第14讲 弧长与扇形的面积（知识详解+3典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

本初中数学讲义聚焦弧长与扇形的面积核心知识点，系统梳理弧长公式、扇形面积公式及弓形面积计算，衔接圆的基本性质，通过知识详解搭建基础，典例分析衔接实际应用，形成完整学习支架。 资料以“举一反三”典例设计为特色，结合博物馆屋顶瓦片、皮带轮等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的几何直观与空间观念。通过变式训练提升推理能力，分层习题巩固知识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

第14讲 弧长与扇形的面积（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：弧长 知识点02：扇形的面积 典例分析 （举三反三） 考点1：弧长的计算 考点2：不规则图形的面积的计算 考点3：利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】弧长 1. 弧长公式 在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=. 2. 弧、弧长、弧的度数间的关系 (1)弧相等表示弧长、弧的度数都相等； (2)度数相等的弧，弧长不一定相等； (3)弧长相等的弧，弧的度数不一定相等，只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧. 【知识点02】扇形的面积 1. 定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 2. 面积公式 (1)已知半径R 和n°的圆心角，则S扇形=. (2)已知弧长l 和半径R，则S扇形=lR. 3. 弓形的面积 (1)当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S弓形=S扇形－S三角形； (2)当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S弓形=S扇形+S三角形. 【题型一】弧长的计算 【典例1-1】1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，15cm为半径的弧，弦AB的长为15cm，则的长是 （    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】D 【分析】本题主要考查弧长的计算，根据弧长公式（为所在圆的半径，为的度数的数值）即可求得答案． 【详解】∵， ∴为等边三角形． ∴ ． ∴． 故选：D 【典例1-2】（25-26九年级上·广西·期末）已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查求扇形的弧长，根据扇形的弧长公式（其中，为圆心角度数，为半径）求解即可． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为6， 代入弧长公式中，得， 故答案为：． 【典例1-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形是的内接四边形，，连接，若，求劣弧的长．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴劣弧的长： 【变式1-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）汽修工发现皮带轮上点逆时针旋转时，点随之向上移动．已知皮带轮半径为，当点转过的度数为时，点上升了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求弧长，根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，点上升了； 故选A． 【变式1-2】（25-26九年级上·江西上饶·月考）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求弧长，解题关键是掌握弧长公式． 根据弧长公式计算． 【详解】解：∵用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动， ∴重物上升了（）， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·江西南昌·月考）（1）解方程：． （2）龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长． 【答案】（1），；（2）米 【分析】本题考查解一元二次方程、弧长公式，理解题意是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先利用弧长公式求得弧形的弧长，进而根据弧长部分占龙总长的二分之一求解即可． 【详解】解：（1）原方程可化为 ∴或 ∴，； （2）∵弧形的半径为2米，圆心角为， ∴该弧形的弧长为（米）， ∴整条龙的长为米． 【题型二】不规则图形的面积的计算 【典例2-1】（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，在小正方形边长均为1的网格中，扇形与扇形中的点，，，，都在格点上，与交于点，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不规则图形面积，网格与勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合网格特征，得，，再根据割补法进行列式计算，把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，， 则， ， 则阴影部分的面积为， 故选：D． 【典例2-2】（2026九年级·全国·专题练习）如图，在等边三角形中，，以为直径作半圆分别交于点D，E，连接，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．取的中点，连接，先证出和都是边长为1的等边三角形，则，，，，，再求出的面积，然后根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵在等边三角形中，， ∴，，， ∵， ∴和都是边长为1的等边三角形， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 【典例2-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，是的直径，点在的延长线上，弦，垂足为，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查切线的判定和求不规则图形的面积，熟练掌握切线的判定定理和不规则图形面积的求法是解题的关键． （1）连接，证明，即可求证； （2）根据垂径定理和勾股定理，求出、和的长以及圆心角，再根据扇形、三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ， ∵, ∵ ，即， ， 又∵是的半径， 是的切线； （2）解：由（1）可知， 在中，，， ，， ∵，是的直径， ，， , 扇形的面积为， 在中，， ，， ， 的面积为， 根据图形可知， ， 则图中阴影部分的面积为． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，已知扇形的圆心角，为弧的中点，以为直径作半圆，得到甲、乙两个新图形（阴影部分），则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系是（  ） A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积公式和圆的面积公式，熟练掌握扇形面积公式（）与圆的面积公式，并通过“作差法”（用公共空白部分关联甲、乙面积）比较大小是解题的关键．设扇形半径为定值，分别表示出甲、乙的面积，通过计算比较大小． 【详解】解：设． ∵扇形的圆心角为，是弧中点， ∴扇形的圆心角为，半径为； 以为直径的半圆半径为． ∵，， ∴比较与即可． ∵，， ∴， ∴． 故选：． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东惠州·月考）如图，扇形的圆心角为直角，边长为2的正方形的顶点分别在半径、和弧上．则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质和扇形面积的计算，根据正方形的性质得，，再根据割补法进行计算即可． 【详解】解：连接，则， ∵正方形边长为2， ∴，， ∴扇形的面积为， 故阴影部分的面积为． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线． (2)若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，扇形面积公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）连接．由是直径，可得，再证，从而有，即可证明； （2）阴影部分的面积即为的面积减去扇形的面积． 【详解】（1）解：证明：连接， 是直径， ， ，， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 【题型三】利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题 【典例3-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按逆时针方向旋转到点的位置，求的长．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】这道题主要考查初中数学中 “圆”​ 章节的核心知识点，弧长公式，平面直角坐标系，勾股定理，图形的旋转，解题的关键点在于确定半径和圆心角，易错点在于弧长公式记错或代入错误；根据点的坐标求出的长度，以及圆心角度数，代入公式即可． 【详解】过点作轴于点． ∵点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 即， 则． ∵在中， ， ∴． 故选D． 【典例3-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧上的点处，点C的对应点为点 ，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r，那么扇形的面积S=． 【详解】解：连接，过作于，则，如图， ∵将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点， ∴扇形和扇形的面积相等，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【典例3-3】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； (2)在（1）的条件下， ①点B的对应点坐标为________； ②求线段在旋转过程中围成的扇形的面积（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及扇形面积公式． （1）根据旋转的定义作出点、绕点逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）①由旋转后的图形得出； ②根据扇形面积公式列式计算即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）①由图知点的坐标为； ②，， ． 【变式3-1】（24-25九年级上·新疆伊犁·月考）如图，直径为的半圆，绕点逆时针旋转，此时点旋转到点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，旋转的性质，设分别为点，由旋转可得，，，即可得，据此解答即可求解，利用转化思想把不规则图形转化为规则图形来求是解题的关键． 【详解】解：如图，设分别为点， 由旋转可得，，， ∴， 故选：． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则曲线（虚线部分）的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转性质、弧长公式，熟记弧长公式是解答的关键．利用旋转性质得到，，然后利用圆的周长公式和弧长公式求解即可． 【详解】解：由旋转性质得，， ∴曲线（虚线部分）的长度为， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，将矩形绕点C沿顺时针方向旋转到矩形的位置，，． (1)连接，，判断的形状并证明； (2)计算阴影部分面积． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先根据旋转的性质得到，，然后利用垂直平分线的性质得到，进而求解即可； （2）先求出，，求出，，然后利用代数即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接，， ∵矩形绕点C沿顺时针方向旋转到矩形的位置， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰三角形； （2）由旋转可得，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了求扇形和阴影面积，旋转的性质，垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的判定，矩形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 一、单选题 1．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用弧长公式求解即可． 【详解】解：的长度． 故选：B． 2．（24-25九年级下·贵州铜仁·月考）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求扇形面积，根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．解题的关键是掌握扇形面积公式． 【详解】解：根据题意可得： ∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，现将此扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在上时，停止旋转，则线段（弧）的长（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质以及弧长公式，根据题意可得的长，求出的长即可求解，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，的长， ∵， ∴的长， ∴， 故选：． 4．（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，为的直径，点在上，连接．若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，掌握扇形面积的计算公式．过作于，判定是等边三角形，得到，求出，于是扇形的面积，由等边三角形的性质得到的长，由勾股定理求出，进而求出的面积，根据阴影部分的面积扇形的面积的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过作于， 直径，， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， 故选：D． 5．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，已知的半径为为的直径，为半圆弧的中点，四边形的边与相切，切点为，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． 图中阴影部分的面积为，求出相关数据计算即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∵为半圆弧的中点， ∴，， 连接， ∵四边形的边与相切，切点为， ∴且， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A． 6．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，弧长，综合运用相关知识是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由旋转得，从而证得是等边三角形，得到，即旋转角为，再根据勾股定理求出，根据弧长公式即可解答． 【详解】解：∵点D是的斜边的中点， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴由旋转可得， ∵点D是的中点， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：C 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏连云港·月考）将半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握弧长公式． 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， 则， 解得：， 故圆锥的底面半径为． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，已知点A，B，C依次在上，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆周角定理．由圆周角定理求出∠AOB的度数，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的长． 故答案为：． 9．（24-25九年级下·广东深圳·月考）某商场卫生间旋转门锁的局部图如左图所示，右图是其工作简化图．其中把手旋转支点到门边的距离．在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A处）．旋转一定角度，使得把手底端恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为．在关门过程中把手的最大旋转角为（把手底端到达处），则关门时把手底端运动的路径的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 先由勾定理求出所在圆的半径，再根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：由题意知：， 设，则， 在中，，， 由勾股定理得， 解得： ∴的长度 故答案为：． 10．（24-25九年级下·陕西安康·月考）如图，是的直径，C，D是上位于两侧的点，，交的延长线于点E，且平分，若，， （1）的长为 ． （2）阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆中阴影面积的计算，垂径定理的应用，勾股定理的应用，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）连接，根据垂直定义可得，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，然后利用平行线的性质可得；如图，过点O作，垂足为F，根据直角三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，证明四边形为矩形，则； （2）连接，过点O作，垂足为F，根据已知易得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点O作，垂足为F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 故答案为：； ②连接，过点O作，垂足为F， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴图中阴影部分的面积扇形的面积的面积 ， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 11．（24-25九年级下·四川内江·月考）已知如图，扇形的半径为，弧长为，求阴影部分的面积为 ； 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，掌握等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、三角形的面积和扇形面积计算公式、弧长计算公式是解题的关键． 过点作于点，根据弧长公式求出的度数，由等边三角形的判定与性质、特殊角的三角形函数值、三角形的面积公式求出的面积，由扇形面积公式求出扇形的面积，再根据阴影部分的面积扇形的面积的面积计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 设， 根据题意，得， 解得， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（24-25九年级下·湖北荆州·月考）如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则，，围成的图形的面积是 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，正方形的性质，旋转的性质，先根据正方形的性质得出，，再求出面积即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E， ∴，，围成的图形的面积是， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级下·全国·期末）已知扇形的半径为3，圆心角为，那么这个扇形的周长是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算．记住弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．先利用弧长公式计算出扇形的弧长，然后加上两个半径的长即可得到这个扇形的周长． 【详解】解：这个扇形的弧长为：， ∴这个扇形的周长，． 14．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置． (1)若正方形的边长是，．则阴影部分面积为___________； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据题意， ，根据公式计算即可． （2）连接，根据题意， ，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）如图，∵正方形，旋转到的位置， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图所示，连接，    根据题意， ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，阴影面积的计算，扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，阴影面积的计算，扇形面积公式，勾股定理是解题的关键． 15．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）太空漫步机是小区里常见的健身器材．双手握住扶手，两脚踩在踏板上，前后摆动双腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图1，静止时踏板连杆与立柱看作共线，长为0.2米．图2为运动时漫步机的示意图，当绕着点A旋转到时，测得，此时点C距离地面的高度为0.45米．求摆动一步的路程的长度（精确到0.1米，参考数据：，，，）． 【答案】摆动一步的路程约为0.8米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式，圆的性质，矩形的性质与判定，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点C作于点H，先求出，再根据四边形是矩形得出，利用求出，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：过点C作于点H， 在中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即， 解得，， （米）， 答：摆动一步的路程约为0.8米． 16．（2026九年级·广西·专题练习）如图，是的直径，点在上，连接，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图，先利用平行线的性质得到，则可证明，接着证明，然后根据圆周角定理得到，从而可证明，于是根据切线的判定方法得到结论； （2）先利用点F是OE的中点得到，则根据余弦的定义可求出，再根据含度角的直角三角形三边的关系计算出，，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式，利用阴影部分的面积=进行计算． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的直径， 即 即 是⊙O的切线； （2）解：∵点F是的中点， 在中， 在中， ， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式． 17．如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及扇形面积公式，熟练掌握切线的判定与性质、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及扇形面积公式是解题的关键； （1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，，，由题意易得，则有，然后可得是等边三角形，进而根据扇形面积公式及等积法可进行求解． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线． （2）解：如图，连接，，， ∵点是劣弧的中点， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 又， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ． 18．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，已知是的直径，点为上一点，点为延长线上一点，若，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，解题的关键是连接半径构造等腰三角形，利用角度关系证明切线，再结合弧长公式计算弧长． （1）连接利用等腰三角形性质和圆周角定理求出和的度数，进而得到，证明是切线； （2）根据半径求出直径，结合（1）中得到的圆心角的度数，利用弧长公式计算的长． 【详解】（1）证明：连接． ∵（同圆半径相等）， ∴（等腰三角形两底角相等）． ∵， ∴． ∵ ∴（等腰三角形两底角相等）． 在中，． ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线（切线的判定定理）． （2）解：∵的半径为3， ∴． 由（1）知， 在中，． ∴的长为 答：的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 弧长与扇形的面积（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：弧长 知识点02：扇形的面积 典例分析 （举三反三） 考点1：弧长的计算 考点2：不规则图形的面积的计算 考点3：利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】弧长 1. 弧长公式 在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=. 2. 弧、弧长、弧的度数间的关系 (1)弧相等表示弧长、弧的度数都相等； (2)度数相等的弧，弧长不一定相等； (3)弧长相等的弧，弧的度数不一定相等，只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧. 【知识点02】扇形的面积 1. 定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 2. 面积公式 (1)已知半径R 和n°的圆心角，则S扇形=. (2)已知弧长l 和半径R，则S扇形=lR. 3. 弓形的面积 (1)当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S弓形=S扇形－S三角形； (2)当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S弓形=S扇形+S三角形. 【题型一】弧长的计算 【典例1-1】1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，15cm为半径的弧，弦AB的长为15cm，则的长是 （    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【典例1-2】（25-26九年级上·广西·期末）已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 ． 【典例1-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形是的内接四边形，，连接，若，求劣弧的长．（结果保留） 【变式1-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）汽修工发现皮带轮上点逆时针旋转时，点随之向上移动．已知皮带轮半径为，当点转过的度数为时，点上升了（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江西上饶·月考）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．（结果保留） 【变式1-3】（25-26九年级上·江西南昌·月考）（1）解方程：． （2）龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长． 【题型二】不规则图形的面积的计算 【典例2-1】（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，在小正方形边长均为1的网格中，扇形与扇形中的点，，，，都在格点上，与交于点，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026九年级·全国·专题练习）如图，在等边三角形中，，以为直径作半圆分别交于点D，E，连接，则阴影部分的面积为 ． 【典例2-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，是的直径，点在的延长线上，弦，垂足为，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，已知扇形的圆心角，为弧的中点，以为直径作半圆，得到甲、乙两个新图形（阴影部分），则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系是（  ） A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 【变式2-2】（25-26九年级上·广东惠州·月考）如图，扇形的圆心角为直角，边长为2的正方形的顶点分别在半径、和弧上．则阴影部分的面积为 ． 【变式2-3】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线． (2)若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 【题型三】利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题 【典例3-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按逆时针方向旋转到点的位置，求的长．（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧上的点处，点C的对应点为点 ，则阴影部分的面积为 ． 【典例3-3】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； (2)在（1）的条件下， ①点B的对应点坐标为________； ②求线段在旋转过程中围成的扇形的面积（结果保留） 【变式3-1】（24-25九年级上·新疆伊犁·月考）如图，直径为的半圆，绕点逆时针旋转，此时点旋转到点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则曲线（虚线部分）的长度为 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，将矩形绕点C沿顺时针方向旋转到矩形的位置，，． (1)连接，，判断的形状并证明； (2)计算阴影部分面积． 一、单选题 1．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·贵州铜仁·月考）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，现将此扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在上时，停止旋转，则线段（弧）的长（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，为的直径，点在上，连接．若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，已知的半径为为的直径，为半圆弧的中点，四边形的边与相切，切点为，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 6．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏连云港·月考）将半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 ． 8．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，已知点A，B，C依次在上，，，则的长为 ． 9．（24-25九年级下·广东深圳·月考）某商场卫生间旋转门锁的局部图如左图所示，右图是其工作简化图．其中把手旋转支点到门边的距离．在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A处）．旋转一定角度，使得把手底端恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为．在关门过程中把手的最大旋转角为（把手底端到达处），则关门时把手底端运动的路径的长度是 ． 10．（24-25九年级下·陕西安康·月考）如图，是的直径，C，D是上位于两侧的点，，交的延长线于点E，且平分，若，， （1）的长为 ． （2）阴影部分的面积为 ． 11．（24-25九年级下·四川内江·月考）已知如图，扇形的半径为，弧长为，求阴影部分的面积为 ； 12．（24-25九年级下·湖北荆州·月考）如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则，，围成的图形的面积是 （结果保留π）． 三、解答题 13．（24-25九年级下·全国·期末）已知扇形的半径为3，圆心角为，那么这个扇形的周长是多少？ 14．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置． (1)若正方形的边长是，．则阴影部分面积为___________； (2)若，求的长． 15．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）太空漫步机是小区里常见的健身器材．双手握住扶手，两脚踩在踏板上，前后摆动双腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图1，静止时踏板连杆与立柱看作共线，长为0.2米．图2为运动时漫步机的示意图，当绕着点A旋转到时，测得，此时点C距离地面的高度为0.45米．求摆动一步的路程的长度（精确到0.1米，参考数据：，，，）． 16．（2026九年级·广西·专题练习）如图，是的直径，点在上，连接，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 17．如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 18．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，已知是的直径，点为上一点，点为延长线上一点，若，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $