4.1因式分解讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦因式分解的定义及与整式乘法的互逆关系这一核心知识点，前承整式乘法“积化和差”，后启“和差化积”的变形技能，通过几何拼图、实例探究等学习支架，帮助学生构建从具体到抽象的认知脉络。 该资料以新课标核心素养为导向，结合量子计算机、嫦娥探测器等现实情境实例培养应用意识，通过几何拼图活动发展几何直观，对比整式乘法与因式分解强化推理意识。课中探究活动提升课堂互动，课后分层作业助力学生查漏补缺，有效巩固知识。

2025-2026学年北师大版八年级数学下《第四章因式分解第一节因式分解》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解因式分解的定义，能判断一个变形是否为因式分解。 2.掌握因式分解与整式乘法的互逆关系，会用整式乘法验证因式分解的结果。 3.能通过几何直观理解因式分解的意义，提升代数变形与几何结合的能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点：因式分解的概念，因式分解与整式乘法的互逆关系。 2.难点：准确判断因式分解的正确性，理解 “ 和差化积 ” 与 “ 积化和差 ” 的区别。 ) 三．课前预习 1.把一个多项式化为几个整式的______的形式，叫做因式分解。 2.因式分解与整式乘法是______的变形关系。 3.整式乘法：(x+3)(x-3) =_________；因式分解：x2-9 =__________。 4.若x2+mx+6 = (x+2)(x+3)，则m=______。 5.判断：x2+2x+1 = x(x+2)+1______（填“是”或“不是”）因式分解。 四．课堂探秘 探究一：因式分解的概念 993-99能被100整除吗?你是怎样想的?与同伴交流. 小明是这样做的: 进一步观察这个式子，还能发现它可以被99、98、99×98、99×100、98×100等正整数整除。 在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗?与同伴交流. 观察下面拼图过程，写出相应的关系式. 【归纳】：因式分解的定义——把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解(factorization).例如，a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c),x2+2x+1=(x+1)2都是因式分解.因式分解也可称为分解因式. 探究二：因式分解与整式乘法的关系 计算下列各式: (1)3x(x-1)=_________: (2)m(a+b-1)=________; (3)(m+4)(m-4)=________; (4)(y-3)2=_____________. 根据上面的算式进行因式分解: (1)3x2-3x=(_____)(______); (2)ma+mb-m=(______)(______ ); (3)m2-16=(______)(_________); (4)y2-6y+9=(________)2. 【归纳】：因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是互逆的变形关系，可以从以下几个方面理解： 1.定义对比 （1）整式乘法：把几个整式相乘，得到一个多项式（积化和差）。 例如：(x+2)(x-2) = x2 - 4 （2）因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积（和差化积）。 例如：x2 - 4 = (x+2)(x-2) 2.运算方向 （1）整式乘法：积 → 和差（由因式得到多项式）。 （2）因式分解：和差 → 积（由多项式得到因式）。 3.联系 （1）因式分解的结果可以通过整式乘法来验证，反之，整式乘法的结果也可以通过因式分解来拆解。 （2）两者都是整式的变形，但方向相反，是整式运算中相辅相成的两个过程。 五．课堂检测 （一）．选择题 1.2025年中国“祖冲之三号”量子计算机实现105比特突破，其运算逻辑中涉及多项式变形：x2 - 100 = (x + 10)(x - 10)，该变形属于（ ） A. 整式乘法 B. 因式分解 C. 既不是整式乘法也不是因式分解 D. 无法判断 2.2026年AI眼镜成为消费电子新热点，某品牌AI眼镜的性能参数对应的多项式变形为(a + 3)(a - 3) = a2 - 9，下列说法正确的是（ ） A. 是因式分解，因为右边是多项式 B. 是整式乘法，因为是“积化和差” C. 既是因式分解也是整式乘法 D. 既不是因式分解也不是整式乘法 3. 把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是 ( ) A. x2-9+6x＝(x+3)(x-3)+6x B. (x+5)(x-2)＝x2+3x-10 C. x2-8x+16＝(x-4)2 D. (x-2)(x+3)＝(x+3)(x-2) 5. 观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是( ) A. 962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200 B. 962×95+962×5＝962×5×(19+1)＝962×(5×20) ＝96200 C. 962×95+962×5＝5×(962×19+962)＝5×(18278+962)＝96200 D. 962×95+962×5＝91390+4810＝96200 6. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A. B. C. D. 7. 下列各式从左到右的变形（1）15x2y=；（2）(x+y)(x-y)=x2-y2； （3）x2-6x+9=(x-3)2；（4）x2+4x+1=x(x+4+)，其中是因式分解个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 下列各式的因式分解中正确的是（ ） A. -m2+mn-m=-m(m+n-1) B. 9abc-6a2b2=3abc(3-2ab) C. 3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b) D. ab2+a2b=ab(a+b) 9. 已知不论x为何值，x2-kx-15=（x+5）（x-3），则k值为（ ） A. 2 B. -2 C. 5 D. -3 10. (-2)2001+(-2)2002等于（ ） A. -22001 B. -22002 C. 22001 D. -2 （二）．填空题 11.2026年“嫦娥七号”探测器将着陆月球南极，其轨道计算中涉及多项式变形：(x-3)(x+3) = x2 - 9，该变形属于______（填“因式分解”或“整式乘法”）。 12. 古诗词《劝学》中“博学而笃志”倡导勤学，若学生错题本中某多项式变形为x2 - 6x + 9 = (x-3)2，此变形属于______（填“因式分解”或“整式乘法”）。 13.2026年AI驱动的生物标志物检测技术兴起，某检测模型中多项式x2+5x + 6经正确因式分解后得(x+2)(x+m)，则m的值为______。 14.2026年“柏拉图”号空间望远镜寻找类地行星，其观测数据处理中涉及多项式x2 + 7x + 12，其因式分解结果为(x+3)(x+k)，则k的值为______。 15.下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________. ①(x＋5)(x－5)＝x2－25　②x2－9＝(x＋3)(x－3)　③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋)　⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9) 16.当k＝_________时，二次三项式x2－kx＋12分解因式的结果是(x－4)(x－3)． 17.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=_______ 18.若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k＝　　． 19．当k＝　　时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）． 20．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． （三）．解答题 21．分解因式与整式乘法是相反变形，如：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1是整式乘法运算，相反变形x2﹣2x+1＝（x﹣1）2是多项式的因式分解． （1）计算并观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝　　； （x﹣1）（x2+x+1）＝　 　； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　． （2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空． （x﹣1）（　 　）＝x6﹣1 （3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）的结果为　xm+1﹣1　． （4）请结合上面方法分解因式x8﹣1． 22．下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了． 2x2+3x﹣6+＝（x﹣2）（2x+5）． （1）求被墨水污染的一次式； （2）若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围． 23.（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值与s、t的值取值有无关系； （2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值； （3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 24.用一张如图①所示的正方形硬纸板、三张如图②所示的长方形硬纸板、两张如图③所示的正方形硬纸板拼成一个大长方形(如图④). 　　　 解答下列问题: (1)请用不同的式子表示图④中大长方形的面积; (2)根据(1)所得结果,写出一个表示因式分解的等式. 25．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　1　． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 26.方法探究:已知二次多项式x2-4x-21,我们把x=-3代入多项式,发现x2-4x-21=0,由此可以推断多项式中有因式(x+3).设另一个因式为(x+k),则x2-4x-21=(x+3)(x+k),所以有x2-4x-21=x2+(k+3)x+3k,因为对应项的系数是相等的,所以k+3=-4,解得k=-7,因此x2-4x-21=(x+3)·(x-7).我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”. 问题解决: (1)对于二次多项式x2-4,我们把x=　　　　代入该式,会发现x2-4=0成立;  (2)对于三次多项式x3-x2-3x+3,我们把x=1代入多项式,发现x3-x2-3x+3=0,由此可以推断多项式中有因式(x-1),设另一个因式为(x2+ax+b),则x3-x2-3x+3=(x-1)(x2+ax+b),试求a,b的值; (3)对于多项式x3+4x2-3x-18,用“试根法”分解因式. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.把一个多项式化为几个整式的________的形式，叫做把这个多项式因式分解。 2.因式分解的对象必须是________，结果必须是几个________的乘积。 3.判断：x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 是因式分解吗？________（填“是”或“不是”）。 4.判断：(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4 是因式分解吗？________（填“是”或“不是”）。 5.因式分解与整式乘法是________运算，即：多项式 几个整式的积。 6.若整式乘法 (x + m)(x + n) = x2+ px + q，则多项式 x 2+ px + q 因式分解的结果为_______。 7. 若多项式 2x2+ 5x + 3 可分解为 (2x + 3)(x + 1)，则整式乘法 (2x + 3)(x + 1) 的结果为________。 8.若 x2- kx + 6 = (x - 2)(x - 3)，则 k = ________。 （二）强化训练 一．选择题 1.2025年蓝箭航天朱雀三号火箭成功发射，其轨道计算中涉及多项式2x2 - 8，下列因式分解正确的是（） A. 2(x2 - 4) B. (2x - 4)(x + 2) C. 2(x - 2)(x + 2) D. 2(x - 4)(x + 4) 2.学生参与2026年“校园诗词大会”，整理诗句时遇到多项式变形：m^3 - m = m(m^2 - 1)，关于该变形说法正确的是（ ） A. 是完整的因式分解 B. 不是因式分解，因为右边有两项 C. 不是完整的因式分解，因为m2 - 1可继续分解 D. 不是因式分解，因为左边是三次多项式 3.2025年“人造太阳”EAST创亿度千秒纪录，其能量公式中涉及多项式x^2 - 4x + 4，下列整式乘法能验证其因式分解正确性的是（） A. (x - 2)(x + 2) = x2 - 4 B. (x - 2)2 = x2 - 4x + 4 C. (x + 2)2 = x2 + 4x + 4 D. (x - 1)(x - 3) = x2 - 4x + 3 4.古诗词“沉舟侧畔千帆过”蕴含新生哲理，若多项式x2 + 5x + 6的因式分解结果为(x + m)(x + n)，则m + n的值为（） A. 5 B. 6 C. 11 D. 30 5..学生整理2025年错题本时，判断下列变形属于因式分解的是（） A. x(x + 3) = x2+ 3x B. x2 - 4y2= (x - 2y)(x + 2y) C. x2+ 2x + 1 = (x + 1)2+ 0 D. x2 - 5x = x(x - 5) + 0 6.2025年DeepSeek开源AI模型引发技术革命，其算法优化中涉及多项式a^2 - 2a + 1，下列关于其因式分解与整式乘法关系的说法正确的是（） A. (a - 1)2= a2 - 2a + 1是因式分解 B. a2- 2a + 1 = (a - 1)2是整式乘法 C. 两者是互逆变形 D. 两者无直接关系 7.下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. 6a2b2=3ab·2ab B. 2x2+8x-1=2x（x+4）-1 C. a2-3a-4=（a+1）（a-4） D. a2-1=a（a-） 8.若是的因式，则为( ) A. B. C. 8 D. 2 9. 下列从左到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. （3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B. （y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1） C. 4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z D. ﹣8x2+8x﹣2=﹣2（2x﹣1）2 10.113-11不能被下列哪个数整除？（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 二．填空题 11.若多项式变形“a2 - 2ab + b 2= (a-b)2”，该变形______（填“是”或“不是”）因式分解。 12.2025年嫦娥六号计划发射，其搭载的国际载荷测试中，某多项式变形“x3 - x = x(x 2- 1)”，该变形______（填“是”或“不是”）彻底的因式分解（仅判断是否彻底，不考虑是否正确）。 13.学生完成课后作业时遇到：“若(x+1)(x-2) = x2+ px + q，则p+q的值为______”， 答案为______。 14.如果x2+mx-2可因式分解为(x+1)(x-2),那么m=________. 15.若x2+ax-14=(x+2)(x-b),则ab=　　　　.  16.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　 　． 17.已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=　　． 10.下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________. ①(x＋5)(x－5)＝x2－25　②x2－9＝(x＋3)(x－3)　③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋)　⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9) 18.若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为　 　． 19.(x＋3)(2x－1)是多项式__________因式分解的结果． 20.多项式a2﹣9bn（其中n是小于10的自然数，b≠0）可以分解因式，则n能取的值共有 　 　种． 三．解答题 21. 下列由左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?请说出理由. （1）a（x+y）=ax+ay； （2）x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）； （3）ax2-9a＝a（x+3）（x-3）； （4）x2+2+= （5）2a3＝2a·a·a. 22. 计算（1）～（3）题，并根据计算结果将（4）～（6）题进行分解因式. （1）（x-2）（x-1）＝______； （2）3x（x-2）＝______； （3）（x-2）2＝______； （4）3x2-6x＝______； （5）x2-4x+4＝______； （6）x2-3x+2＝______. 23.现有正方形甲图片1个、正方形乙图片3个和长方形图片丙4张，请你将它们拼成一个长方形，并据此写一个多项式的因式分解． 24．小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）． 她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 25.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长为m的大正方形,两块是边长为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的小长方形,且m>n. (1)根据图形,因式分解2m2+5mn+2n2=　　　　.  (2)若每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和. 26.仔细阅读下面的例题,并解答问题. 例　已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2,求另一个因式以及m的值. 解:设另一个因式为x+n, 则x2+5x+m=(x+2)(x+n), 所以x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n, 所以n+2=5,2n=m,解得n=3,m=6, 所以另一个因式为x+3,m=6. (1)若二次三项式x2-x-12可分解为(x+3)(x-a),则a=　　　　;  (2)若二次三项式2x2-bx-6可分解为(2x+3)·(x-2),则b=　　　　;  (3)已知二次三项式6x2-7x-k有一个因式是3x-2,则另一个因式为　　　　,k的值为　　　　.  ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下《第四章因式分解第一节因式分解》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解因式分解的定义，能判断一个变形是否为因式分解。 2.掌握因式分解与整式乘法的互逆关系，会用整式乘法验证因式分解的结果。 3.能通过几何直观理解因式分解的意义，提升代数变形与几何结合的能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点：因式分解的概念，因式分解与整式乘法的互逆关系。 2.难点：准确判断因式分解的正确性，理解 “ 和差化积 ” 与 “ 积化和差 ” 的区别。 ) 三．课前预习 1.把一个多项式化为几个整式的______的形式，叫做因式分解。 2.因式分解与整式乘法是______的变形关系。 3.整式乘法：(x+3)(x-3) =_________；因式分解：x2-9 =__________。 4.若x2+mx+6 = (x+2)(x+3)，则m=______。 5.判断：x2+2x+1 = x(x+2)+1______（填“是”或“不是”）因式分解。 【答案】1.乘积 2.互逆 3.x2-9；(x+3)(x-3) 4.5 5.不是 四．课堂探秘 探究一：因式分解的概念 993-99能被100整除吗?你是怎样想的?与同伴交流. 小明是这样做的: 进一步观察这个式子，还能发现它可以被99、98、99×98、99×100、98×100等正整数整除。 在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗?与同伴交流. 观察下面拼图过程，写出相应的关系式. 【解析】：左边三个图形的面积分别为：第一个：a·m；第二个：b·m；第三个：c·m 总面积为：am + bm + cm；右边拼成的长方形长为a+b+c，宽为m，面积为：m(a+b+c) 因为拼接前后面积相等，所以关系式为：am + bm + cm = m(a + b + c) 【解析】 左边图形面积：1个边长为x的正方形 + 2个长为x、宽为1的长方形 + 1个边长为1的小正方形，面积 =x2 + x·1 + x ·1 + 1·1 = x2+ 2x + 1；右边图形面积：1个边长为x+1的大正方形面积 =(x+1)2；因为拼接前后面积相等，所以关系式为：(x+1)2= x2+ 2x + 1 【归纳】：因式分解的定义——把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解(factorization).例如，a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c),x2+2x+1=(x+1)2都是因式分解.因式分解也可称为分解因式. 探究二：因式分解与整式乘法的关系 计算下列各式: (1)3x(x-1)=_________: (2)m(a+b-1)=________; (3)(m+4)(m-4)=________; (4)(y-3)2=_____________. 【答案】（1）3x2-3x ；（2）ma+mb-m ；（3）m2-16 ；（4）y2-6y+9。 根据上面的算式进行因式分解: (1)3x2-3x=(_____)(______); (2)ma+mb-m=(______)(______ ); (3)m2-16=(______)(_________); (4)y2-6y+9=(________)2. 【答案】(1)3x(x-1):(2)m(a+b-1);(3)(m+4)(m-4);(4)(y-3)2. 【归纳】：因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是互逆的变形关系，可以从以下几个方面理解： 1.定义对比 （1）整式乘法：把几个整式相乘，得到一个多项式（积化和差）。 例如：(x+2)(x-2) = x2 - 4 （2）因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积（和差化积）。 例如：x2 - 4 = (x+2)(x-2) 2.运算方向 （1）整式乘法：积 → 和差（由因式得到多项式）。 （2）因式分解：和差 → 积（由多项式得到因式）。 3.联系 （1）因式分解的结果可以通过整式乘法来验证，反之，整式乘法的结果也可以通过因式分解来拆解。 （2）两者都是整式的变形，但方向相反，是整式运算中相辅相成的两个过程。 五．课堂检测 （一）．选择题 1.2025年中国“祖冲之三号”量子计算机实现105比特突破，其运算逻辑中涉及多项式变形：x2 - 100 = (x + 10)(x - 10)，该变形属于（ ） A. 整式乘法 B. 因式分解 C. 既不是整式乘法也不是因式分解 D. 无法判断 【答案】：B 【解析】：该变形将多项式x2 - 100化为两个整式(x + 10)与(x - 10)的乘积形式，完全符合因式分解的定义；而整式乘法是“积化和差”，与该变形方向相反，故答案为B。 2.2026年AI眼镜成为消费电子新热点，某品牌AI眼镜的性能参数对应的多项式变形为(a + 3)(a - 3) = a2 - 9，下列说法正确的是（ ） A. 是因式分解，因为右边是多项式 B. 是整式乘法，因为是“积化和差” C. 既是因式分解也是整式乘法 D. 既不是因式分解也不是整式乘法 【答案】：B 【解析】：因式分解的核心是“和差化积”，而该变形是将两个整式的乘积化为多项式，属于“积化和差”，符合整式乘法的定义，因此不是因式分解，答案为B。 3. 把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，故选C． 4. 下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是 ( ) A. x2-9+6x＝(x+3)(x-3)+6x B. (x+5)(x-2)＝x2+3x-10 C. x2-8x+16＝(x-4)2 D. (x-2)(x+3)＝(x+3)(x-2) 【答案】C 【解析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.根据因式分解的定义可得，只有选项C符合因式分解的形式，故选C. 5. 观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是( ) A. 962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200 B. 962×95+962×5＝962×5×(19+1)＝962×(5×20) ＝96200 C. 962×95+962×5＝5×(962×19+962)＝5×(18278+962)＝96200 D. 962×95+962×5＝91390+4810＝96200 【答案】A 【解析】计算962×95+962×5的值，最简单的方法先提取公因式962，即962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200，故选A. 6. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，只有符合该定义，故选：C． 7. 下列各式从左到右的变形（1）15x2y=；（2）(x+y)(x-y)=x2-y2； （3）x2-6x+9=(x-3)2；（4）x2+4x+1=x(x+4+)，其中是因式分解个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.根据因式分解的定义可得只有（3）符合要求，故选A. 8. 下列各式的因式分解中正确的是（ ） A. -m2+mn-m=-m(m+n-1) B. 9abc-6a2b2=3abc(3-2ab) C. 3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b) D. ab2+a2b=ab(a+b) 【答案】D 【解析】选项A，原式=-m(m-n+1)；选项B，原式=3abc(3c-2ab)；选项C，原式=3x(a2-2b+1)；选项D，原式=ab(a+b)；故选D. 9. 已知不论x为何值，x2-kx-15=（x+5）（x-3），则k值为（ ） A. 2 B. -2 C. 5 D. -3 【答案】B 【解析】∵x2-kx-15=(x+5)(x-3)=x2+2x-15，∴k=-2.故选B. 10. (-2)2001+(-2)2002等于（ ） A. -22001 B. -22002 C. 22001 D. -2 【答案】C 【解析】(-2)2001+(-2)2002=(-2)2001×(1-2)=22001，故选C. （二）．填空题 11.2026年“嫦娥七号”探测器将着陆月球南极，其轨道计算中涉及多项式变形：(x-3)(x+3) = x2 - 9，该变形属于______（填“因式分解”或“整式乘法”）。 【答案】：整式乘法 【解析】：该变形是把两个整式相乘化为一个多项式，符合“积化和差”的整式乘法定义，而非因式分解的“和差化积”。 12. 古诗词《劝学》中“博学而笃志”倡导勤学，若学生错题本中某多项式变形为x2 - 6x + 9 = (x-3)2，此变形属于______（填“因式分解”或“整式乘法”）。 【答案】：因式分解 【解析】：变形将多项式化为两个相同整式的乘积形式，满足因式分解“把多项式化为整式积”的核心定义。 13.2026年AI驱动的生物标志物检测技术兴起，某检测模型中多项式x2+5x + 6经正确因式分解后得(x+2)(x+m)，则m的值为______。 【答案】：3 【解析】：根据整式乘法与因式分解的互逆关系，展开(x+2)(x+m) = x^2 + (2+m)x + 2m，与原多项式对比，2+m=5且2m=6，解得m=3。 14.2026年“柏拉图”号空间望远镜寻找类地行星，其观测数据处理中涉及多项式x2 + 7x + 12，其因式分解结果为(x+3)(x+k)，则k的值为______。 【答案】：4 【解析】：根据互逆关系，展开(x+3)(x+k) = x^2 + (3+k)x + 3k，与原多项式对比，3+k=7且3k=12，解得k=4。 15.下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________. ①(x＋5)(x－5)＝x2－25　②x2－9＝(x＋3)(x－3)　③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋)　⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9) 【答案】②③⑥ 【解析】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得②③⑥属于因式分解. 16.当k＝_________时，二次三项式x2－kx＋12分解因式的结果是(x－4)(x－3)． 【答案】7 【解析】∵(x－4)(x－3)=，∴k=7. 17.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=_______ 【答案】15 【解析】（x+2）（x+4）=x2+6x+8，根据甲看错了b，则a是正确的，即a=6；（x+1）（x+9）=x2+10x+9，根据乙看错了a，则b是正确的，即b=9，则a+b=6+9=15. 18.若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k＝　　． 【答案】1 【解析】设另一个式子是（x+a），则（x﹣2）•（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a＝x2+kx﹣6， ∴a﹣2＝k，﹣2a＝﹣6，解得a＝3，k＝1．故应填1． 19．当k＝　　时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）． 【答案】7 【解析】∵（x﹣4）（x﹣3）＝x2﹣7x+12，∴﹣k＝﹣7，k＝7．故应填7． 20．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 【答案】x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2） 【解析】四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，面积可以表示为：x2+2x+4x+8＝x2+6x+8＝（x+4）（x+2）．故答案为：x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2）． （三）．解答题 21．分解因式与整式乘法是相反变形，如：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1是整式乘法运算，相反变形x2﹣2x+1＝（x﹣1）2是多项式的因式分解． （1）计算并观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝　　； （x﹣1）（x2+x+1）＝　 　； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　． （2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空． （x﹣1）（　 　）＝x6﹣1 （3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）的结果为　xm+1﹣1　． （4）请结合上面方法分解因式x8﹣1． 解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； （2）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1； （3）（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）＝xm+1﹣1．故答案为x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；（x5+x4+x3+x2+x+1）＝xm+1﹣1；（4）x8﹣1＝（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）． 22．下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了． 2x2+3x﹣6+＝（x﹣2）（2x+5）． （1）求被墨水污染的一次式； （2）若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围． 解：（1）被墨水污染的一次式为 （x﹣2）（2x+5）﹣（2x2+3x﹣6）＝2x2+5x﹣4x﹣10﹣2x2﹣3x+6＝﹣2x﹣4； （2）根据题意得：﹣2x﹣4≥2，解得：x≤﹣3，即x的取值范围是x≤﹣3． 23.（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值与s、t的值取值有无关系； （2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值； （3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 解：（1）代数式的值与t的值取值无关系，与s的值取值有关系． ∵（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）＝s2+2st+s﹣2ts﹣4t2﹣2t+4t2+2t＝s2+s， ∴代数式的值与t的值取值无关系，与s的值取值有关系． （2）（ax﹣b）（2x2﹣x+2）＝2ax3﹣ax2+2ax﹣2bx2+bx﹣2b＝2ax3﹣（a+2b）x2+（2a+b）x﹣2b，∵积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，∴2a+b＝0，﹣2b＝﹣4，∴a＝﹣1，b＝2．ab＝1． （3）设另一个因式为（x+m）．根据题意得，（x+m）（2x﹣5）＝2x2+3x﹣k，x2﹣5x+2mx﹣5m＝2x2+3x﹣k，x2+（2m﹣5）x﹣5m＝2x2+3x﹣k，∴2m﹣5＝3，﹣k＝﹣5m，∴m＝4，k＝20，∴另一个因式：（x+4），k是20． 24.用一张如图①所示的正方形硬纸板、三张如图②所示的长方形硬纸板、两张如图③所示的正方形硬纸板拼成一个大长方形(如图④). 　　　 解答下列问题: (1)请用不同的式子表示图④中大长方形的面积; (2)根据(1)所得结果,写出一个表示因式分解的等式. 解：(1)题图④中大长方形的长为a+2b,宽为a+b,∴面积为(a+b)(a+2b);大长方形的面积还等于各部分面积的和,即大长方形的面积=a2+3ab+2b2. (2)由(1)得a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b). 25．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　1　． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 解：（1）设另一个因式为x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a） 则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a，∴，解得a＝2，p＝1．故答案为：1． （2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n∴，解得n＝﹣1，k＝5，∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5． 26.方法探究:已知二次多项式x2-4x-21,我们把x=-3代入多项式,发现x2-4x-21=0,由此可以推断多项式中有因式(x+3).设另一个因式为(x+k),则x2-4x-21=(x+3)(x+k),所以有x2-4x-21=x2+(k+3)x+3k,因为对应项的系数是相等的,所以k+3=-4,解得k=-7,因此x2-4x-21=(x+3)·(x-7).我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”. 问题解决: (1)对于二次多项式x2-4,我们把x=　　　　代入该式,会发现x2-4=0成立;  (2)对于三次多项式x3-x2-3x+3,我们把x=1代入多项式,发现x3-x2-3x+3=0,由此可以推断多项式中有因式(x-1),设另一个因式为(x2+ax+b),则x3-x2-3x+3=(x-1)(x2+ax+b),试求a,b的值; (3)对于多项式x3+4x2-3x-18,用“试根法”分解因式. 解：(1)当x=±2时,x2-4=0,故答案为±2. (2)∵x3-x2-3x+3=(x-1)(x2+ax+b),∴x3-x2-3x+3=x3-(1-a)x2-(a-b)x-b,∴1-a=1,b=-3,∴a=0. （3）当x=2时,x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0,∴多项式有因式(x-2),设另一个因式为(x2+mx+n),∴x3+4x2-3x-18=(x-2)(x2+mx+n),∴x3+4x2-3x-18=x3+(m-2)x2-(2m-n)x-2n,∴m-2=4,2n=18,∴m=6,n=9,∴x3+4x2-3x-18=(x-2)(x2+6x+9)=(x-2)(x+3)2. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.把一个多项式化为几个整式的________的形式，叫做把这个多项式因式分解。 2.因式分解的对象必须是________，结果必须是几个________的乘积。 3.判断：x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 是因式分解吗？________（填“是”或“不是”）。 4.判断：(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4 是因式分解吗？________（填“是”或“不是”）。 5.因式分解与整式乘法是________运算，即：多项式 几个整式的积。 6.若整式乘法 (x + m)(x + n) = x2+ px + q，则多项式 x 2+ px + q 因式分解的结果为_______。 7. 若多项式 2x2+ 5x + 3 可分解为 (2x + 3)(x + 1)，则整式乘法 (2x + 3)(x + 1) 的结果为________。 8.若 x2- kx + 6 = (x - 2)(x - 3)，则 k = ________。 【答案】 1.积 2.多项式；整式 3.是 4.不是（这是整式乘法） 5.互逆 6.(x + m)(x + n) 7.2x2+ 5x + 3 8.5 （二）强化训练 一．选择题 1.2025年蓝箭航天朱雀三号火箭成功发射，其轨道计算中涉及多项式2x2 - 8，下列因式分解正确的是（） A. 2(x2 - 4) B. (2x - 4)(x + 2) C. 2(x - 2)(x + 2) D. 2(x - 4)(x + 4) 【答案】：C 【解析】：因式分解需分解彻底且结果为整式乘积。A选项未分解彻底（x2 - 4可继续用平方差公式分解）；B选项展开后为2x2 + 4x - 8x - 8 = 2x2 - 4x - 8，与原式不符；D选项平方差公式应用错误（4应为22 ）；C选项先提取公因式2，再用平方差公式分解，结果正确，故答案为C。 2.学生参与2026年“校园诗词大会”，整理诗句时遇到多项式变形：m^3 - m = m(m^2 - 1)，关于该变形说法正确的是（ ） A. 是完整的因式分解 B. 不是因式分解，因为右边有两项 C. 不是完整的因式分解，因为m2 - 1可继续分解 D. 不是因式分解，因为左边是三次多项式 【答案】：C 【解析】：因式分解要求结果“不能再分解”，m2 - 1符合平方差公式，可继续分解为(m - 1)(m + 1)，因此该变形未分解彻底，不是完整的因式分解，答案为C。 3.2025年“人造太阳”EAST创亿度千秒纪录，其能量公式中涉及多项式x^2 - 4x + 4，下列整式乘法能验证其因式分解正确性的是（） A. (x - 2)(x + 2) = x2 - 4 B. (x - 2)2 = x2 - 4x + 4 C. (x + 2)2 = x2 + 4x + 4 D. (x - 1)(x - 3) = x2 - 4x + 3 【答案】：B 【解析】：因式分解与整式乘法互为逆运算，验证因式分解正确性需将因式展开与原式对比。x^2 - 4x + 4的正确因式分解为(x - 2)^2，对应的整式乘法是(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4，与原式一致，故答案为B。 4.古诗词“沉舟侧畔千帆过”蕴含新生哲理，若多项式x2 + 5x + 6的因式分解结果为(x + m)(x + n)，则m + n的值为（） A. 5 B. 6 C. 11 D. 30 【答案】：A 【解析】：根据整式乘法与因式分解的互逆关系，(x + m)(x + n) = x2 + (m + n)x + mn。与原式x2+ 5x + 6对比，可得m + n对应一次项系数5，mn对应常数项6，因此m + n = 5，答案为A。 5..学生整理2025年错题本时，判断下列变形属于因式分解的是（） A. x(x + 3) = x2+ 3x B. x2 - 4y2= (x - 2y)(x + 2y) C. x2+ 2x + 1 = (x + 1)2+ 0 D. x2 - 5x = x(x - 5) + 0 【答案】：B 【解析】：A选项是整式乘法（积化和差）；C、D选项右边均含常数项，不是纯粹的整式乘积形式；B选项将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解定义，故答案为B。 6.2025年DeepSeek开源AI模型引发技术革命，其算法优化中涉及多项式a^2 - 2a + 1，下列关于其因式分解与整式乘法关系的说法正确的是（） A. (a - 1)2= a2 - 2a + 1是因式分解 B. a2- 2a + 1 = (a - 1)2是整式乘法 C. 两者是互逆变形 D. 两者无直接关系 【答案】：C 【解析】：(a - 1)2= a2- 2a + 1是“积化和差”，属于整式乘法；a2- 2a + 1 = (a - 1)2是“和差化积”，属于因式分解，两者运算方向相反，是互逆变形，答案为C。 7.下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. 6a2b2=3ab·2ab B. 2x2+8x-1=2x（x+4）-1 C. a2-3a-4=（a+1）（a-4） D. a2-1=a（a-） 【答案】C 【解析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得选项C属于因式分解，故选C. 8.若是的因式，则为( ) A. B. C. 8 D. 2 【答案】A 【解析】∵(x－3)(x＋5)=x2＋2x-15=x2＋px＋q，∴p=2,q=-15.故选D. 9. 下列从左到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. （3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B. （y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1） C. 4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z D. ﹣8x2+8x﹣2=﹣2（2x﹣1）2 【答案】D 【解析】A、从左到右边的变形是整式乘法，故错误；B、从左到右边的变形是相反数的调整，故错误；C、从左到右边的变形不是因式分解，故错误；D、从左到右边的变形是因式分解，故正确；故选D. 10.113-11不能被下列哪个数整除？（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】A 【解析】∵113－11=11×，∴113－11不能被13整除.故选A. 二．填空题 11.若多项式变形“a2 - 2ab + b 2= (a-b)2”，该变形______（填“是”或“不是”）因式分解。 【答案】：是 【解析】：变形将三项多项式化为两个相同整式的乘积，满足“多项式→整式积”的因式分解核心要求。 12.2025年嫦娥六号计划发射，其搭载的国际载荷测试中，某多项式变形“x3 - x = x(x 2- 1)”，该变形______（填“是”或“不是”）彻底的因式分解（仅判断是否彻底，不考虑是否正确）。 【答案】：不是 【解析】：因式分解需分解到每个因式不能再分解为止，而x2- 1还可继续分解为(x+1)(x-1)，故该变形不彻底。 13.学生完成课后作业时遇到：“若(x+1)(x-2) = x2+ px + q，则p+q的值为______”， 答案为______。 【答案】：-3 【解析】：先通过整式乘法展开左边得x2- x - 2，与右边对比得p=-1、q=-2，因此p+q=-1+(-2)=-3，核心运用了整式乘法与因式分解的互逆关系。 14.如果x2+mx-2可因式分解为(x+1)(x-2),那么m=________. 【答案】-1　 【解析】∵(x+1)(x-2)=x2-x-2=x2+mx-2,∴m=-1. 15.若x2+ax-14=(x+2)(x-b),则ab=　　　　.  【答案】-35 【解析】∵x2+ax-14=(x+2)(x-b),∴x2+ax-14=x2-bx+2x-2b,∴x2+ax-14=x2+(2-b)x-2b,∴a=2-b,-14=-2b,∴a=-5,b=7,∴ab=7×(-5)=-35.故答案为-35. 16.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　 　． 【答案】：15 【解析】：甲看错b，但a正确：展开 (x+2)(x+4)=x2+6x+8，所以 a=6。乙看错a，但b正确：展开 (x+1)(x+9)=x2+10x+9，所以 b=9。因此 a+b=6+9=15。 17.已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=　　． 10.下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________. ①(x＋5)(x－5)＝x2－25　②x2－9＝(x＋3)(x－3)　③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋)　⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9) 【答案】②③⑥ 【解析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得②③⑥属于因式分解. 18.若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为　 　． 【答案】：-1 【解析】展开 (x-1)(x-3)=x2-4x+3，对比 x2+kx+b，得 k=-4，b=3。计算 k+b=-4+3=-1。 19.(x＋3)(2x－1)是多项式__________因式分解的结果． 【答案】2x2＋5x－3 【解析】∵(x＋3)(2x－1)=2x2＋5x－3∴(x＋3)(2x－1)是多项式2x2＋5x－3因式分解的结果． 20.多项式a2﹣9bn（其中n是小于10的自然数，b≠0）可以分解因式，则n能取的值共有 　 　种． 【答案】：5 【解析】：该式能分解因式，说明 a2-9bn 需为平方差形式，即 9bn 必须是完全平方，因此 n 需为偶数。小于10的自然数中，偶数为 0,2,4,6,8，共5种。 三．解答题 21. 下列由左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?请说出理由. （1）a（x+y）=ax+ay； （2）x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）； （3）ax2-9a＝a（x+3）（x-3）； （4）x2+2+= （5）2a3＝2a·a·a. 解：因为(1) (2)的右边都不是整式的积的形式.所以它们不是分解因式；(4)中，都不是整式，(5)中的2a3不是多项式，所以它们也不是分解因式．只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以(3)是分解因式. 22. 计算（1）～（3）题，并根据计算结果将（4）～（6）题进行分解因式. （1）（x-2）（x-1）＝______； （2）3x（x-2）＝______； （3）（x-2）2＝______； （4）3x2-6x＝______； （5）x2-4x+4＝______； （6）x2-3x+2＝______. 【答案】（1） x2-3x+2 （2） 3x2-6x （3）x2-4x+4 （4）3x(x-2) （5） (x-2)2 （6） (x-2)(x-1) 【解析】（1）根据多项式乘以多项式的乘法法则可得（x-2）（x-1）＝x2-3x+2；（2）根据单项式乘以多项式的乘法法则可得3x（x-2）＝3x2-6x；（3）根据完全平方公式可得（x-2）2＝x2-4x+4；（4）提取公因式3x可得3x2-6x＝3x(x-2)；（5）根据完全平方公式因式分解可得x2-4x+4＝(x-2)2；（6）利用十字相乘因式分解可得x2-3x+2＝(x-2)(x-1). 23.现有正方形甲图片1个、正方形乙图片3个和长方形图片丙4张，请你将它们拼成一个长方形，并据此写一个多项式的因式分解． 【答案】a2＋3b2＋4ab＝(a＋b)(a＋3b)． 【解析】根据题意拼出长方形，再利用长方形的面积公式列出代数式，再分解因式即可. 试题解析：由图形面积得：a2＋3b2＋4ab＝(a＋b)(a＋3b)． 24．小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）． 她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x）＝x4﹣x3+3x3﹣3x2+2x2﹣2x＝x4+2x3﹣x2﹣2x； （2）（x2+□x+2）（x2﹣x）＝x4﹣x3+□x3﹣□x2+2x2﹣2x， ∵这个题目的正确答案是不含三次项，∴﹣1+□＝0，∴□＝1， ∴原题中被遮住的一次项系数是1． 25.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长为m的大正方形,两块是边长为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的小长方形,且m>n. (1)根据图形,因式分解2m2+5mn+2n2=　　　　.  (2)若每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和. 解：(1)大长方形的长为2m+n,宽为m+2n,∴2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n). 故答案为(2m+n)(m+2n). (2)∵每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,∴mn=12,2m2+2n2=80,∴m2+n2=40,∴(m+n)2=m2+n2+2mn=40+12×2=64,∴m+n=8,∴题图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和为6m+6n=6(m+n)=48. 26.仔细阅读下面的例题,并解答问题. 例　已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2,求另一个因式以及m的值. 解:设另一个因式为x+n, 则x2+5x+m=(x+2)(x+n), 所以x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n, 所以n+2=5,2n=m,解得n=3,m=6, 所以另一个因式为x+3,m=6. (1)若二次三项式x2-x-12可分解为(x+3)(x-a),则a=　　　　;  (2)若二次三项式2x2-bx-6可分解为(2x+3)·(x-2),则b=　　　　;  (3)已知二次三项式6x2-7x-k有一个因式是3x-2,则另一个因式为　　　　,k的值为　　　　.  解：(1)由题意得x2-x-12=(x+3)(x-a),所以x2-x-12=x2+(3-a)x-3a,所以-3a=-12,解得a=4,故答案为4. (2)由题意得2x2-bx-6=(2x+3)(x-2),所以2x2-bx-6=2x2-x-6,所以b=1,故答案为1. (3)设另一个因式为2x+c,则6x2-7x-k=(2x+c)(3x-2),所以6x2-7x-k=6x2+(3c-4)x-2c,所以3c-4=-7,-k=-2c,解得c=-1,k=-2,所以另一个因式是2x-1,k的值为-2.故答案为2x-1;-2. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $