专题2.1 一次方程（组）及其应用（举一反三专项训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题2.1 一次方程（组）及其应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 等式的基本性质】 2 【题型1 根据等式的性质判断正误】 2 【题型2 利用等式的性质解决天平类问题】 4 【考点二 一元一次方程的解】 6 【题型3 解一元一次方程】 6 【题型4 由一元一次方程的解求参数】 8 【题型5 由一元一次方程的解为整数求参数】 10 【考点三 一元一次方程的应用】 12 【题型6 根据实际问题抽象出一元一次方程】 12 【题型7 一元一次方程的应用】 14 【考点四 二元一次方程（组）的解】 17 【题型8 二元一次方程（组）的相关概念】 17 【题型9 解二元一次方程组】 19 【题型10 由二元一次方程组解的情况求参数】 21 【题型11 二元一次方程组的同解问题】 23 【题型12 构造二元一次方程组求解】 26 【考点五 二元一次方程（组）的应用】 28 【题型13 根据实际问题抽象出二元一次方程（组）】 28 【题型14 二元一次方程（组）的应用】 30 【考点六 三元一次方程组】 34 【题型15 三元一次方程组的定义及其解】 34 【题型16 三元一次方程组的实际应用】 35 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 等式的基本性质】 【题型1 根据等式的性质判断正误】 1．（2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行解答即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 即， 故选：． 2．（2025·贵州·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴当与不为零时，，原选项变形不正确，符合题意； 故选：． 3．（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质，根据分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵，∴， ∴，∴，原选项正确； 、若，由于，， ∵， ∴， ∴， ∴，原选项正确； 、若，∵， ∴，即，原选项正确； 、若，则， ∴， 将代入等式， 左边，右边， 左边右边，原选项错误， 故选：． 4．（2025·浙江宁波·模拟预测）等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质是解题的关键． 根据题意可得，根据等式的基本性质1，将的两边同时加即可． 【详解】解：由图可知， 根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得， ∴A符合题意，BCD不符合题意， 故选：A． 【题型2 利用等式的性质解决天平类问题】 5．（2025·河北衡水·模拟预测）观察图，若天平保持平衡，同一种物体的质量都相等，则一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的（    ） A．8倍 B．6倍 C．4倍 D．2倍 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y．根据天平两边质量相等构建关系式可得结论． 【详解】解：设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y， 由题意 ∴ ∴一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的4倍． 故选：C． 6．（2025·甘肃庆阳·三模）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：①等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即：如果，那么；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果，那么；如果，那么． 根据题意以及左右两图的含义即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可知： 左图的含义为：， 右图的含义为：， 能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为： 如果，那么， 故选：C． 7．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 8．（2025·广西南宁·模拟预测）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质，解题关键是明确图形所表达的“等式两边同时加同一个数，等式仍成立”这一性质，再将其与各选项对应的等式性质进行匹配．本题依据等式的性质依次进行判断即可． 【详解】解：如图的事实具有的性质为：等式两边同时加同一个数，等式仍成立； A. 若，则，不满足等式两边同时加同一个数； B.若，则，不满足等式两边同时加同一个数； C.若，则，满足等式两边同时加同一个数，等式仍成立； D. 若，则，不满足等式两边同时加同一个数． 故选：C． 【考点二 一元一次方程的解】 【题型3 解一元一次方程】 9．（2025·广东广州·一模）规定：时，表示两数中较大的一个，如，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查对新定义运算的理解和应用，解一元一次方程，解一元一次不等式，掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法是正确解答的关键．分两种情况，即和分别解答即可． 【详解】解∶当时， 即时，有， 解得 (不合题意，舍去)， 当时，即时，有， 解得． 故答案为∶ 10．（2025·北京顺义·模拟预测）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 移项、合并同类项、系数化为1即可解答此题． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 11．（2025·江苏无锡·一模）定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及对“方程”的理解，解题的关键在于理解“方程”．先求出的解，再结合“方程”概念求解，即可解题． 【详解】解：， 解得， 互为“方程”的两个方程解之和为2， 方程的一个“方程”解为， 方程的一个“方程”为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 【答案】或19/19或 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可． 【详解】解：当时， ， ∴， 当时， ， 解得（舍去）或． 综上所述，x的值为或19． 故答案为：或19． 【题型4 由一元一次方程的解求参数】 13．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解． 先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：解方程，两边同时除以2，得． 把代入中，得到，即． 两边同时减去4，得． 所以的值为， 故选：A． 14．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，得， ∴， ∴， 故答案为：2 15．（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字． (1)如果被污染的数字是，请计算的值． (2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？ 【答案】(1) (2)3 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则和顺序是关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）设被污染的数字为，利用解方程即可求出答案． 【详解】（1）解： ． （2）解：设被污染的数字为， 由题意得， 解方程得3． 所以被污染的数字为3． 16．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 【题型5 由一元一次方程的解为整数求参数】 17．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母当成已知数解方程，再根据为整数确定的值，最后统计的个数即可． 【详解】解：可化为： ， 即：. . 又为整数， 或或. 故选：． 18．（2025·重庆·模拟预测）关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，解题关键是先解方程得到，再根据方程的解和都为正整数，确定参数的值． 【详解】解：解一元一次方程， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 方程的解为正整数， 为正整数， 的值为、、、、， 的值有个． 故选：B ． 19．若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，学会根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数的值以及是自然数的条件即可解答． 【详解】解：由，解得， 方程的解为自然数， ， 解得：， 把整理得：， 不等式组无解， ， ，即整数， 是自然数， 或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：C． 20．（2025·安徽芜湖·模拟预测）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解，先根据所给方程的解为非负整数，得出a的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】解：由方程得，， 因为关于x的方程的解是非负整数， 所以， 解得， 解不等式组得，， 因为此不等式组有且仅有3个整数解， 所以， 解得， ∵为整数， ∴或5， 所以符合条件的所有整数a的和是：． 故答案为：8． 【考点三 一元一次方程的应用】 【题型6 根据实际问题抽象出一元一次方程】 21．（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据总人数列出方程求解即可． 【详解】解：设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据题意得， ， 解得， ∴参加“深海探秘”的人数为60人， 故答案为：60． 22．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】设买鸡的人数为，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变 ）建立方程求解是解题的关键． 【详解】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为文，多出11文，故鸡的价钱为文； 每人出6文钱时，总钱数为文，不足16文，故鸡的价钱为文． 列方程： 解得： 故买鸡的人数为9人， 故选：D． 23．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房，求该店有客房多少间？设该店有客房间，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了古代问题(一元一次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程．设客房有间，则第一种住宿方案的总人数为，第二种住宿方案的总人数为，根据总人数保持不变列出方程即可． 【详解】解：设客房有间， ． 故答案为：． 24．（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据井深不变列出方程求解即可． 【详解】解：设并深为 尺，绳子长为 尺， ∵ 将绳三折测之，绳多四尺， ∴ ∵ 将绳四折测之，绳多一尺， ∴ ∴ 即 解得： ∴ ∴ 故井深 8 尺， 选项 A 方程错误，应为 ； 选项 B 绳子长应为 36 尺； 选项 C 方程错误，应为 ； 选项 D 正确， 故选：D． 【题型7 一元一次方程的应用】 25．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 26．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒斗，根据题意列方程解应用题即可． 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗， ， 解得：， 故答案为：B． 27．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 28．（2025·云南楚雄·模拟预测）甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要天；如果由乙队单独完成，需要天．现在由甲队单独做了天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？ 【答案】天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列出方程是解答本题的关键．设甲乙两队后续需要合作天才能修完这座桥，根据甲队单独做了天后，甲乙两队后续需要合作天才能修完这座桥，列方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队合作完成还需要的天数是， 根据题意可得， 解得， 答：甲、乙两队后续需要合作天才能修完这座桥． 【考点四 二元一次方程（组）的解】 【题型8 二元一次方程（组）的相关概念】 29．写出一个以为解的二元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二元一次方程解的概念，正确理解概念是解题的关键．根据二元一次方程的解的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程，叫做二元一次方程；能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，直接进行求解即可． 【详解】解：∵二元一次方程的解为， ∴只要写出解为这个的二元一次方程即可， 如：；等等； 故答案为：（答案不唯一）． 30．（2025·四川广安·模拟预测）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题关键． 根据二元一次方程组的定义对选项逐一判断：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．是二元一次方程组，故不符合题意； B．是二元一次方程组，故不符合题意； C．方程组中的次数是2，不是二元一次方程组，故符合题意； D．是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：C． 31．（2025·辽宁沈阳·一模）若是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二元一次方程的定义可得，解方程组求出的值即可求解． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， ， 解得：， ． 故答案为：． 32．（2025·重庆·二模）若，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的应用，二元一次方程的正整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据绝对值的应用及二元一次方程的正整数解逐一排除即可． 【详解】解：，， ∴，故正确； 若，为正整数， 则，，，， ， ， ∴所有操作结果的和为， ∵为正整数， ∴， 解得，不符合题意，故错误； 由，， ∵， ∴， ∵为正整数， ∴，整理得：， ∴或或， ∴或或， ∴或或，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 【题型9 解二元一次方程组】 33．（2025·河南·模拟预测）已知关于的方程组，则代数式 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，结合所求、明确方程组中两个方程中未知数的系数的特征是解题关键； 方程组中的两个方程相加并整理可得，进而可得答案. 【详解】解：方程组中的两个方程相加，可得：， 即， ∴； 故答案：9. 34．（2025·山西·一模）解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 运用代入消元法解答即可． 【详解】解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴原方程组的解为． 35．（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先用整体法解二元一次方程组，再代入不等式即可求解． 【详解】解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． 故选：A ． 36．（2025·湖南长沙·模拟预测）两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： ， 把代入ax+by=2得：-2a+2b=2，即-a+b=1， 联立得：， 解得： ， 由3c+2=-4，得到c=-2， 则a+b+c=4+5-2=7． 故选：D． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【题型10 由二元一次方程组解的情况求参数】 37．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知关于的方程组，其中，给出下列结论：其中错误的是（   ） A．是方程组的解 B．当时，的值互为相反数 C．当时，方程组的解也是方程的解 D．若，则． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解此题的关键． 解方程组得，A选项：求得，不符合；B选项：把代入求得，，即可判断；C选项：把代入求得，，即可判断；D选项：当时，求得，则，即即可判断． 【详解】解：解方程组得， A、当时，则，解得，不符合，故不合题意，故不是方程组的解，本选项错误； B、当时，，，，的值互为相反数，本选项正确； C、当时，方程组的解为，满足方程，本选项正确； D、当时，，解得， ∵， ∴， ∴， ，即，本选项正确。 故选：A 38．（2025·江苏盐城·模拟预测）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解二元一次方程和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的概念．根据题意得到关于x、y的二元一次方程组求解，再代入求出a的值即可． 【详解】解：由题意得，解得：， 将代入得， 解得：， 故答案为：1． 39．（2025·四川成都·一模）从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根的判别式，概率，先解方程组求出，根据整数解得到a的值，然后利用抛物线与x轴有交点得到，进而得到满足条件a的值，利用概率公式计算解题． 【详解】解方程组得， ∵有整数解， ∴为，，， 解得为，，，，，； 又∵当二次函数与x轴有交点， ∴，且， 解得：且， ∵当时，函数为， 此时函数与x轴有公共点， ∴符合的a的值为，，， ∴概率是， 故答案为：． 40．（2025·江苏无锡·模拟预测）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中两个方程相加可得，再根据，可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 【题型11 二元一次方程组的同解问题】 41．已知关于x，y的方程组与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键。 依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与方程组有相同的解， ∴，解得：， 把分别代入与 得：，解得：； 故答案为：． 42．（2025·江苏扬州·模拟预测）已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解含参二元一次方程组，先求出方程组的解为，求出、的表达式，由得出、等式，求出正整数解，即可求解；能熟练求解含参二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：解方程组得： ， ， 解得：， ， ， 整理得：， ，均为正整数， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 的值为、、，共个； 故选：A． 43．（2025·北京·模拟预测）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 1 -2 … 则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同解的二元一次方程组．将待求的方程组整理成与已知方程组的形式相同，即可得新的二元一次方程组，再求出解即可． 【详解】解：∵从两个表格中可知，是关于x，y的二元一次方程和关于m，n的二元一次方程的公共解， 将整理为， ∴， 解得：， ∴关于的二元一次方程组的解是， 故选：A． 44．（2025·湖南永州·模拟预测）如果方程组与方程组的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组，先解方程组得，进而把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， ∵方程组与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型12 构造二元一次方程组求解】 45．（2025·福建泉州·模拟预测）若为自然数，且与都是一个自然数的平方，则的值为 ． 【答案】160 【分析】本题考查平方差公式，二元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 通过设定平方数关系，利用平方差公式将问题转化为求解二元一次方程组，根据因数分解和奇偶性确定唯一解． 【详解】解：设，，其中、为自然数，则． 由平方差公式，． ∵、为自然数，和同奇偶，且， ∴解方程组，得，． 代入，得． 故答案为． 46．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出，再求出的值，即可解答． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 47．（2025·浙江温州·模拟预测）如表中的信息满足关于的二元一次方程，则 … … 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将表格中的两组数据代入二元一次方程中，得到关于、的二元一次方程组，解方程求出、的值，即可得解． 【详解】解：将，代入二元一次方程中， 得， ，得， 故答案为：． 48．（2025·江苏淮安·模拟预测）设，，，，是从，， 这三个数取值的一组数，若，，则，，，，中为0的个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查了数字类变化规律、利用完全平方公式进行计算，解二元一次方程组，由题意结合完全平方公式得出，设有个，个，个，则，根据可得，求得，进而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 设有个，个，个， ①， ∵ ∴② 联立①②并解得， ， ，，，，中为0的个数为个， 故答案为：． 【考点五 二元一次方程（组）的应用】 【题型13 根据实际问题抽象出二元一次方程（组）】 49．（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个；据此即可求解； 【详解】解：由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个； ∵有个和尚， ∴； ∵有个馒头， ∴； 故答案为：； 50．（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得， 由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得， 因此可列方程组， 故选D． 51．（2025·湖北·模拟预测）某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐个，扁担根，求抬土、挑土的学生各有多少人？如果设抬土的同学人，挑土的同学人，则可得方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 设抬土的同学人，挑土的同学人，由题意列出方程组即可． 【详解】解：设抬土的同学人，挑土的同学人， 由题意得：， 故选：． 52．（2025·宁夏银川·一模）如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，设每块小长方形的长为 ，宽为 ，可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查根据图形中的数量关系列二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 从图中可以看出，大长方形的长为两个小长方形的长和一个小长方形的宽组成，大长方形的宽为两个小长方形的宽和一个小长方形的长组成，列出方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为 ，宽为 ，由题意得： ， 故答案为： ． 【题型14 二元一次方程（组）的应用】 53．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 分． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分， 根据题意得：， 解得：， 即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 54．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 55．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． (1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ (2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 【答案】(1)购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元 (2)至少购买A款材料包份 【分析】（1）设购买一份A款材料包和一份B款材料包各是元和元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买A款材料包份，根据题意列出不等式求解即可． 本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式． 【详解】（1）解：设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元， 则，解得， 答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元． （2）解：设购买A款材料包份， ， 解得， ∵a为整数， ∴a最小为， 答：至少购买A款材料包份． 56．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 【考点六 三元一次方程组】 【题型15 三元一次方程组的定义及其解】 57．（2025·广东梅州·模拟预测）已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是运用整体思想；通过将三个方程相加，从而直接求解． 【详解】解：， 由得， ∴， 故选：． 58．（2025·吉林长春·模拟预测）解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　） A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③ 【答案】C 【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去． 【详解】解：解三元一次方程组， 得： 得： 方程组变形为，刚好消去z， 故选：C． 【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法． 59．由方程组可得，x∶y∶z是（    ） A．1∶2∶1 B．1∶（－2）∶（－1） C．1∶（－2）∶1 D．1∶2∶（－1） 【答案】A 【分析】解方程组，用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解． 【详解】解： 由①得，③ 将③代入②可得，，解得， 将代入③得，， ∴ 故选：A 【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，以及比例的性质，解题的关键是掌握消元法求解三元一次方程组． 60．（2025·湖南邵阳·模拟预测）新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，解三元一次方程组，理解题中定义是解答的关键． 根据“同类方程”的定义和第一个方程，第二个方程应能表示为的形式，通过比较系数，可求解和，进而计算． 【详解】解：根据题意，将第二个方程与展开式比较：，令其等于， 可得方程组：，解得， 故． 故答案为：7． 【题型16 三元一次方程组的实际应用】 61．（2025·湖北武汉·三模）现有1角、5角、1元硬币各25枚，从中取出36枚，共值24元，则1元硬币取 枚． 【答案】12或16或20 【分析】本题主要考查了三元一次方程组、方程组的解等知识点，结合题意判断x的取值范围是解题的关键． 设1角、5角、1元硬币各取x枚，y枚，z枚，然后根据题意列三元一次方程组，并结合题意可判断x必须是5的倍数且，又x为整数，可分类讨论当，5，10时，再将三元一次方程组化为二元一次方程组再进行求解即可． 【详解】解：设1角、5角、1元硬币各取x枚，y枚，z枚， 由题意可列： ∵取出的硬币共值24元， ∴x必须是5的倍数， ∵当时，取出硬币的总价值小于24元， ∴， （1）当时，方程化为，解得：符合题意； ∴1元硬币取12枚； （2）当时，方程化为，解得：符合题意； ∴1元硬币取16枚； （3）当时，方程化为，解得：符合题意； ∴1元硬币取20枚． 综上：1元硬币取12枚，16枚，20枚． 故答案为：12或16或20． 62．（2025·江苏南京·一模）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费 元． 次数口味 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 【答案】41 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．利用整体思想解答是解题的关键． 设茉莉口味奶茶、桂花口味奶茶、蜜桃口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设茉莉口味奶茶、桂花口味奶茶、蜜桃口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 即各买一杯，需要花费41元． 故答案为：41 63．（2025·山东德州·一模）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有 天． 【答案】11 【分析】本题是一道关于天气情况的方程求解的问题．解题关键在于根据所给的 “早晨下雨则晚上晴天”“晚上下雨则早晨晴天” 以及下雨天数、早晚晴天天数等条件，建立方程来求解总天数． 解法一：设早晨下雨天数为，总天数为． 依据“早晨下雨天数与早晨晴天数关系”以及“晚上下雨天数与晚上晴天数关系”列出方程组．求解方程组得出总天数；解法二：设总天数为，早晨下雨天数为，晚上下雨天数为． 根据“下雨总天”“晚上晴天数”“早晨晴天数”这三个条件列出三元一次方程组， 解方程组即可． 【详解】解：解法一：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天， 根据题意得：， ①+②得：， ． 所以一共有11天； 解法二：设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天， 根据题意得：， 解得：． 所以一共有11天． 故答案为：11． 64．（2024·贵州毕节·一模）某大型物流公司急需将170吨物资运送到甲、乙两地，现有A、B两种车型可供选择，每辆车的运载能力和运费表示如下：（假设每辆车均达到最大满载量） 车型 A B 汽车运载量（吨/辆） 5 8 汽车运费（元/辆） 600 800 (1)若要将全部物资用A、B两种车型来运送，运费恰好是18000元，问需A、B两种车型各几辆？ (2)因特殊情况安排，部分司机参与其他活动，该物流公司经理调拨一种载重量为10吨的C种车型加入运送，恰好一次性全部运送完成，已知车辆总数为22辆（三种车辆都有），试通过计算判断有几种运送方案． 【答案】(1)需A种车型辆，需B种车型辆； (2)有三种方案，分别为：①A种车型辆，B种车型辆，种车型辆，②A种车型辆，B种车型辆，种车型辆，③A种车型辆，B种车型辆，种车型辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组与方程组相结合求整数解的应用； （1）等量关系式：A种车型的运载总量B种车型的运载总量吨，A种车型的所需总费用B种车型的所需总费用元，据此列方程组，解方程组，即可求解； （2）等量关系式：A种车型的数量B种车型的数量 种车型的数量辆，A种车型的运载总量B种车型的运载总量 种车型的运载总量吨，据此列出方程组，然后转化为求整数解问题，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设需A种车型辆，需B种车型辆，由题意得 ， 解得， 答：需A种车型辆，需B种车型辆； （2）解：设A种车型辆，B种车型辆，种车型辆，由题意得 ， 解得：， 三种车辆都有， ， 解得：，且为整数， 为整数， ①当时， ， ， 故：，，； ②当时， ， ， 故：，，； ③当时， ， ， 故：，，； 综上所述：有三种方案，分别为： ①A种车型辆，B种车型辆，种车型辆， ②A种车型辆，B种车型辆，种车型辆， ③A种车型辆，B种车型辆，种车型辆． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 2．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将代入求解即可． 【详解】解：将代入得： ， 解得：． 故选：B． 3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 通过将方程组的两个方程相减，得到与m的关系式，再代入已知条件求解m的值． 【详解】解：方程组， ，得： ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 故选：C． 4．（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选：A 5．（2025·黑龙江佳木斯·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶，利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出共有4种购买方案． 【详解】解：购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶， 根据题意得：， ， 又，y均为正整数， 或或或， 共有4种购买方案． 故选：． 二、填空题 6．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 7．（2025·山东泰安·三模）二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是解题的关键．直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， 故答案为：． 8．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义可得，进而列出方程，即可解得． 【详解】解：由题意可知，得． 故答案为：0． 9．（2025·浙江宁波·一模）若方程组    的解是     则方程组   的解是 【答案】 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，把求解的方程组进行合理变形，并把和看做一个整体换元得到一个关于和的新方程组是解答本题的关键.把的两边都除以4变形为，然后把和看做一个整体，用换元法求解. 【详解】解：∵， ∴，即 ∵的解为， ∴， ∴. 故答案为： 10．（2025·广东江门·模拟预测）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 得：，即：； ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示： 习题1 习题2 …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 即第四步 (1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程． 【答案】(1)习题1从第一步开始出现错误；习题2从第二步开始出现错误； (2)见解析． 【分析】此题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是关键． （1）根据解方程的步骤进行判断即可； （2）按照正确的步骤和方法解方程即可． 【详解】（1）解：习题1去分母时常数项没有乘以分母的最小公倍数，即从第一步开始出现错误；习题2常数项判断错误，即从第二步开始出现错误； （2） …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 则 即第四步． 12．（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解程序图是解题的关键． （1）根据程序图输入，即可求解； （2）根据程序图可得，从而得到，即可求解； （3）根据得到的m值比n值大，可得到关于x的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：输入，得到，； 故答案为：2；1； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∴； （3）解：由计算程序，可知，． ∵m值比n值大， ∴， 解得：． 13．（2025·新疆喀什·三模）（1）解方程组： （2）某工程队计划修建一条长为360米的地下管道．甲工程队单独施工需要12天完成，乙工程队单独施工需要18天完成．现计划由甲、乙两队合作施工，但实际施工时发现，甲队每天比原计划少修10米，乙队每天比原计划多修5米．问：两队合作实际需要多少天完成任务？ 【答案】（1）；（2）两队合作实际需要8天完成任务 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次方程的实际应用，掌握加减消元法解二元一次方程组和正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用加减消元法即可求解； （2）设两队合作实际需要天完成任务，求出实际甲、乙的工作效率，再由工作效率乘以工作时间等于工作总量建立方程求解． 【详解】解：（1） 由得，， 解得：； 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）设两队合作实际需要天完成任务， 由题意得：， 解得：， 答：两队合作实际需要8天完成任务． 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），若该方程组的解x，y满足，则称这个方程组为“和美方程组”． (1)下列方程组是“和美方程组”的是_____________；（只填写序号） ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“和美方程组”，求的值； (3)若对于任意实数，关于x，y的方程组都是“和美方程组”，求的值． 【答案】(1)①②④ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“和美方程组”的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得由得或．再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：由定义可知①④的解x，y满足，①④是“和美方程组”； 由②解得满足 ∴②是“和美方程组”； 由③解得不满足 ∴③不是“和美方程组”． 故答案为：①②④； （2）解方程组 关于x，y的方程组是“和美方程组”， ， 解得； （3）是“和美方程组”， ． 由得或． ①当时，代入， 得， ． 为任意实数， ； ②当时，代入，得， ． 为任意实数， ． 综上所述，的值为或． 15．（2025·福建漳州·模拟预测）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ 【答案】(1)现各买一杯，需要花费42元； (2)小明共买了杯或杯． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）先求出多肉葡萄口味的奶茶单价，再根据题意列出二元一次方程，求出所以情况即可． 【详解】（1）解：设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 即各买一杯，需要花费42元； （2）∵各买一杯，需要花费42元，生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元， ∴多肉葡萄口味的奶茶单价为（元）， 设小明买了生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶共a杯，多肉葡萄口味的奶茶b杯， ∵花费120元， ∴， 整理得， ∵，，且a、b均为整数， ∴或， ， 即小明共买了杯或杯． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，实数的性质，根据已知等式，代入各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由，得， 故A选项错误， ， ， ∴，故B选项错误， ，故C选项错误 ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 2．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知分式方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程解的意义，将代入分式方程后即可得出答案．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．也考查了解一元一次方程． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴， 解得：， ∴的值为． 故选：C． 4．（2025·黑龙江牡丹江·二模）某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（    ） A．9组 B．28组 C．36组 D．45组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 5．（2025·河北·模拟预测）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组与三元一次方程组的应用，设型小组数为，型为，型为，根据题意可得，，得出，即可判断①；设硬件工程师总数为，软件工程师为，根据100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，得出硬件工程师有人，根据组建型号的研发小组个数分别为2，2，4，需要硬件工程师人，进而即可判断②，即可求解． 【详解】解：①每个小组的工程师需求： 型：人 型：人 型：人 设型小组数为，型为，型为． 根据条件：①；， ， ② 由①得：，代入②： 解得： ∴，且 ， ， 所以 ， 或 ， （不满足 ）等， 唯一解是 ， ． 因此，型小组数为个，结论①正确； ②设硬件工程师总数为，软件工程师为，依题意， ： 解得：， 设型小组数为，型为，型为． 当组建型号的研发小组个数分别为2，2，4时， 需要硬件工程师人数为：，故②正确 故选：D． 二、填空题 6．（2025·江苏南京·一模）设，是关于x的方程的根，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据条件得出，，原式整理为，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ∴，即 解得． 故答案为：． 7．（2025·广西桂林·模拟预测）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 【答案】7 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：把把代入得：， 得：， 把代入①得：， 把代入得：， 解得：， ， 故答案为：7． 8．（2025·江苏宿迁·模拟预测）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可得出的值，结合原方程是妙解方程，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．根据妙解方程的定义，找出关于的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 关于的一元一次方程是妙解方程， ， ， 的值为． 故答案为：． 9．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了从图中获取信息列方程组，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解得， 小长方形的长、宽分别为，， ． 故答案为： 10．（2025·陕西西安·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的数学发现之一、如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，两个阴影部分的面积分别记为，，若已知，，的斜边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，读懂题意得到阴影部分的面积与正方形的面积关系是解题的关键．设边的正方形面积为，边的正方形面积为，边的正方形面积为，根据勾股定理得到，然后根据阴影部分的面积关系得到，，解之得到，即可得到的值． 【详解】解：设边的正方形面积为，边的正方形面积为，边的正方形面积为， ， ， ， ，， ，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·河北唐山·二模）如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数． (1)若，求这四个有理数的和； (2)若相对的两个叶片上数字的和相等，求a的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出相应的式子或方程； （1）直接将4个数相加即可求解； （2）列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 解得． 12．（2024·广东珠海·三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务. “整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值. 小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可. 小善：由①，得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得， 所以原方程组的解为 张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务. (1)任务一：解方程组 (2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、抛物线与x轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键. （1）直接运用整体代入消元法解答即可； （2）先将代入得，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可. 【详解】（1）解： 由①得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，解得， 所以原方程组的解为. （2）解：将代入得 拋物线与轴有唯一的交点， ，解得， 抛物线的解析式为. 13．（2025·云南红河·模拟预测）根据材料，完成任务： 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于个）． 素材 羽毛球拍：元副 羽毛球：元个 素材 方案一：每买一副羽毛球拍赠送个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【答案】任务：个；任务：先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：设学校购进了个羽毛球，根据方案一和方案二费用一致，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务：利用“总价单价数量”，求出选择方案一及方案二所需费用，再求出“先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球”所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：任务1：设学校购进了个羽毛球（）， 则方案一的费用：， 方案二的费用：， 由题意，， 解得：， 答：学校购进了个羽毛球； 任务：需要购进个羽毛球， 单独使用方案一费用：（元）； 单独使用方案二费用：（元）； 混合使用：先用方案一购买副羽毛球拍，获赠个羽毛球，费用为元，再用方案二购买剩余个羽毛球，费用为（元），总费用为（元）； ∵， ∴最省钱的购买方式是先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球． 14．（2025·重庆·模拟预测）春节期间，为迎接“新春大庙会”的到来，重庆某商家推出了两款具有重庆特色的伴手礼盒，分别是重庆坝坝茶和千年非遗荣昌陶．其中，坝坝茶的售价为元一盒，荣昌陶的售价为元一盒．已知在月份商家技售价销售两款商品共件，且销售额不低于元． (1)求1月份至多卖出坝坝茶多少盒？ (2)随着春节即将结束，月份商家推出了促销活动．在月份的售价基础上，每盒坝坝茶的售价降低，每盒荣昌陶进行九折促销活动．现已知月份坝坝茶的销售额为元．荣昌陶的销售额为元，而两款伴手礼盒的总销量相较月份增长了倍，求的值． 【答案】(1)1月份至多卖出坝坝茶盒 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式以及三元一次方程组的应用； （1）设1月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据题意1月份总销售额至少为元，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解； （2）2月份的促销中，坝坝茶每盒售价变为元，荣昌陶每盒售价变为元，设2月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据题意可得，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设1月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒． 根据题目描述，1月份总销售额至少为元，即． 化简得到， 即， 解得：． 答：1月份至多卖出坝坝茶盒． （2）2月份的促销中，坝坝茶每盒售价变为元，荣昌陶每盒售价变为元． 设2月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据2月份总销量相较1月份增长了1倍，即． 根据2月份的销售数据，可建立方程组 由②可得． 由于，得到． 将代入方程①中解出的值：， 即． 解得． 15．（2025·福建泉州·二模）日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； (2)若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； (3)若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 【答案】(1)储物箱最多可收纳A物品24件 (2)空间利用率可以达到，A物品有4件，B物品有112件或A物品有16件，B物品有48件 (3)三层①，一层②，一层④组合，总重量 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用、阅读理解以及方案选择等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依题意可算出每层摆放4件，再由高度计算可摆放6层，据此求解； （2）根据题意可知每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙，进而可设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层，得到，求整数解即可； （3）依题意，列举方案，逐一比较即可． 【详解】（1）解：因为， 所以每一层以方式①摆放4件A物品且无空隙， 因为， 所以最多可摆放6层， 所以储物箱最多可收纳A物品24件； （2）解：空间利用率可以达到100%，理由如下： 因为， 所以每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙． 设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层， 依题意，得， 所以或， 当，时，A物品有4件，B物品有112件： 当，时，A物品有16件，B物品有48件； （3）解：三层①，一层②，一层④组合，总重量． 有以下四种组合方式： （i）三层①，一层②，一层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品22件，B物品16件 因为， 此时总重量为； （ii）四层①，三层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品16件，B物品48件， 因为， 此时总重量为； （iii）一层②，五层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品10件，B物品有80件， 因为， 此时总重量为； （iv）一层①，七层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品4件，B物品有112件． 因为， 此时总重量为． 综上可知，空间利用率最大的组合方式为三层①，一层②，一层④组合，总重量． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 一次方程（组）及其应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 等式的基本性质】 2 【题型1 根据等式的性质判断正误】 2 【题型2 利用等式的性质解决天平类问题】 2 【考点二 一元一次方程的解】 3 【题型3 解一元一次方程】 3 【题型4 由一元一次方程的解求参数】 4 【题型5 由一元一次方程的解为整数求参数】 4 【考点三 一元一次方程的应用】 5 【题型6 根据实际问题抽象出一元一次方程】 5 【题型7 一元一次方程的应用】 5 【考点四 二元一次方程（组）的解】 6 【题型8 二元一次方程（组）的相关概念】 6 【题型9 解二元一次方程组】 7 【题型10 由二元一次方程组解的情况求参数】 7 【题型11 二元一次方程组的同解问题】 8 【题型12 构造二元一次方程组求解】 8 【考点五 二元一次方程（组）的应用】 9 【题型13 根据实际问题抽象出二元一次方程（组）】 9 【题型14 二元一次方程（组）的应用】 10 【考点六 三元一次方程组】 11 【题型15 三元一次方程组的定义及其解】 11 【题型16 三元一次方程组的实际应用】 11 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 等式的基本性质】 【题型1 根据等式的性质判断正误】 1．（2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025·浙江宁波·模拟预测）等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型2 利用等式的性质解决天平类问题】 5．（2025·河北衡水·模拟预测）观察图，若天平保持平衡，同一种物体的质量都相等，则一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的（    ） A．8倍 B．6倍 C．4倍 D．2倍 6．（2025·甘肃庆阳·三模）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 7．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·广西南宁·模拟预测）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点二 一元一次方程的解】 【题型3 解一元一次方程】 9．（2025·广东广州·一模）规定：时，表示两数中较大的一个，如，则方程的解为 ． 10．（2025·北京顺义·模拟预测）方程的解是 ． 11．（2025·江苏无锡·一模）定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”： 12．（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 【题型4 由一元一次方程的解求参数】 13．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 14．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 15．（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字． (1)如果被污染的数字是，请计算的值． (2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？ 16．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型5 由一元一次方程的解为整数求参数】 17．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 18．（2025·重庆·模拟预测）关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 19．若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 20．（2025·安徽芜湖·模拟预测）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【考点三 一元一次方程的应用】 【题型6 根据实际问题抽象出一元一次方程】 21．（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为 ． 22．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 23．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房，求该店有客房多少间？设该店有客房间，则可列方程为 ． 24．（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【题型7 一元一次方程的应用】 25．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 26．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 27．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 28．（2025·云南楚雄·模拟预测）甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要天；如果由乙队单独完成，需要天．现在由甲队单独做了天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？ 【考点四 二元一次方程（组）的解】 【题型8 二元一次方程（组）的相关概念】 29．写出一个以为解的二元一次方程： ． 30．（2025·四川广安·模拟预测）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 31．（2025·辽宁沈阳·一模）若是关于x、y的二元一次方程，则 ． 32．（2025·重庆·二模）若，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【题型9 解二元一次方程组】 33．（2025·河南·模拟预测）已知关于的方程组，则代数式 ． 34．（2025·山西·一模）解方程组． 35．（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（2025·湖南长沙·模拟预测）两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型10 由二元一次方程组解的情况求参数】 37．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知关于的方程组，其中，给出下列结论：其中错误的是（   ） A．是方程组的解 B．当时，的值互为相反数 C．当时，方程组的解也是方程的解 D．若，则． 38．（2025·江苏盐城·模拟预测）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ． 39．（2025·四川成都·一模）从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是 ． 40．（2025·江苏无锡·模拟预测）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型11 二元一次方程组的同解问题】 41．已知关于x，y的方程组与有相同的解，则 ． 42．（2025·江苏扬州·模拟预测）已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（    ） A． B． C． D． 43．（2025·北京·模拟预测）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 1 -2 … 则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 44．（2025·湖南永州·模拟预测）如果方程组与方程组的解相同，则 ． 【题型12 构造二元一次方程组求解】 45．（2025·福建泉州·模拟预测）若为自然数，且与都是一个自然数的平方，则的值为 ． 46．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于 ． 47．（2025·浙江温州·模拟预测）如表中的信息满足关于的二元一次方程，则 … … 48．（2025·江苏淮安·模拟预测）设，，，，是从，， 这三个数取值的一组数，若，，则，，，，中为0的个数为 个． 【考点五 二元一次方程（组）的应用】 【题型13 根据实际问题抽象出二元一次方程（组）】 49．（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ． 50．（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 51．（2025·湖北·模拟预测）某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐个，扁担根，求抬土、挑土的学生各有多少人？如果设抬土的同学人，挑土的同学人，则可得方程组（    ） A． B． C． D． 52．（2025·宁夏银川·一模）如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，设每块小长方形的长为 ，宽为 ，可列方程组： ． 【题型14 二元一次方程（组）的应用】 53．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 分． 54．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 55．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． (1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ (2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 56．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【考点六 三元一次方程组】 【题型15 三元一次方程组的定义及其解】 57．（2025·广东梅州·模拟预测）已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 58．（2025·吉林长春·模拟预测）解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　） A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③ 59．由方程组可得，x∶y∶z是（    ） A．1∶2∶1 B．1∶（－2）∶（－1） C．1∶（－2）∶1 D．1∶2∶（－1） 60．（2025·湖南邵阳·模拟预测）新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么 ． 【题型16 三元一次方程组的实际应用】 61．（2025·湖北武汉·三模）现有1角、5角、1元硬币各25枚，从中取出36枚，共值24元，则1元硬币取 枚． 62．（2025·江苏南京·一模）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费 元． 次数口味 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 63．（2025·山东德州·一模）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有 天． 64．（2024·贵州毕节·一模）某大型物流公司急需将170吨物资运送到甲、乙两地，现有A、B两种车型可供选择，每辆车的运载能力和运费表示如下：（假设每辆车均达到最大满载量） 车型 A B 汽车运载量（吨/辆） 5 8 汽车运费（元/辆） 600 800 (1)若要将全部物资用A、B两种车型来运送，运费恰好是18000元，问需A、B两种车型各几辆？ (2)因特殊情况安排，部分司机参与其他活动，该物流公司经理调拨一种载重量为10吨的C种车型加入运送，恰好一次性全部运送完成，已知车辆总数为22辆（三种车辆都有），试通过计算判断有几种运送方案． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 4．（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江佳木斯·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题 6．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 7．（2025·山东泰安·三模）二元一次方程组的解是 ． 8．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则 ． 9．（2025·浙江宁波·一模）若方程组    的解是     则方程组   的解是 10．（2025·广东江门·模拟预测）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 三、解答题 11．（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示： 习题1 习题2 …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 即第四步 (1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程． 12．（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 13．（2025·新疆喀什·三模）（1）解方程组： （2）某工程队计划修建一条长为360米的地下管道．甲工程队单独施工需要12天完成，乙工程队单独施工需要18天完成．现计划由甲、乙两队合作施工，但实际施工时发现，甲队每天比原计划少修10米，乙队每天比原计划多修5米．问：两队合作实际需要多少天完成任务？ 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），若该方程组的解x，y满足，则称这个方程组为“和美方程组”． (1)下列方程组是“和美方程组”的是_____________；（只填写序号） ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“和美方程组”，求的值； (3)若对于任意实数，关于x，y的方程组都是“和美方程组”，求的值． 15．（2025·福建漳州·模拟预测）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ B组 一、单选题 1．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知分式方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江牡丹江·二模）某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（    ） A．9组 B．28组 C．36组 D．45组 5．（2025·河北·模拟预测）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 二、填空题 6．（2025·江苏南京·一模）设，是关于x的方程的根，且，则k的值为 ． 7．（2025·广西桂林·模拟预测）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 8．（2025·江苏宿迁·模拟预测）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ． 9．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 ． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的数学发现之一、如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，两个阴影部分的面积分别记为，，若已知，，的斜边的长为 ． 三、解答题 11．（2025·河北唐山·二模）如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数． (1)若，求这四个有理数的和； (2)若相对的两个叶片上数字的和相等，求a的值． 12．（2024·广东珠海·三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务. “整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值. 小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可. 小善：由①，得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得， 所以原方程组的解为 张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务. (1)任务一：解方程组 (2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式. 13．（2025·云南红河·模拟预测）根据材料，完成任务： 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于个）． 素材 羽毛球拍：元副 羽毛球：元个 素材 方案一：每买一副羽毛球拍赠送个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 14．（2025·重庆·模拟预测）春节期间，为迎接“新春大庙会”的到来，重庆某商家推出了两款具有重庆特色的伴手礼盒，分别是重庆坝坝茶和千年非遗荣昌陶．其中，坝坝茶的售价为元一盒，荣昌陶的售价为元一盒．已知在月份商家技售价销售两款商品共件，且销售额不低于元． (1)求1月份至多卖出坝坝茶多少盒？ (2)随着春节即将结束，月份商家推出了促销活动．在月份的售价基础上，每盒坝坝茶的售价降低，每盒荣昌陶进行九折促销活动．现已知月份坝坝茶的销售额为元．荣昌陶的销售额为元，而两款伴手礼盒的总销量相较月份增长了倍，求的值． 15．（2025·福建泉州·二模）日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； (2)若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； (3)若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $