第七章 幂的运算（举一反三讲义）数学新教材苏科版七年级下册

该初中数学幂的运算复习讲义通过系统梳理同底数幂乘法、幂的乘方等六大知识点，以框架图呈现法则及逆运用，用对比表格归纳运算规律异同，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与逆向思维训练，培优篇涵盖基本运算、比较大小等基础题型，拔尖篇聚焦逆向运算、数量关系判断等拔高内容。如题型2利用幂的运算逆向比较大小，培养推理意识，题型8巧用逆运算解决问题，发展创新意识。分层练习满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主提升。

第七章 幂的运算（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 【培优篇】 2 【题型1 幂的基本运算】 2 【题型2 利用幂的运算进行比较大小】 3 【题型3 利用幂的运算进行简便计算】 4 【题型4 利用整体代入法求幂的值】 4 【题型5 利用幂的运算求字母的值】 4 【题型6 利用幂的运算求代数式的值】 5 【题型7 零指数幂与负整数指数幂的计算】 5 【拔尖篇】 5 【题型8 巧用幂的运算逆向运算】 5 【题型9 由幂的运算判断字母之间的数量关系】 5 知识点1 同底数幂的乘法 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 知识点2 幂的乘方 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 知识点3 积的乘方 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点4 零指数冪 1.． 知识点5 负整数指数冪 1.当n是正整数时，．这就是说，是的倒数． 2. 科学记数法 小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中n为原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0)，． 知识点6 同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【培优篇】 【题型1 幂的基本运算】 【例1】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）若，，，则的值是（   ） A．24 B．19 C．18 D．16 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）我们定义：三角形，五角星，若，则的值为 ． 【题型2 利用幂的运算进行比较大小】 【例2】（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【变式2-1】（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）比较，，的大小（用＞连接） ． 【变式2-2】比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【变式2-3】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ． 【题型3 利用幂的运算进行简便计算】 【例3】下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题．    (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出的值． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）计算： ． 【变式3-2】计算的结果是 ． 【变式3-3】计算 ． 【题型4 利用整体代入法求幂的值】 【例4】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）实数满足等式，则（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 【变式4-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）已知，则的值是 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·北京·期中）已知（x，y为正整数），则 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·四川达州·期中）若三个实数，，满足，则 ． 【题型5 利用幂的运算求字母的值】 【例5】（24-25八年级上·全国·月考）若，则n的值是 ． 【变式5-1】若，则x的值为 ． 【变式5-2】已知，则m的值为 【变式5-3】已知，n的值是 ． 【题型6 利用幂的运算求代数式的值】 【例6】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若，则 ． 【变式6-1】已知，那么的值为 ． 【变式6-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则 ． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知实数满足，则的值为 ． 【题型7 零指数幂与负整数指数幂的计算】 【例7】（25-26八年级上·广东江门·月考）成立的的值为 ． 【变式7-1】（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）在数， ，，中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，则 ． 【变式7-3】计算的结果是 【拔尖篇】 【题型8 巧用幂的运算逆向运算】 【例8】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【变式8-1】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知，则的值为 ． 【变式8-2】（24-25七年级下·河北·期末）已知n是正整数，且，则 ． 【变式8-3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）已知，，则（   ） A．1 B．12 C．7 D．6 【题型9 由幂的运算判断字母之间的数量关系】 【例9】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）定义，之间的新运算：如果，那么，例如：，那么，若，，，那么，，之间的数量关系是： ． 【变式9-1】若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 【变式9-2】已知：，，． (1)求的值； (2) 、、之间的数量关系为 ． 【变式9-3】已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母m、n、p之间的数量关系为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 幂的运算（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 【培优篇】 2 【题型1 幂的基本运算】 2 【题型2 利用幂的运算进行比较大小】 4 【题型3 利用幂的运算进行简便计算】 7 【题型4 利用整体代入法求幂的值】 9 【题型5 利用幂的运算求字母的值】 10 【题型6 利用幂的运算求代数式的值】 12 【题型7 零指数幂与负整数指数幂的计算】 13 【拔尖篇】 15 【题型8 巧用幂的运算逆向运算】 15 【题型9 由幂的运算判断字母之间的数量关系】 16 知识点1 同底数幂的乘法 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 知识点2 幂的乘方 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 知识点3 积的乘方 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点4 零指数冪 1.． 知识点5 负整数指数冪 1.当n是正整数时，．这就是说，是的倒数． 2. 科学记数法 小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中n为原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0)，． 知识点6 同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【培优篇】 【题型1 幂的基本运算】 【例1】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握同底数幂的运算法则是解题的关键， （1）根据同底数幂的除法和幂的乘方法则，将变形为与已知条件相关的形式，再代入求值即可； （2）先将等式的两边的幂都化为以3为底的形式，根据同底数幂的乘法和乘方法则，求出的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵ ∴   ∴   ∴， ∴． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）若，，，则的值是（   ） A．24 B．19 C．18 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，以及幂的乘方．熟记法则并根据法则计算是解题关键．根据同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方法则，可得答案． 【详解】解：． 故选：D． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）我们定义：三角形，五角星，若，则的值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了新运算定义，同底数幂相乘，幂的乘方，能灵活运用幂的运算法则进行计算是解此题的关键． 根据题意得出算式，根据同底数幂的乘法得出，求出，根据题意得出所求的代数式是，再根据幂的乘方和积的乘方进行计算，最后求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 所以， 即， 所以 ， 故答案为：32． 【题型2 利用幂的运算进行比较大小】 【例2】（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 【变式2-1】（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）比较，，的大小（用＞连接） ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的应用，有理数大小的比较，熟练运用幂的乘方的运算规则是解答本题的关键． 【详解】解：，，， ， ． 故答案为：． 【变式2-2】比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方法则，将两数进行正确的变形是解题的关键．利用积的乘方将两数变形后变形大小． 【详解】解：， ， ， ， 故 ． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：． 【题型3 利用幂的运算进行简便计算】 【例3】下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题．    (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据积的乘方的逆运算进行计算；②将代数式变形为指数相同，再根据积的乘方的逆运算即可求解； （2）将代数式变形为底数相同，再根据同底数幂的运算即可求解． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）计算： ． 【答案】2025 【分析】本题考查积的乘方逆运算，熟练掌握积的乘方逆运算是解题的关键． 根据积的乘方逆运算进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：2025 【变式3-2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，利用积的乘方的逆用，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式3-3】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，积的乘方的逆运算，先整理原式，再运算乘方，最后运算乘法，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为： 【题型4 利用整体代入法求幂的值】 【例4】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）实数满足等式，则（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据所给等式整理推出，再结合幂的乘方，同底数幂的乘法将整理为，最后将代入求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 即， 整理得， ； 故选：B． 【变式4-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂相除，同底数幂相乘，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则化简原式，将已知条件整体代入，计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·北京·期中）已知（x，y为正整数），则 ． 【答案】27 【分析】本题考查了幂的乘方法则，同底数幂的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．将27和9分别表示为3的幂，利用同底数幂的运算法则简化表达式，再代入已知条件求值． 【详解】解： ∵， ∴． 故答案为：27． 【变式4-3】（24-25七年级下·四川达州·期中）若三个实数，，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，负整数指数幂，根据题意得出，根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算将原式化简，代入，即可求解． 【详解】 故答案为：． 【题型5 利用幂的运算求字母的值】 【例5】（24-25八年级上·全国·月考）若，则n的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂相乘的逆运算，根据及求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴，解得：， 故答案为：4． 【变式5-1】若，则x的值为 ． 【答案】2 【分析】先根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘将原式化简为：，接下来由同底数幂的乘法法则可得：，计算即可得到x的值． 【详解】解：， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则，熟练掌握法则是解题的关键． 【变式5-2】已知，则m的值为 【答案】2 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法和除法运算，根据相应运算法则，求解即可． 【详解】解：∵ 又∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 【变式5-3】已知，n的值是 ． 【答案】2 【分析】首先利用同底数幂相除法则把已知等式中的左边进行计算，根据负指数幂的性质把已知等式中的右边进行计算，再比较即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴ ， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了整式的除法，解题关键是熟练掌握同底数幂相除法则和负指数幂的性质及其逆用． 【题型6 利用幂的运算求代数式的值】 【例6】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了幂的运算（幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法）及二元一次方程组的应用．解题的关键是将等式两边转化为同底数幂的乘积形式，利用"同底数幂相等则指数相等"建立方程求解． 将左边式子分解为以2和5为底数的幂：；对比右边，列指数相等的方程组；解方程组得，计算 【详解】∵，， ∴左边，右边， 由于等式两边同底数幂的指数必相等，可得方程组： ，解得， ∴． 故答案为：6． 【变式6-1】已知，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】由题意易得，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为1． 【点睛】本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方及积的乘方是解题的关键． 【变式6-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同底数幂乘法、解一元一次方程及代数式求值，先根据同底数幂乘法法则得出关于的一元一次方程，解方程求出的值，代入其中即可得答案．熟练掌握同底数幂乘法法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，得到，代入化简解答即可． 本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4051． 【题型7 零指数幂与负整数指数幂的计算】 【例7】（25-26八年级上·广东江门·月考）成立的的值为 ． 【答案】2025 【分析】该题考查了零指数幂，根据指数方程的性质，当底数不为0且不等于时，幂为1当且仅当指数为0． 【详解】解：因为底数是无理数与有理数的和，且， 所以，且，， 因此，当方程成立时，当且仅当指数， 解得：． 故答案为：2025． 【变式7-1】（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）在数， ，，中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，负整数指数幂，先根据负整数指数幂的计算法则求出这四个数，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小求解即可． 【详解】解：， ，，， ∵， ∴， ∴， ∴四个数中，最小的数为， 故选：C． 【变式7-2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，当时，需考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0，且底数不为0这三种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解：当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，符合题意； 综上所述，x的值为或或， 故答案为：或或． 【变式7-3】计算的结果是 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方，负整指数幂，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握分式的乘方、负整指数幂、幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 先根据分式的乘方法则，幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据负整指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【拔尖篇】 【题型8 巧用幂的运算逆向运算】 【例8】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 【变式8-1】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆用，逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【变式8-2】（24-25七年级下·河北·期末）已知n是正整数，且，则 ． 【答案】184 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【变式8-3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）已知，，则（   ） A．1 B．12 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的逆运算，将式子变形为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【题型9 由幂的运算判断字母之间的数量关系】 【例9】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）定义，之间的新运算：如果，那么，例如：，那么，若，，，那么，，之间的数量关系是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用，幂的运算和幂的等式性质．理解新定义运算的运算法则是解题的关键． 根据新运算的定义，将各等式转化为指数形式，再利用同底数幂的运算性质推导关系． 【详解】由定义， 即如果，那么， ，，， 又， ， 故答案为． 【变式9-1】若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式9-2】已知：，，． (1)求的值； (2) 、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘除法， （1）根据同底数幂的除法进行解答即可； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方可得，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴． 故答案为：． 【变式9-3】已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母m、n、p之间的数量关系为______． 【答案】(1)64 (2) (3) 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）根据代入计算即可； （3）根据，变形计算即可． 本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． 【详解】（1）∵,, ∴． （2）∵，，，, ∴． （3）∵，，, ∴． ∴． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $