专题6.5 空间向量的坐标表示（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第二册

本讲义聚焦空间向量的坐标表示核心知识点，系统梳理空间直角坐标系的建立、点的坐标及对称点规律，空间向量的坐标表示与线性运算、数量积、模长、平行垂直及夹角的坐标运算，构建从坐标系到向量应用的完整学习支架。 资料以8大题型（求点坐标、向量运算等）为主线，例题与变式题结合，通过对称点、参数求解等实例培养空间观念和运算能力，体现数学思维的逻辑性，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，强化应用意识。

专题6.5 空间向量的坐标表示（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求空间点的坐标】 2 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 3 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 4 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 6 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 7 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 9 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 11 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 12 知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（24-25高二上·湖南永州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对称点坐标特征可直接得到结果. 【解答过程】由对称点坐标特征可知：点关于平面对称点的坐标为. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二上·广东肇庆·期末）在空间直角坐标系中有一点，则该点关于轴对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对称性即可求解. 【解答过程】关于轴对称点的坐标, 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二·江苏·课后作业）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【解答过程】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高二上·浙江温州·期末）在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据坐标平面内投影点坐标的特点可得结果. 【解答过程】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为. 故选：D. 知识点2 空间直角坐标系 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】（24-25高二上·重庆长寿·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量坐标运算得出结果. 【解答过程】若，则. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用向量坐标运算计算即可. 【解答过程】解：因为向量，， 则 故选：C 【变式2-2】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量的坐标运算计算． 【解答过程】由已知， 故选：C． 【变式2-3】（24-25高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【解答过程】（1） ． （2） ． （3） . 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（24-25高二上·广东江门·期末）若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【解题思路】先求出和的向量坐标，再利用向量的数量积公式计算. 【解答过程】 则. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【解答过程】因为向量，，， 则， 因此，. 故选：A. 【变式3-2】（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【解答过程】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C. 【变式3-3】（24-25高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 【解题思路】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】（1）由，可得，. ， 故 （2），，可得，， 故. 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例4】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，若，则实数等于（    ） A． B． C．0 D．1 【解题思路】根据向量的数量积的坐标表示，列式计算，即得答案. 【解答过程】由题意知向量，，， 故， 故选：D. 【变式4-1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【解答过程】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即， 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，，三点在同一条直线上，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【解题思路】先利用空间向量的坐标运算求出与的坐标，再利用列方程求解即可. 【解答过程】因为，， 所以，， 又因为，，三点共线， 所以，， 解得，，所以， 故选：C. 【变式4-3】（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据空间向量基本定理列方程求解即可. 【解答过程】若三向量不能构成空间向量的一组基底， 所以共面， 则存在使得， 则，解得， 所以实数的值为1． 故选：A． 知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 【例5】（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（    ） A． B．3 C．8 D．9 【解题思路】利用向量坐标运算求出，进而求出的坐标及模. 【解答过程】向量，，线段AB的中点为D，则, 而，于是， 所以. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量垂直的坐标关系可得，即可根据模长公式求解. 【解答过程】由于与垂直，故，解得， 故， 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）设、，向量，，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【解题思路】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【解答过程】因为，所以，解得，则， 因为，则，解得，即， 所以，因此. 故选：D. 【变式5-3】（2025·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解. 【解答过程】在边长为1的正方体中，建立空间直角坐标系，设，    则， ，则， 由，得，即，而， 因此， 当且仅当，取等号，此时，所以的最大值是. 故选：D. 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例6】（24-25高一上·四川·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据空间向量线性坐标公式求解，再根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 又，且， 则，解得. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）已知，且与共线，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量坐标形式的共线定义求得，则可得到的坐标. 【解答过程】因为，且与共线， 所以，解得， 所以. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知向量，，若与平行，则实数k的值为（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据已知条件结合向量共线定理求解即可. 【解答过程】因为， 所以， ， 因为与平行，所以存在唯一实数，使， 所以，则，解得， 故选：B. 【变式6-3】（24-25高二上·重庆·期中）已知点，，，若，，三点共线，则，的值是（   ） A．，3 B．，3 C．1，3 D．，2 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示及共线向量的坐标关系求解即得. 【解答过程】依题意，， 由，，三点共线，得，则， 所以. 故选：B. 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 【例7】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得的值. 【解答过程】向量， 若， 则， . 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·湖北·期中）已知空间向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量垂直，数量积为0求参数的值. 【解答过程】因为，且， 所以 . 故选：C. 【变式7-2】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量. (1)求； (2)若向量与垂直，求实数的值. 【解题思路】（1）利用空间向量的坐标运算求解向量的模长即可； （2）根据空间向量垂直的坐标运算列方程即可得实数的值. 【解答过程】（1）因为空间向量， 所以， 所以； （2）由题得， 由向量与垂直，则， 则，解得：. 【变式7-3】（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求和； (2)若与互相垂直，求实数k的值. 【解题思路】（1）利用空间向量的坐标运算和模的运算，即可求出结果； （2）利用向量的垂直关系等价于数量积为0，再结合空间向量的坐标运算，即可求出结果. 【解答过程】（1）∵，，，，， ∴，， 于是，， ， . （2）∵， ， 且与互相垂直， ∴， 即， ∴，解得：. 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 【例8】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【解答过程】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高二上·浙江湖州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得．联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可． 【解答过程】因为空间两个单位向量与向量的夹角都等于， ， 易知， 又， 又为单位向量，所以， 联立，得或， 又， ． 故选：C． 【变式8-2】（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【解题思路】（1）首先利用向量的共线和向量的垂直求出向量的坐标，进一步求出向量的模； （2）利用向量的线性运算和向量的夹角运算求出结果. 【解答过程】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 【变式8-3】（24-25高二上·广东茂名·期中）已知：，，，，，求： (1)，，； (2) 【解题思路】（1）根据平行关系设，求出，利用向量垂直得到； （2）利用向量夹角余弦公式求出答案． 【解答过程】（1）因为，所以设，即， 故，解得， ， ， ∴，解得， ； （2）， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 空间向量的坐标表示（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求空间点的坐标】 2 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 3 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 3 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 4 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 4 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 6 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 6 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 7 知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（24-25高二上·湖南永州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·广东肇庆·期末）在空间直角坐标系中有一点，则该点关于轴对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二·江苏·课后作业）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·浙江温州·期末）在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点2 空间直角坐标系 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】（24-25高二上·重庆长寿·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（24-25高二上·广东江门·期末）若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【变式3-1】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例4】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，若，则实数等于（    ） A． B． C．0 D．1 【变式4-1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，，三点在同一条直线上，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-3】（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 【例5】（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（    ） A． B．3 C．8 D．9 【变式5-1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）设、，向量，，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【变式5-3】（2025·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例6】（24-25高一上·四川·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）已知，且与共线，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知向量，，若与平行，则实数k的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式6-3】（24-25高二上·重庆·期中）已知点，，，若，，三点共线，则，的值是（   ） A．，3 B．，3 C．1，3 D．，2 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 【例7】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式7-1】（24-25高二上·湖北·期中）已知空间向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量. (1)求； (2)若向量与垂直，求实数的值. 【变式7-3】（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求和； (2)若与互相垂直，求实数k的值. 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 【例8】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·浙江湖州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式8-2】（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【变式8-3】（24-25高二上·广东茂名·期中）已知：，，，，，求： (1)，，； (2) 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $