专题05 与平行四边形有关的折叠问题（举一反三专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题05 与平行四边形有关的折叠问题（举一反三专项训练） 【新教材湘教版】 【题型1 折叠平行四边形求角度】 1 【题型2 折叠平行四边形求线段长度】 5 【题型3 折叠平行四边形求面积】 11 【题型4 折叠平行四边形求周长】 16 【题型5 折叠平行四边形求最值】 19 【题型6 折叠平行四边形进行证明】 24 【题型7 折叠构造平行四边形求值】 30 【题型1 折叠平行四边形求角度】 【例1】（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，为边上一点，沿将四边形翻折得到四边形．若平分，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及折叠的性质，延长至点，通过平行关系求出，再利用互补得到，最后根据同旁内角互补即可求． 【详解】延长至点 沿将四边形翻折得到四边形 ， 是平行四边形， 和平行，和平行， 和平行 平分 和平行 故答案为：． 【变式1-1】如图，在中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，交于点，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关的知识．由平行四边形的性质得出，，由等边对等角得出，由折叠的性质可得：，，最后由三角形的内角和，即可得解． 【详解】解：在中，， ，， ， ， ， ， 由折叠可得：，， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质是关键． 根据平行四边形的性质得到，由折叠得到，结合题意得到，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 解得，， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【变式1-3】如图，在中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点F，连接CE．若，，则 度． 【答案】30 【分析】根据平行四边形的性质得出，由折叠可知，，进而推出，，则，以为边构造等边三角形，连接， 通过证明，得出，进而得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， 以为边构造等边三角形，连接， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，等腰三角形，利用相关性质解答． 【题型2 折叠平行四边形求线段长度】 【例2】如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，点E为边的中点，将沿翻折，得到，连接并延长交于点G，若，平行四边形的面积为6，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据题意得到，证明四边形为平行四边形，连接交于H，则，，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：将沿翻折，得到， ， ， E为边的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为平行四边形； ， 四边形是平行四边形，，的面积等于6， ，连接交于H，则，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】已知中，，，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，若是直角三角形，那么边 ． 【答案】或 【分析】由平行四边形的性质可得，，，， 由折叠的性质可得：，，分两种情况：当时，延长交于；当时；分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠的性质可得：，， 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点是的中点， 在中，， ∴， ∴； 如图，当时， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点、、在同一直线上， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴，， 综上所述，当是直角三角形时，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、含的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【题型3 折叠平行四边形求面积】 【例3】如图，在平行四边形中，，沿对角线翻折，点B的对应点为，与交于点E，此时恰为等边三角形，则重叠部分（即图中阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质及等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理解三角形，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，再由折叠的性质及等边三角形的性质确定是等边三角形，然后利用勾股定理得出，，即可求解． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， 由翻折可知， ∵恰为等边三角形， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∴阴影部分的面积和的面积相等， 在中，过点C作交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】如图所示，在平行四边形纸片中，与相交于点，将沿对角线翻折得到，若四边形的面积为，则翻折后纸片重叠部分的面积是 ．      【答案】/3平方厘米 【分析】根据平行四边形的性质以及已知条件求证出四边形是平行四边形，进而求出四边形是矩形；根据矩形的性质以及平行四边形的性质求出的面积，因为和可以看作是等底等高的三角形，得出 ． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是由翻折得到的，， ∴，点、、在同一条直线上， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、三角形面积公式，明确和可以看作是等底等高的三角形是解题的关键． 【变式3-2】如图，将▱沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，则▱的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和折叠证明即可得到，进而得到，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， ， 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏常州·期中）在中，，，是锐角，将CD沿直线l翻折落在直线AB上，C、D的对应点分别是、．若，则的面积是 ． 【答案】72或 【分析】本考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，判断是解题的关键，分 在线段上； 在线段延长线上，两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， 当在线段上时，如图，连接 ∵，， ∴， ∵折叠， ∴，且与，与之间的距离相等， 过E作，并反向延长交于H， 则，， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴，即， ∴， ∴的面积是； 当在线段延长线上时， 如图，连接 ∵，， ∴， ∵折叠， ∴，且与，与之间的距离相等， 过E作，并反向延长交于H， 则，， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴，即， ∴， ∴的面积是； 综上，的面积是72或， 故答案为：72或． 【题型4 折叠平行四边形求周长】 【例4】（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，点E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得四边形，交于点G，则的周长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，根据平行四边形的性质得到，由平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，推出是等边三角形，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，得到，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长， 故选：D． 【变式4-1】如图，在中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在边上的点处，若的周长为，的周长为，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质；根据折叠的性质将平行四边形的周长与的周长进行转化是解决问题的关键．根据折叠的性质可得、，从而的周长可转化为：的周长的周长，求出，再由的周长为，求出的长，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得、， ∴的周长的周长的周长， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵的周长， 即， ∴． 故选：A． 【变式4-2】如图，在三角形中，点D在上，点E在上，将沿直线翻折，连接，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，若四边形的周长为22，则的长为 　． 【答案】11 【分析】根据平移得出，，证明四边形为平行四边形，得出，根据折叠的性质可得，，求出，即． 【详解】解：∵向右平移若干单位长度后恰好能与边重合， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据折叠的性质可得，， ∵四边形的周长为22， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠和平移的性质，得出，． 【变式4-3】如图，在中，与相交于点O，，，，将沿直线翻折后，点B落在点E处，联结、，那么四边形的周长 ．    【答案】 【分析】过点作于点，连接，先根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，然后根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，最后根据四边形的周长公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ∵在中，，， ， ∵在中，，， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 是等边三角形， ， 则四边形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题关键． 【题型5 折叠平行四边形求最值】 【例5】如图，在中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】如图连接，过点作，交的延长线于点，首先求出线段、的长度；运用勾股定理求出的长度，根据三角形三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图连接，过点作，交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点为的中点，， ∴，， ∴, ∴， ， ∵ ∴ ∴ ， ∵ ∴点在上时，三点共线，此时的长度最小， ∴长度的最小值 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，最短路径等知识，解题关键是恰当作辅助线，将分散的条件集中；灵活运用平行四边形的性质、勾股定理等几何知识点来分 【变式5-1】如图，中，，，对角线与交于点，点在边上，且，点为边上一动点，将沿直线翻折，使得点落在点，连接，则长的最小值为(　　)    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】连接，先求出和，当点P、O、三点共线，且点O在线段上时，从而得出的最小值，即． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴，， ∴由折叠的性质得：． 又∵在中，与互相平分，， ∴， 又∵， ∴， 所以当点P、O、三点共线，且点O在线段上时，， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，三角形三边关系，折叠的性质等知识，知道点O在线段时取最小值是解题的关键． 【变式5-2】在中，点为边上一点，将沿着翻折得到，点为中点，连接、，若，，，则的最小值为 ．      【答案】 【分析】取的中点，连接，，利用翻折的性质证明全等，得到，判断出的最小值就是的长，再过点作于点，求出，，最后在中，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，，过点作于点，    则， 由翻折得到， ， 又点为中点， ， ， 在和中， ， ， ， 要求的最小值，只要求的最小值即可， 当，，三点在一条直线上时，取最小值， 此时， 即的最小值为． 在中， ，， 则 ∴,， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题是以翻折为背景两线段和最小值问题，考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数定义，勾股定理．利用翻折将不共端点的两线段的和转化为共端点的两线段的和是解题的关键． 【变式5-3】如图，平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，过点E作EF⊥AB于点F，与CD的延长线交于点G，连接BG，且BE＝BC，BG＝5，∠BGF＝45°，EG＝3，若点M是线段BF上的一个动点，将△MEF沿ME所在直线翻折得到△MEF′，连接CF′，则CF′长度的最小值是 ．    【答案】2 【分析】连接CE，易知当点F′落在线段CE上时，线段CF′的长度最小，在△BGF中，EF⊥AB，∠BGF＝45°，BG＝5，可得BF＝FG＝5，FE＝2，由勾股定理可得，BE＝，由平行四边形ABCD可得，AD∥BC，又因为BE⊥AD，推出BE⊥BC，继而推出△BCE是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出CE，根据翻折的性质可得EF′＝EF，最后由CF′＝CE－EF′即可求解． 【详解】解：如图所示，连接CE，易知当点F′落在线段CE上时，线段CF′的长度最小，    ∵EF⊥AB，BGF＝45°，BG＝5， ∴△BGF是等腰直角三角形，BF＝FG＝5， ∵EG＝3， ∴FE＝FG－ EG＝5－3＝2， 由勾股定理得，BE＝＝＝， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC 又∵BE⊥AD， BE＝BC ∴BE⊥BC ∴△BCE是等腰直角三角形， 由勾股定理得，CE＝＝， 根据翻折的性质可得：EF′＝EF＝2， ∴CF′＝CE－EF′＝－2 故答案为：－2 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、翻折的性质、勾股定理，综合运用这些知识点是解题的关键． 【题型6 折叠平行四边形进行证明】 【例6】已知，将沿对角线折得到． (1)如图1，当点E落在线段延长线上时，求证：； (2)如图2，当为锐角时，连接与线段相交于点F，试判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，连接，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)5或 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得和，进而得，再由翻折的性质得，据此可依据“”判定和全等； （2）过点D作于点H，先证和全等得，，再证四边形为矩形，进而可得出，，之间的数量关系； （3）由翻折的性质得：，，因此当为等腰三角形，有以下两种情况：①当时，过点D作于点H，由（2）可知，四边形为矩形，设，则，，在和中由勾股定理构造关于x的方程，解方程求得x，进而可求出的长；②时，延长交于点F，过点C作于M，由（2）可知，四边形为矩形，设，则，，在和中由勾股定理构造关于x的方程，解方程求得x，进而可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点E在线段延长线上， ∴， 由翻折的性质得：， 在和中， ∴； （2），，之间的数量关系是：． 理由如下： 过点D作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 由翻折的性质得：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 即：． （3）由翻折的性质得：，， ∵为等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①当时，过点D作于点H，如图所示： 由（2）可知：，四边形为矩形， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴； ②时，延长交于点F，过点C作于M，如图所示： 由（2）可知：，四边形为矩形，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴； 综上所述：的长为：5或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉折叠的性质和矩形的相关知识． 【变式6-1】在平行四边形中，将沿翻折，使点落在点处，和相交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据翻转变换的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到，计算即可． 【详解】证明：由折叠的性质可知，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等角对等边性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式6-2】如图，在平行四边形ABCD中，点P为边AB上一点，将△CBP沿CP翻折，点B的对应点B'恰好落在DA的延长线上，且PB'⊥AD，若CD＝3，BC＝4． （1）求证：∠DCB′＝90°； （2）求BP的长度． 【答案】（1）见解析；（2）BP＝． 【分析】（1）由折叠的性质可得：PB′＝PB，∠PB′C＝∠B，又由在平行四边形ABCD中，PB′⊥AD，∠D＝∠B，即可求得∠DCB′＝90°； （2）根据勾股定理求得DB′的长，然后设BP＝x，在Rt△AB′P中，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质可得：PB′＝PB，∠PB′C＝∠B， ∵四边形ABCD是平行四边形，PB′⊥AD， ∴∠B＝∠D，∠PB′A＝90°， ∴∠D+∠CB′D＝90°， ∴∠DCB′＝90°； （2）∵CD＝3，BC＝4， ∴AD＝B′C＝BC＝4， ∴DB′＝ ＝5， ∴AB′＝DB′﹣AD＝1， 设BP＝x，则PB′＝x，PA＝3﹣x， 在Rt△AB′P中，PA2＝AB′2+PB′2， ∴x2+12＝（3﹣x）2， 解得：x＝ ， ∴BP＝． 故答案为（1）见解析；（2）BP＝． 【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 【变式6-3】如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明； （2）作AG⊥BE于点G，因为D′F=DF，再证明DF=BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可． 【详解】（1）解：证明：∵点C与点A重合，折痕为EF， ∴∠AEF=∠CEF，AE=EC， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFE=∠CEF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∴AF=EC， 又∵AF∥EC， ∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵AE=AF， ∴四边形AFCE为菱形． （2）如图，作AG⊥BE于点G， 则∠AGB=∠AGE=90°， ∵点D的落点为点D′，折痕为EF， ∴D'F=DF． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC． 又∵AF=EC， ∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE． ∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=， ∴AG=GB=6． ∵四边形AFCE为平行四边形， ∴AE∥FC． ∴∠AEB=∠FCE=60°． ∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°， ∴GE==， ∴BE=BG+GE=， ∴D′F=． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F=BE是解题的关键． 【题型7 折叠构造平行四边形求值】 【例7】一个中，为斜边的中点，E为直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点F，若是面积的一半，则 ． 【答案】 【详解】本题主要考查了折叠问题、勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 通过勾股定理可得的长度，根据折叠的性质及等高的两个三角形的面积比等于边长比可得，可求，，可得，可证是平行四边形，可求得，根据勾股定理可得的长度． 【解答】解：如图，连接， ∵， ∴ ， ∵D是中点， ∴， ∵将沿折叠至， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，，，E为线段上一点，将沿折叠，使点A落在处．若的延长线与交于点F，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质与判定、等角对等边、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由垂直的定义和平行线的性质可得，由折叠的性质得，，，利用平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，得到，，设，表示出，，则有，推出，求出的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-2】如图，在中，，D是的中点，E是上的点，延长交的延长线于点G， 将沿折叠，得到，  连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，先由平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，，进而可证明是等腰直角三角形，得到，，再证明四边形是平行四边形，得到，则，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】【模型建立】 （1）如图1，已知在中，点D是边的中点，将 沿翻折得到，连接，． ①求证：是直角三角形； ②延长，交于点E，判断与的数量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （2）如图2，已知在中，点D是边的中点，点E是边上一点，将沿翻折得到，连接，． ①判断与的位置关系，并证明你的结论； ②若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．    【答案】（1）①见解析；②，证明见解析；（2）①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）①根据翻折性质得到，利用等腰三角形的性质得到，，再根据三角形的内角和定理求得，即， 进而证得结论； ②同①中方法，利用翻折性质和等腰三角形的判定与性质，结合三角形的内角和定理求得，进而得到即可得出结论； （2）①由（1）知 ，再利用翻折性质得到，，则，再根据三角形的内角和定理推出，利用等角的余角相等得到，进而利用平行线的判定可得结论； ②如图2，延长，交于，由翻折性质可得到 ，，利用平行线的性质和等腰三角形的等角对等边推出 ，证明四边形是平行四边形，得到，进而由可得结论． 【详解】（1）①证明： ∵将沿翻折得到，，则， ∵点是边的中点，，则， ∴ ， ∴， ， 是直角三角形； ②， 证明：如图1，延长，交于点，    ∵将沿翻折得到， ，， ， ∵点是边的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）①， 证明：由（1）知，，， ∵将沿翻折得到， ，，， ， ，又， ， ； ②， 证明：如图2，延长，交于，， ∵将沿翻折得到， ，， ，， ，，    ， 四边形是平行四边形， ，， ， ． 【点睛】本题考查翻折性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折性质以及等腰三角形的判定与性质，（2）②中证得是解答的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 与平行四边形有关的折叠问题（举一反三专项训练） 【新教材湘教版】 【题型1 折叠平行四边形求角度】 1 【题型2 折叠平行四边形求线段长度】 2 【题型3 折叠平行四边形求面积】 3 【题型4 折叠平行四边形求周长】 4 【题型5 折叠平行四边形求最值】 4 【题型6 折叠平行四边形进行证明】 5 【题型7 折叠构造平行四边形求值】 7 【题型1 折叠平行四边形求角度】 【例1】（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，为边上一点，沿将四边形翻折得到四边形．若平分，且，则的度数为 ． 【变式1-1】如图，在中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，交于点，则的度数是 ． 【变式1-2】（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为 ． 【变式1-3】如图，在中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点F，连接CE．若，，则 度． 【题型2 折叠平行四边形求线段长度】 【例2】如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 【变式2-1】如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，，则的长为 ． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，点E为边的中点，将沿翻折，得到，连接并延长交于点G，若，平行四边形的面积为6，则 ． 【变式2-3】已知中，，，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，若是直角三角形，那么边 ． 【题型3 折叠平行四边形求面积】 【例3】如图，在平行四边形中，，沿对角线翻折，点B的对应点为，与交于点E，此时恰为等边三角形，则重叠部分（即图中阴影部分）的面积为 ． 【变式3-1】如图所示，在平行四边形纸片中，与相交于点，将沿对角线翻折得到，若四边形的面积为，则翻折后纸片重叠部分的面积是 ．      【变式3-2】如图，将▱沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，则▱的面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏常州·期中）在中，，，是锐角，将CD沿直线l翻折落在直线AB上，C、D的对应点分别是、．若，则的面积是 ． 【题型4 折叠平行四边形求周长】 【例4】（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，点E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得四边形，交于点G，则的周长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【变式4-1】如图，在中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在边上的点处，若的周长为，的周长为，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在三角形中，点D在上，点E在上，将沿直线翻折，连接，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，若四边形的周长为22，则的长为 　． 【变式4-3】如图，在中，与相交于点O，，，，将沿直线翻折后，点B落在点E处，联结、，那么四边形的周长 ．    【题型5 折叠平行四边形求最值】 【例5】如图，在中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ． 【变式5-1】如图，中，，，对角线与交于点，点在边上，且，点为边上一动点，将沿直线翻折，使得点落在点，连接，则长的最小值为(　　)    A． B．2 C． D． 【变式5-2】在中，点为边上一点，将沿着翻折得到，点为中点，连接、，若，，，则的最小值为 ．      【变式5-3】如图，平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，过点E作EF⊥AB于点F，与CD的延长线交于点G，连接BG，且BE＝BC，BG＝5，∠BGF＝45°，EG＝3，若点M是线段BF上的一个动点，将△MEF沿ME所在直线翻折得到△MEF′，连接CF′，则CF′长度的最小值是 ．    【题型6 折叠平行四边形进行证明】 【例6】已知，将沿对角线折得到． (1)如图1，当点E落在线段延长线上时，求证：； (2)如图2，当为锐角时，连接与线段相交于点F，试判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，连接，当为等腰三角形时，求的长． 【变式6-1】在平行四边形中，将沿翻折，使点落在点处，和相交于点，求证：． 【变式6-2】如图，在平行四边形ABCD中，点P为边AB上一点，将△CBP沿CP翻折，点B的对应点B'恰好落在DA的延长线上，且PB'⊥AD，若CD＝3，BC＝4． （1）求证：∠DCB′＝90°； （2）求BP的长度． 【变式6-3】如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 【题型7 折叠构造平行四边形求值】 【例7】一个中，为斜边的中点，E为直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点F，若是面积的一半，则 ． 【变式7-1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，，，E为线段上一点，将沿折叠，使点A落在处．若的延长线与交于点F，且，那么 ． 【变式7-2】如图，在中，，D是的中点，E是上的点，延长交的延长线于点G， 将沿折叠，得到，  连接，若，，则的长为 ． 【变式7-3】【模型建立】 （1）如图1，已知在中，点D是边的中点，将 沿翻折得到，连接，． ①求证：是直角三角形； ②延长，交于点E，判断与的数量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （2）如图2，已知在中，点D是边的中点，点E是边上一点，将沿翻折得到，连接，． ①判断与的位置关系，并证明你的结论； ②若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $