专题2.1 一次方程（组）及其应用（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

该初中数学中考复习讲义聚焦一次方程（组）及其应用专题，覆盖等式性质、方程（组）的解与应用等6大中考核心考点，通过15个知识点系统梳理和16个题型分层训练，构建“考点梳理-方法指导-真题训练”教学流程，助力学生突破建模与运算难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于融合新课标核心素养，如通过天平问题培养抽象能力，用《九章算术》应用题发展模型意识。设计“例题+3变式”分层训练和5分钟限时测试，确保高效突破列方程解应用题等高频考点，帮助学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

专题2.1 一次方程（组）及其应用（举一反三复习讲义） 【15个知识点+6大考点+16个题型】 【考点一 等式的基本性质】 2 【题型1 根据等式的性质判断正误】 2 【题型2 利用等式的性质解决天平类问题】 6 【考点二 一元一次方程的解】 8 【题型3 解一元一次方程】 9 【题型4 由一元一次方程的解求参数】 11 【题型5 由一元一次方程的解为整数求参数】 13 【考点三 一元一次方程的应用】 15 【题型6 根据实际问题抽象出一元一次方程】 17 【题型7 一元一次方程的应用】 19 【考点四 二元一次方程（组）的解】 21 【题型8 二元一次方程（组）的相关概念】 23 【题型9 解二元一次方程组】 25 【题型10 由二元一次方程组解的情况求参数】 27 【题型11 二元一次方程组的同解问题】 29 【题型12 构造二元一次方程组求解】 32 【考点五 二元一次方程（组）的应用】 34 【题型13 根据实际问题抽象出二元一次方程（组）】 35 【题型14 二元一次方程（组）的应用】 37 【考点六 三元一次方程组】 41 【题型15 三元一次方程组的定义及其解】 42 【题型16 三元一次方程组的实际应用】 44 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握等式性质及方程概念。熟练解一元一次方程（去分母、去括号、移项、合并、化系数为1）。掌握代入与加减消元法解二元一次方程组。能根据具体问题中的数量关系列一次方程(组)解决常见的应用题（如行程、工程、配套、利润问题）。 直接解基础方程（组）属送分题。考查核心在于列方程解应用题，多选取生活化、社会热点或跨学科背景的实际情境。题型上，选择题、填空题侧重小应用，解答题则多为完整的方案设计或复杂数量关系分析。对建模能力和解的合理性检验要求突出。 1. 解方程：严格遵循步骤，去分母时防止漏乘，移项注意变号。 2. 解方程组：灵活选用代入法（当某一未知数系数为±1时）或加减消元法，目标是消元化为一元方程。 3. 列方程解应用题：核心是“审→设→列→解→验→答”。审题找出等量关系是关键，可通过列表、画线段图辅助分析。最后务必检验解是否符合实际意义。 【考点一 等式的基本性质】 知识点1 等式的性质 性质 内容 字母表示 示例 两个基本事实 对称性：如果 ，那么； 传递性：如果 ，那么 若 ，则，则 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果 ，那么 若 ，则 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果 ，那么；如果，那么 若 ，则， 【题型1 根据等式的性质判断正误】 【例1】（2025·安徽滁州·三模）已知实数x，y，z满足且，则下列结论判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的变形、不等式的性质以及完全平方公式的运用．解题关键在于利用已知等式进行合理变形，将用、表示后，代入不等式得出变量间的大小关系；同时，对于判断与的大小关系，通过对进行配方变形，利用完全平方的非负性来判断．本题给出了关于、、的两个等式和以及的条件．首先通过将用和表示出来，再代入中，得到与的大小关系．然后根据进一步推导与的大小关系，最后通过对进行变形，判断其正负，从而确定各个选项的正误． 【详解】解： ． 又 ，即①． ，故A错误． ，即． ②，故B错误． 由①②，得． ， 必为正数． ，故C正确． ， ，故D错误． 故选C． 【变式1-1】（2025·浙江杭州·一模）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，分式的意义，乘方，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据等式的性质，分式的意义，乘方，二次根式的性质解答即可． 【详解】解：A. 若，时，则，选项变形错误，故本选项不符合题意； B. 若，则，正确，故本选项符合题意； C. 若，则，选项变形错误，故本选项不符合题意； D. 若，则，选项变形错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查等式得性质，一元一次方程的运用，解一元二次方程，按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题． 【详解】解：①∵，则等式两边除以，可得，故①正确； ②若，则,解得， ， ，故②错误； ③若，则, ， ，故③正确； ④中只有两个数相等， 当时，有， 解得，， 当时，不合题意， 当时，， ， 当时，得,则， 此时不符合题意， 当时，，此时，不符合题意； 故只能是，故④正确 其中正确的是①③④． 故选：C． 【题型2 利用等式的性质解决天平类问题】 【例2】（2025·广东江门·模拟预测）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（    ）    A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 【答案】A 【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c， 由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②， ∴得， ∴， ∴， 由②得，，即 ∴ ∴，故A不正确，B正确， ，故C，D正确， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到，是解题的关键． 【变式2-1】（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】考查了等式的性质的应用．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图1列出等式，然后由等式的性质参照图2进行答题． 【详解】解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z， 则，即． 所以． 所以 在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡． 故选：B． 【变式2-2】（2024·河北保定·二模）如图，天平两次均处在平衡状态．设“▲”的质量为a，“★”的质量为b，则a与b的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，读懂题意是解题的关键，根据图中，在天平两边分别加上“▲”和“★”之后，两边质量相等即可得出结论． 【详解】解：根据图中，在天平两边分别加上“▲”和“★”之后，两边质量相等， 即， 故选：B． 【变式2-3】（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案． 【详解】解：由图形可得如果，那么， 故选：A． 【考点二 一元一次方程的解】 知识点2 一元一次方程的概念 1. 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程． 例如：，，等都是一元一次方程． 2. 一元一次方程的最简形式为． 3. 一元一次方程的标准形式为． 知识点3 解一元一次方程的步骤 变形名称 具体做法 变形根据 易错点 示例 去分母 方程两边乘各分母的最 小公倍数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1)易漏乘不含分母的项； （2)分子是和、差的形式时，分子容易漏加括号 两边同乘12， 去括号 可按“小、中、大”的顺序去括号，也可灵活决定 （1）分配律； （2）去括号法则 （1）容易漏乘括号里面的项； （2）容易出现符号错误 移项 把含有未知数的项移到 方程的一边，常 数 项 移 到方 程 的另一边 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 移项容易不变号 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数相加时容易算错 系数化为1 方程两边除以未知数的系数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1）系数含字母时,容易不先判断系数是否为0而直接两边同时除以系数； （2）容易 把分子、分母颠倒 知识点4 解含有绝对值的方程 根据“”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再解这两个方程．例如，解方程：，去绝对值符号，得，即，解得． 【题型3 解一元一次方程】 【例3】（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 【答案】(1)错误，错误 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）根据解分式方程的步骤进行判断即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误， 故答案为：错误，错误； （2）解： 经检验，当时，， ∴是分式方程的解． 【变式3-1】（2025·四川乐山·二模）一元一次方程的解是（   ）． A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，通过移项求解一元一次方程即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 故选：B 【变式3-2】（2025·湖北·模拟预测）当 时，代数式的值是． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式的值为零的条件，掌握代数式的值为零的条件是解题的关键． 根据代数式的值为零的条件列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3-3】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义可得，进而列出方程，即可解得． 【详解】解：由题意可知，得． 故答案为：0． 【题型4 由一元一次方程的解求参数】 【例4】（2025·北京·模拟预测）若关于x的方程，无论k为任何数时，总是它的解，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程．先将代入原方程得，根据无论为任何数时恒成立，可得k的系数为0，由此即可求出答案． 【详解】解：将代入， ， ， 由题意可知：无论为任何数时恒成立， ， ，， ， 故答案为：． 【变式4-1】（2025·贵州贵阳·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．将代入中，即可求解． 【详解】解：将代入中，得， ， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 【答案】(1)5 (2)解题过程见详解；2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及已知一元一次方程的解求参数，求二次一次方程的整数解等知识． （1）将代入原方程，可得出关于“〇”的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）将“〇”替换成m，可得出关于x，m的二元一次方程，结合x，m均为正整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 即 解得：， ∴“〇”代表的正整数为5； （2）解：根据题意得， 解得： 又∵x，m均为正整数， ∴ ∴“〇”的值为2． 【变式4-3】（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“ —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“ —方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者， ∴． 对化简： ，即，， ∴，也就是． 对变形可得． 把代入上式，得． 故选：C 【题型5 由一元一次方程的解为整数求参数】 【例5】（2025·山东菏泽·二模）已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新概念问题，解体的关键是理解定义新概念及整式的定义． 根据题目已知的定义新概念，写出导出整式，再用m表示出方程的解．根据解为负整数，则当为整数时，即可求出答案． 【详解】解：由导出整式的定义可知， ∴，解得． 由于的解为负数，则，且或， 解得或， 由于是关于x的二次多项式，则，即 综上所述，． 故答案为：． 【变式5-1】（2025·重庆垫江·模拟预测）已知关于x的方程的解为整数，则满足条件的整数k的所有值的和为 【答案】4 【分析】本题考查一元一次方程的解法及整数解问题，通过解方程用参数表示未知数，再根据解为整数确定参数的整数值，最后求和即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 化系数为1得：， 由于为整数，且为整数，因此， 解得：， 这些整数的和为：． 故答案为：4． 【变式5-2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知关于的方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的问题，解题关键在于先求出含有的解和根据解是整数求出的整数值． 先解关于x一元一次方程，求出方程的解，再根据解是整数，得是整数，求出a的整数值即可求解． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为，得： 关于的方程的解是整数， 是整数，则可为，，，， 可为、、、， 则符合条件的所有整数的和是：， 故答案为：． 【变式5-3】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如果关于y的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次方程方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，然后在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键． 解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出，且为整数，由不等式的解集得出，进而即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于y的方程有非负整数解， ∴， 解得：，且为整数， 关于的不等式组整理得 ， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴且为整数， ∴， 于是符合条件的所有整数的值之和为：， 故选：B． 【考点三 一元一次方程的应用】 知识点5 一元一次方程的应用 1. 配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是，则A种配件总数量×b＝B种配件总数量×a． 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝，工作效率＝； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1； （3）常见的相等关系为总工作量＝各部分工作量之和． 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润＝售价－进价；②；③售价＝进价×（1＋利润率）． （2）打折：n折即标价的，如7折即标价的（或70%），其中n叫折数．实际售价＝标价×． 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实 行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等．解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同． 5. 球赛积分问题 点相等关系：（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数； （2）比赛总得分＝胜场总得分＋平场总得分＋负场总得分． 6. 行程问题 基本相等关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度． （1）直线形相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的路程． （2）直线形追及问题：快者走的路程＝慢者走的路程＋两人初始路程差； 快者走的路程＝慢者先走的路程＋慢者后走的路程． （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间＝；第 n次相遇时，二者合走了n圈． （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间＝；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈． 7. 利息问题 （1）本金×利率×期数＝利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数)． （2）本金＋利息＝本息和；本息和＝本金×（1＋利率×期数）． 8. 年龄问题 “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键． 9. 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式； （2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策． 【题型6 根据实际问题抽象出一元一次方程】 【例6】（2025·山东东营·中考真题）九年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 【答案】＝ 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，． 故答案为：． 【变式6-1】（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解． 【详解】解:依题意，得：， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解． 【详解】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选B． 【变式6-3】（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 【题型7 一元一次方程的应用】 【例7】（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设原本持金为斤，逐关计算税金并求和，根据已知列方程，然后解方程求得即可． 【详解】解：由题意，第1关收税：，剩余， 第2关收税：，剩余， 第3关收税：，剩余， 第4关收税：，剩余， 第5关收税：， 则五关税金之和为， 根据题意，总税金为1斤，得， 解得 故原本持金为斤， 故选：A． 【变式7-1】（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 【变式7-2】（2025·陕西·中考真题）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是 小时． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．利用小康采摘的草莓比小悦多得出等式求出答案． 【详解】解：设两小组采摘了小时， 依题意：， 解得：， 因此，两小组采摘了小时． 故答案为：． 【变式7-3】（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 【答案】(1) (2)注水5小时可供发电万千瓦时． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可； （2）根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式． （2）解：根据题意，得， 解得． 答：注水5小时可供发电万千瓦时． 【考点四 二元一次方程（组）的解】 知识点6 二元一次方程的定义 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程． 知识点7 二元一次方程的解 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解． 知识点8 二元一次方程组的定义 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 知识点9 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解． 知识点10 代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 知识点11 加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 知识点12 换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 【题型8 二元一次方程（组）的相关概念】 【例8】（2025·河北邯郸·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，不等式的性质，含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义得到，求出，，然后由，得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， 得：， 解得：，， ∵， ∴，或，， ∵， 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； ∴，， ∴． 故选：B． 【变式8-1】（2025·重庆荣昌·模拟预测）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且有两个方程组成的方程组，即可作答． 【详解】A．第一个方程含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B．含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C．第一个方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D．是二元一次方程组，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式8-2】（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 逐个将x的值代入方程，求出a的值，再分别判断即可． 【详解】解：A． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； B． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； C． 将代入，得 ，解得， ∴不是关于x和a的方程的解，符合题意； D． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意． 故选C． 【变式8-3】（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 【题型9 解二元一次方程组】 【例9】（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 【变式9-1】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 【变式9-2】（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 【变式9-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程变形为，根据方程组的解为得到，即可求出． 【详解】解：变形为， ∵方程组的解为， ∴， ∴． 故答案为： 【题型10 由二元一次方程组解的情况求参数】 【例10】（2025·陕西西安·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，关键是能得出关于的不等式组．①②求出，根据已知得出不等式，求出即可． 【详解】解：， ②得：， ， 关于x，y的方程组的解满足， ， ． 的取值范围为：． 故选：B． 【变式10-1】若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法和整体思想是解题的关键．将方程组的两式相加得，进而发现与的关系，从而获解． 【详解】解：将二元一次方程组的两式相加，得， 又∵， ∴， 解得， 故选：A． 【变式10-2】已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的知识，根据相反数的定义可得；将其与方程组的②组成方程组，即可解得x和y，进而求得的值． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数 ∴③ 把③代入②得： 解得 ∴ 把，代入①得 即 故答案为：． 【变式10-3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据二元一次方程组无解，得出k的值，再利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、三、四象限，进而可得出一次函数的图象不经过第二象限． 【详解】解：∵ ∴（7-k）x-2=(3k-1)x+5 （7-k）x-(3k-1)x=7 (7-k-3k+1)x=7 (8-4k)x=7 ∵二元一次方程组无解 ∴8-4k=0 解得：k=2 ∴将k=2代入一次函数 得 ∵k=2﹥0，b= ＜0 ∴一次函数的图象不经过第二象限 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k﹥0，b＜0⇔y＝kx＋b的图象在一、三、四象限”是解题的关键． 【题型11 二元一次方程组的同解问题】 【例11】（2025·贵州铜仁·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 两边同时除以 3 ，得：， 因此，的值为， 故选：D． 【变式11-1】若两个关于 x，y 的二元一次方程组与有相同的解， 则 mn 的值为 ． 【答案】6 【分析】联立不含m、n的方程求出x与y的值，代入求出m、n的值，即可求出所求式子的值． 【详解】联立得：， ①×2+②，得：10x=20， 解得：x=2， 将x=2代入①，得：6-y=6， 解得：y=0， 则， 将x=2、y=0代入，得：， 解得：， 则mn=6， 故答案为6． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 【变式11-2】数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为 . 【答案】2 【分析】重新组合方程组，首先得到关于x，y的方程组，求得x，y的值后，得到关于a、b的方程组，解这个方程组得到a、b的值，最后求出a20018+（-b）20018的值． 【详解】由题意可得，这两个方程组的解相同，则 ， 解得：， 把代入得：； ∴原式=120018+(−×10)20018=1+1=2． 故答案为2 【点睛】本题要求同学们熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算． 【变式11-3】（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键． （1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含、的方程，求出、的值，进而计算． （2）根据二阶行列式的运算法则，将、、、的值代入计算． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组与有相同的解． ∴， 解该方程组得， ∴，， 解得：， ∴． （2）解：将，，，代入， ∴． 【题型12 构造二元一次方程组求解】 【例12】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据幂的乘方运算法则，将，分别变形为，，从而得出二元一次方程组：，解二元一次方程组，得出m、n的值，最后代入代数式，求出结果即可． 【详解】解：，， ，， ∴， 解得：， ． 故选：C． 【变式12-1】（2025·浙江金华·二模）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为，其中为常数，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据在化学反应中，氢原子的个数相等得到，再由锂原子的个数相等得到，即可建立二元一次方程组求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：4． 【变式12-2】（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可． 【详解】解：当时，， ∵， ∴①， 当时，， ∴②， ，得：， ∴． 故答案为：． 【变式12-3】（2025·福建南平·自主招生）已知，，…，中的数值只能取、0、1中的一个，且满足，．则的值为 ． 【答案】3025 【分析】先设有p个x取1，q个x取，根据 可得出关于p、q的二元一次方程组，求出p、q的值，再把p、q的值代入求解，即可得出结果． 【详解】解：设有p个x取1，q个x取， ，， ， 解得： ， ． 故答案为：3025． 【点睛】本题考查了数字的变化规律及二元一次方程组的应用，根据题意列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键． 【考点五 二元一次方程（组）的应用】 知识点13 二元一次方程组的应用 1. 利润问题 单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；． 例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件． 2. 增长率问题 ． 3. 数的表示问题 （1）. 用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b． （2）. 变换数位后多位数的表示 （1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x． （2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m． 4. 行程问题 （1）关系式 速度×时间＝路程． （2）常见问题类型 a. 相遇问题：二者路程之和等于两点间距离． b.追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离； ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等． c.环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长． d.列车问题：需考虑车自身长度． e.顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 5. 工程问题 （1）工作总量＝工作时间×工作效率． （2）当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量． 【题型13 根据实际问题抽象出二元一次方程（组）】 【例13】（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，列出方程组即可． 【详解】解：设设合伙人数为x人，金价为y钱，由题意，得： ； 故选B． 【变式13-1】（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组． 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：； 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：； 故方程组为：； 故选C． 【变式13-2】（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 【变式13-3】（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可． 【详解】解：设甜果x个，苦果y个， ∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为： ∵甜果9个11文，苦果7个4文， ∴甜果每个单价为文，苦果每个单价为文， ∵总费用为999文，故可列方程为：； 故可列方程组：； 故选C． 【题型14 二元一次方程（组）的应用】 【例14】（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 【变式14-1】（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯饮料元，每杯饮料8元． 【变式14-2】（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 【答案】(1)每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；该销售经理的估计正确； (2)解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量等关系，并据此列出方程组，进行求解 （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意可列出方程组， 解得： ∴每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元； 该销售经理的估计正确； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【变式14-3】（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 【考点六 三元一次方程组】 知识点14 三元一次方程组的相关概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 2. 三元一次方程组 （1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组． （2）三元一次方程组需具备的3个条件 ①含有三个未知数； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1； ③是整式方程组． 三者缺一不可． 3. 三元一次方程组的解 （1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解． （2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代人三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解． 知识点15 三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组． 2. 解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代人原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起． 【题型15 三元一次方程组的定义及其解】 【例15】（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 【变式15-1】（2025·湖南怀化·模拟预测）已知方程组，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】原方程组左右两边同时相加后再两边同时除以2可以得解．　 【详解】解：原方程组左右两边同时相加可得： ∴ 故选：A．　 【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握等式的基本性质及方程的变形是解题关键．　 【变式15-2】（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知，，为三个非负实数，且满足，若，则的最大值为 ． 【答案】130 【分析】本题考查三元一次方程组，通过解方程组得到与的关系是解题的关键．将方程组两个方程相加，得到，整体替换可得，再由的取值范围即可求解． 【详解】解：， 解得：， ①②，得， ，，为三个非负实数， ，， ， ， 当时，的最大值为130， 故答案为：130． 【变式15-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）若实数，，满足，且，则的值是（    ） A．31 B．27 C．29 D．无法确定 【答案】B 【分析】将已知适当变形后相减，得到的值，即可得到答案． 【详解】解：由两边同时乘以5得：①， 由两边同时乘以3得：②， ①-②得： ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查求代数式的值，解题的关键是将已知变形，构造并求出x-18y+11z的值． 【题型16 三元一次方程组的实际应用】 【例16】某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得，，然后作答即可． 【详解】解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得， ， 由②得：， 由得：， 则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费元， 故选：A． 【变式16-1】今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】设小虎足球队踢平场数是所负场数的k倍，依题意建立方程组，解方程组从而得到用k表示的负场数，因为负场数和k均为整数，据此求得满足k为整数的负场数情况． 【详解】解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得 ， 把③代入①②得， 解得：z=（k为整数）． 又∵z为正整数， ∴当k=1时，z=7； 当k=2时，z=5； 当k=16时，z=1． 综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况． 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．解答方程组是个难点，用了换元法． 【变式16-2】（2025·福建·中考真题）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元． 【答案】100 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解． 【详解】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元． 由甲购3件，5件，1件，共200元，即①， 乙购4件，7件，1件，共250元，即②， 得③， 得④， 得， ∴丙购、、各1件，应付100元， 故答案为：100． 【变式16-3】（2025·福建漳州·模拟预测）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ 【答案】(1)现各买一杯，需要花费42元； (2)小明共买了杯或杯． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）先求出多肉葡萄口味的奶茶单价，再根据题意列出二元一次方程，求出所以情况即可． 【详解】（1）解：设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 即各买一杯，需要花费42元； （2）∵各买一杯，需要花费42元，生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元， ∴多肉葡萄口味的奶茶单价为（元）， 设小明买了生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶共a杯，多肉葡萄口味的奶茶b杯， ∵花费120元， ∴， 整理得， ∵，，且a、b均为整数， ∴或， ， 即小明共买了杯或杯． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 一次方程（组）及其应用（举一反三复习讲义） 【15个知识点+6大考点+16个题型】 【考点一 等式的基本性质】 2 【题型1 根据等式的性质判断正误】 2 【题型2 利用等式的性质解决天平类问题】 3 【考点二 一元一次方程的解】 4 【题型3 解一元一次方程】 5 【题型4 由一元一次方程的解求参数】 6 【题型5 由一元一次方程的解为整数求参数】 6 【考点三 一元一次方程的应用】 7 【题型6 根据实际问题抽象出一元一次方程】 8 【题型7 一元一次方程的应用】 9 【考点四 二元一次方程（组）的解】 10 【题型8 二元一次方程（组）的相关概念】 12 【题型9 解二元一次方程组】 12 【题型10 由二元一次方程组解的情况求参数】 13 【题型11 二元一次方程组的同解问题】 13 【题型12 构造二元一次方程组求解】 14 【考点五 二元一次方程（组）的应用】 14 【题型13 根据实际问题抽象出二元一次方程（组）】 15 【题型14 二元一次方程（组）的应用】 16 【考点六 三元一次方程组】 18 【题型15 三元一次方程组的定义及其解】 19 【题型16 三元一次方程组的实际应用】 19 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握等式性质及方程概念。熟练解一元一次方程（去分母、去括号、移项、合并、化系数为1）。掌握代入与加减消元法解二元一次方程组。能根据具体问题中的数量关系列一次方程(组)解决常见的应用题（如行程、工程、配套、利润问题）。 直接解基础方程（组）属送分题。考查核心在于列方程解应用题，多选取生活化、社会热点或跨学科背景的实际情境。题型上，选择题、填空题侧重小应用，解答题则多为完整的方案设计或复杂数量关系分析。对建模能力和解的合理性检验要求突出。 1. 解方程：严格遵循步骤，去分母时防止漏乘，移项注意变号。 2. 解方程组：灵活选用代入法（当某一未知数系数为±1时）或加减消元法，目标是消元化为一元方程。 3. 列方程解应用题：核心是“审→设→列→解→验→答”。审题找出等量关系是关键，可通过列表、画线段图辅助分析。最后务必检验解是否符合实际意义。 【考点一 等式的基本性质】 知识点1 等式的性质 性质 内容 字母表示 示例 两个基本事实 对称性：如果 ，那么； 传递性：如果 ，那么 若 ，则，则 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果 ，那么 若 ，则 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果 ，那么；如果，那么 若 ，则， 【题型1 根据等式的性质判断正误】 【例1】（2025·安徽滁州·三模）已知实数x，y，z满足且，则下列结论判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·浙江杭州·一模）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【变式1-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【题型2 利用等式的性质解决天平类问题】 【例2】（2025·广东江门·模拟预测）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（    ）    A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 【变式2-1】（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式2-2】（2024·河北保定·二模）如图，天平两次均处在平衡状态．设“▲”的质量为a，“★”的质量为b，则a与b的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-3】（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【考点二 一元一次方程的解】 知识点2 一元一次方程的概念 1. 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程． 例如：，，等都是一元一次方程． 2. 一元一次方程的最简形式为． 3. 一元一次方程的标准形式为． 知识点3 解一元一次方程的步骤 变形名称 具体做法 变形根据 易错点 示例 去分母 方程两边乘各分母的最 小公倍数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1)易漏乘不含分母的项； （2)分子是和、差的形式时，分子容易漏加括号 两边同乘12， 去括号 可按“小、中、大”的顺序去括号，也可灵活决定 （1）分配律； （2）去括号法则 （1）容易漏乘括号里面的项； （2）容易出现符号错误 移项 把含有未知数的项移到 方程的一边，常 数 项 移 到方 程 的另一边 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 移项容易不变号 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数相加时容易算错 系数化为1 方程两边除以未知数的系数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1）系数含字母时,容易不先判断系数是否为0而直接两边同时除以系数； （2）容易 把分子、分母颠倒 知识点4 解含有绝对值的方程 根据“”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再解这两个方程．例如，解方程：，去绝对值符号，得，即，解得． 【题型3 解一元一次方程】 【例3】（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 【变式3-1】（2025·四川乐山·二模）一元一次方程的解是（   ）． A． B．3 C． D．2 【变式3-2】（2025·湖北·模拟预测）当 时，代数式的值是． 【变式3-3】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则 ． 【题型4 由一元一次方程的解求参数】 【例4】（2025·北京·模拟预测）若关于x的方程，无论k为任何数时，总是它的解，那么 ． 【变式4-1】（2025·贵州贵阳·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ． 【变式4-2】（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 【变式4-3】（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【题型5 由一元一次方程的解为整数求参数】 【例5】（2025·山东菏泽·二模）已知是关于的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于的二次多项式，且关于的方程的解为负整数，则当为整数时， ． 【变式5-1】（2025·重庆垫江·模拟预测）已知关于x的方程的解为整数，则满足条件的整数k的所有值的和为 【变式5-2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知关于的方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【变式5-3】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如果关于y的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A． B． C． D． 【考点三 一元一次方程的应用】 知识点5 一元一次方程的应用 1. 配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是，则A种配件总数量×b＝B种配件总数量×a． 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝，工作效率＝； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1； （3）常见的相等关系为总工作量＝各部分工作量之和． 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润＝售价－进价；②；③售价＝进价×（1＋利润率）． （2）打折：n折即标价的，如7折即标价的（或70%），其中n叫折数．实际售价＝标价×． 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实 行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等．解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同． 5. 球赛积分问题 点相等关系：（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数； （2）比赛总得分＝胜场总得分＋平场总得分＋负场总得分． 6. 行程问题 基本相等关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度． （1）直线形相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的路程． （2）直线形追及问题：快者走的路程＝慢者走的路程＋两人初始路程差； 快者走的路程＝慢者先走的路程＋慢者后走的路程． （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间＝；第 n次相遇时，二者合走了n圈． （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间＝；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈． 7. 利息问题 （1）本金×利率×期数＝利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数)． （2）本金＋利息＝本息和；本息和＝本金×（1＋利率×期数）． 8. 年龄问题 “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键． 9. 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式； （2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策． 【题型6 根据实际问题抽象出一元一次方程】 【例6】（2025·山东东营·中考真题）九年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 【变式6-1】（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ． 【变式6-2】（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【题型7 一元一次方程的应用】 【例7】（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【变式7-1】（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【变式7-2】（2025·陕西·中考真题）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是 小时． 【变式7-3】（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 【考点四 二元一次方程（组）的解】 知识点6 二元一次方程的定义 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程． 知识点7 二元一次方程的解 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解． 知识点8 二元一次方程组的定义 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 知识点9 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解． 知识点10 代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 知识点11 加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 知识点12 换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 【题型8 二元一次方程（组）的相关概念】 【例8】（2025·河北邯郸·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【变式8-1】（2025·重庆荣昌·模拟预测）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A．B． C． D． 【变式8-2】（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型9 解二元一次方程组】 【例9】（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【变式9-1】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【变式9-2】（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 【变式9-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 【题型10 由二元一次方程组解的情况求参数】 【例10】（2025·陕西西安·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．0 C．2 D． 【变式10-2】已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ． 【变式10-3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型11 二元一次方程组的同解问题】 【例11】（2025·贵州铜仁·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式11-1】若两个关于 x，y 的二元一次方程组与有相同的解， 则 mn 的值为 ． 【变式11-2】数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为 . 【变式11-3】（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【题型12 构造二元一次方程组求解】 【例12】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025·浙江金华·二模）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为，其中为常数，则的值为 ． 【变式12-2】（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 【变式12-3】（2025·福建南平·自主招生）已知，，…，中的数值只能取、0、1中的一个，且满足，．则的值为 ． 【考点五 二元一次方程（组）的应用】 知识点13 二元一次方程组的应用 1. 利润问题 单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；． 例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件． 2. 增长率问题 ． 3. 数的表示问题 （1）. 用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b． （2）. 变换数位后多位数的表示 （1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x． （2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m． 4. 行程问题 （1）关系式 速度×时间＝路程． （2）常见问题类型 a. 相遇问题：二者路程之和等于两点间距离． b.追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离； ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等． c.环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长． d.列车问题：需考虑车自身长度． e.顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 5. 工程问题 （1）工作总量＝工作时间×工作效率． （2）当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量． 【题型13 根据实际问题抽象出二元一次方程（组）】 【例13】（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【题型14 二元一次方程（组）的应用】 【例14】（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【变式14-1】（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【变式14-2】（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 【变式14-3】（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【考点六 三元一次方程组】 知识点14 三元一次方程组的相关概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 2. 三元一次方程组 （1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组． （2）三元一次方程组需具备的3个条件 ①含有三个未知数； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1； ③是整式方程组． 三者缺一不可． 3. 三元一次方程组的解 （1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解． （2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代人三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解． 知识点15 三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组． 2. 解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代人原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起． 【题型15 三元一次方程组的定义及其解】 【例15】（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【变式15-1】（2025·湖南怀化·模拟预测）已知方程组，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式15-2】（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知，，为三个非负实数，且满足，若，则的最大值为 ． 【变式15-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）若实数，，满足，且，则的值是（    ） A．31 B．27 C．29 D．无法确定 【题型16 三元一次方程组的实际应用】 【例16】某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 【变式16-1】今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式16-2】（2025·福建·中考真题）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元． 【变式16-3】（2025·福建漳州·模拟预测）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $