精品解析：山东省德州市宁津县育新中学、第四实验中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年第一学期九年级教学质量检测 数学试题 试卷说明： 本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．请将题目的答案答在答题纸上，答在本试卷上的一律无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，再将代入原式，即可得到答案. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， 则a的值为：． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 3. 将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，直接根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为． 故选：D． 4. 下列哪个图形是如图所示的某建筑零件的主视图（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 根据几何体的三视图可直接进行排除选项． 【详解】解：由题意得该几何体的主视图为， 故选：B． 5. 如图，二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程（为常数）的实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得，抛物线的对称轴为直线，则二次函数（为常数）的图象与x轴的另一个交点为，即可得关于x的一元二次方程（为常数）的两实数根是，． 【详解】解：二次函数（为常数）的图象的对称轴为直线， 二次函数（为常数）的图象与x轴的一个交点为， 二次函数（为常数）的图象与x轴的另一个交点为， 关于x的一元二次方程（为常数）的两实数根是，． 故选：B． 6. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意； D、同时掷两枚质地均匀的硬币， 共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意； 故选：C 7. 如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键． 利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可得：白色长方形的长为：， 三个白色长方形的宽之和为：， 三个白色长方形的面积为：， ∴， 故选：A． 8. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的中心.若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作于点E， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：； 故选：D． 9. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案． 【详解】解：当时，设 将，两点代入得， 解得， 于是， 当时，， 当时，设，将代入得：， 于是， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题． 故选：C． 10. 如图，中，，，平分，交于点，，交于点，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解分式方程，解题关键是利用角度关系证明等腰三角形，结合相似三角形列比例式求解，易错点是角度推导或相似三角形的对应边混淆． 根据等腰三角形的性质与判定推出，设，再通过证明得到，列出关于的方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 所以， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小題填对得4分． 11. 计算：___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．需要回忆和的值，然后进行有理数乘法运算. 【详解】解： ． 故答案为 12. 如图，已知A （4，2），B（2，﹣2），以点O为位似中心，按位似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为_____． 【答案】（2，1）或（﹣2，﹣1）##（﹣2，﹣1）或（2，1） 【解析】 【分析】利用位似图形的性质得出对应点横纵坐标乘以或﹣，得出即可． 【详解】解：∵A （4，2），B（2，﹣2）， 以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A'的坐标是：（2，1）或（﹣2，﹣1）． 故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题的关键． 13. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可． 【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示： ∵CB与相切于点B， ∴， ∴， ∴四边形ACBD为矩形， ∴，， 设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：， 即r2＝（r−6）2＋82， 解得：， 即的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键． 14. 若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象位于第___________象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质以及根的判别式，正确得出的取值范围是解题关键．由一元二次方程无实数根可得判别式小于零，求出n＞1，再根据反比例函数的性质判断图象所在象限 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ， 解得：， 反比例函数的图象一定分布在第一、三象限． 故答案为：一、三． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，对称轴，数形结合法，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． ①根据题中二次函数的图像判断开口方向，，以及抛物线与轴的交点，可判断的符号，进而可判断； ②由二次函数的图象知：当时，，；当时，，两式相加，化简可得 ③一元二次方程的判别式，结合的关系与符号，进而可判断； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理），则， ，结合的关系与符号，进而可判断． 【详解】通过读图： ①因为，所以抛物线开口向上， 对称轴，由于，即对称轴， 可得， 抛物线与轴交于负半轴，所以， 综上，，结论①错误； ②： 二次函数的图象与轴交于由图可知， 又， ， 由二次函数的图象可知： 当时， ， 当时，， 两式相加，化简可得，结论②正确； ③一元二次方程的判别式， 因为，所以， 由，可得，所以，方程有两个不相等的实根， 结论③错误； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理）， 则， ， ， ， ， ， ， （在对称轴右侧）， ， 又， ， 即，结论④正确． 综上，正确结论的序号是：②④． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）求出判别式的值，再代入公式求解即可得到答案； （2）通过合并同类项，化为或，然后解一元一次方程即可． 【小问1详解】 将原方程化为它的一般形式，得， ∵， ∴， ∴，． 【小问2详解】 ∴， ∴， ∴或 ∴，． 17. 小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球． （1）若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________； （2）若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】（1） （2）不公平 理由如下： 根据题意画出树状图如下： 如图，共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有12种， ∴P（小明胜），P（小颖胜）， ∵， ∴这个规定对双方不公平． 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，画树状图，得共有20种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色一样的结果有8种，颜色不一样的结果有12种，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球， ∴随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）， （2）10 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【小问1详解】 解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 19. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式； （2）要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元； （3）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）17元 （3）；当时，日销售利润最大，最大利润1400元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润单个利润销售数量建立函数关系式，进一步利用性质解决问题，解答时求出二次函数的解析式，是解题的关键． （1）根据题意得到函数解析式即可； （2）根据题意列方程，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： 解得：或（不符合题意舍去）， 答：要使日销售利润为1190元，销售单价应定为17元． 【小问3详解】 解：根据题意得， ， ， 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当时，日销售利润最大，最大利润1400元． 20. 如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． （1）设，则 ；（用含的式子表示） （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）或 （2） 证明：连接， ∵点D是的内心， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可． 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点D是的内心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，根据题意， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故的长为． 21. 综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】任务①；米；任务小明会被照射到 【解析】 【分析】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，涉及正弦、余弦、正切三角函数的运用，等腰三角形的性质与勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角函数是解题关键． 任务1：①如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； 任务2：如图，过点作交于点，在中，米，米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于，而， 故答案为：; ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， 由条件可知米， 在中，， 又， 解得：米， 此时影子的长度为米； 任务2：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点 由条件可知， 由条件可知是等边三角形， 米， . 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到. 22. 已知关于的二次函数的图象过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，求的取值范围； （3）若点，在该二次函数的图象上，且，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将解析式配成顶点式，根据函数的性质求解即可； （3）将代入，求得，再令，可得，解得：或，结合函数的图象即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点，， ， ∴这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，y有最小值， ∵当时，；当时，， ∴当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：∵在上， ∴， 令，可得， 解得：或， ∵的图象开口向上， ∴，的取值范围为或． 23. 综合与探究 问题情景： （1）如图1，在中，，，点D是边上任一点（不与A，B重合），连接，将绕点C顺时针方向旋转，得到，连接，．问与之间有怎样的关系？请说明理由． 猜想计算： （2）在（1）的条件下，如图2，若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，四边形中，，，若对角线，相交于点O，直接写出，与的数量关系． 【答案】（1），且，见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，由可得，进而可得， ，从而可得，即． （2）由可得．由可得．由可得，从而可得，在中，由可得，从而可得． （3）由已知条件可知四边形的对角互补，将将绕点C顺时针旋转得，则可得，且是等腰直角三角形，从而得，则可得 【详解】解：（1），且，理由如下： ∵在中，，， ， ∵将绕点C顺时针方向旋转，得到， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ∴与之间的关系为且； （2）， ， ， ， ∵中， ， ， ，且， ， ， ， ； （3）∵四边形中， ， ， ,， ∴将绕点C顺时针旋转得， 与重合， ，，， ， ∴A、B、E三点共线， 在中, ，， ， ∴， 又∵， ， ∴，与的数量关系为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理，勾股定理以及特殊角的三角函数值．熟练掌握以上知识，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级教学质量检测 数学试题 试卷说明： 本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．请将题目的答案答在答题纸上，答在本试卷上的一律无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3. 将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 下列哪个图形是如图所示的某建筑零件的主视图（ ） A. B. C. D. 5. 如图，二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程（为常数）的实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 7. 如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的中心.若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ） A. B. C. D. 9. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，平分，交于点，，交于点，已知，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小題填对得4分． 11. 计算：___________． 12. 如图，已知A （4，2），B（2，﹣2），以点O为位似中心，按位似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为_____． 13. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____． 14. 若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象位于第___________象限． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 小明和小颖做游戏，游戏规则是：在一个不透明的布袋内装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后随机摸出一个后不放回，再随机摸出一个球． （1）若随机从布袋中摸出一个球，摸到的球是白球的概率是________； （2）若规定：当两次摸出的球的颜色一样时，小明胜；颜色不一样时，小颖胜，你认为这个规定对双方公平吗？请通过画树状图或列表的方法说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 19. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式； （2）要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元； （3）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 20. 如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． （1）设，则 ；（用含的式子表示） （2）求证：； （3）若，求的长． 21. 综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 22. 已知关于的二次函数的图象过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，求的取值范围； （3）若点，在该二次函数的图象上，且，请直接写出的取值范围． 23. 综合与探究 问题情景： （1）如图1，在中，，，点D是边上任一点（不与A，B重合），连接，将绕点C顺时针方向旋转，得到，连接，．问与之间有怎样的关系？请说明理由． 猜想计算： （2）在（1）的条件下，如图2，若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，四边形中，，，若对角线，相交于点O，直接写出，与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $