议 以正五边形为例，了解圆内接正多边形的相关概念 解：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， 圆心O叫做这个正五边形的中心； OA是这个正五边形的半径； ∠AOB是这个正五边形的中心角； OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距． 思考:正五边形的中心角是多少？正n边形呢？ 【设计意图】通过学生对图形的观察，明确“圆内接正多边形”这一核心概念，并与“外接圆”一一对应，奠定后续探究的概念基础，同时培养学生的空间观察与抽象概括能力。 探究点2：正多边形的相关性质及应用 1.知识归纳 正n边形的性质： ①正n边形的每个中心角都相等，都等于； ②正n边形的每个外角都相等，都等于； ③正n边形的每个内角都相等，都等于180°- 2.做一做 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（ ） A．60° B．45° C． 36° D． 30° 解：C 3.例题探究 例：如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距. 解：连接OD. ∵六边形ABCDEF为正六边形. ∴∠COD==60°， ∴△COD为等边三角形， ∴CD=OD=4 在Rt△COG中,OC=4,CG=BC=×4=2. ∴OG===2, ∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4，边心距为2. 4.方法归纳 在解决正多边形与圆的问题中，常通过作辅助线构造直角三角形求解． ①连半径，得中心角； ②作边心距，构造直角三角形. 5.做一做 你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗? 分析：由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径R. 所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可将六等分圆，进而作出圆内接正六边形. 作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC； (2)分别以F，C为圆心，以R为半径作弧，与⊙O交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点； (3)顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便得到正六边形ABCDEF. 6.典例分析 例1 如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°； (2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°； (2)在⊙O上用圆规截取； (3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD； (2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C； (3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE； (2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C； (3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形． 例2 如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26 m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心，求地基的中心到边缘的距离.(结果精确到0.1 m) 解：如图，作OM⊥AB于点M，连接OA， OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角． 由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°， ∴ ∠AOM＝36°． ∵ AB＝×26＝5.2(m)，∴ AM＝2.6(m)． 在Rt△AMO中，边心距OM＝＝≈3.6(m)． 所以地基的中心到边缘的距离约为3.6 m． 【设计意图】通过“例1”让学生把握正多边形与圆之间的构造关系，突出“中心角分割”或“逐段截取弦”的思路； 通过“例2”将圆内接正多边形与实际问题联系，强调运用三角函数求边心距或求正多边形外接圆半径的方法，有助于学生理解“边长—中心角—半径—边心距”的综合关系。 1.正多边形的一部分如图所示，若∠ACB=20°，则该正多边形的边数为（     ） A．6 B．8 C．9 D．12 解：C． 2.如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则∠CAD的度数为（      ） A．10° B．15° C．20° D．25° 解：B． 3.如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠ANF的度数为（    ） A．108° B．125° C．90° D．144° 解：A. 4.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC.若正六边形的边长为4，则点O到AC的距离OG的长为（     ） A．2 B．2 C．3 D．1 解：B． 5. 如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的，那么n的值是_____. 解：8 6．若正多边形的一个中心角为60°，边长为4cm，则这个正多边形外接圆的半径为_____cm． 解：4 7. 图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为____． 解： 8. 如图，⊙O是半径为3的正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接DF，则DF的长为____． 解：3 9.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积． 解：连接AO，BO，CO，AC， ∵正八边形ABCDEFGH的半径为2， ∴AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC=360°÷8=45° ∴∠AOC=90°， ∴AC= 2，此时AC与BO垂直， ∴S四边形AOCB=BO×AC=×2×2=2 ∴正八边形面积为：2×=8． 10.有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 ). 解：过点O作OM⊥BC于M. 在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝ 利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的周长l=6×4=24(m) 亭子地基的面积 【设计意图】通过精选多角度的针对性题目，帮助学生查漏补缺，稳固知识。 主板书 3.8 圆内接正多边形 探究点1 圆内接正多边形 探究点 2 正多边形的相关性质及应用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题3.8第1-3题。 2.探究性作业：习题3.8第4题。 学科网（北京）股份有限公司 $