精品解析：浙江省台州市玉环市仙居县2025－2026学年九年级上学期期末数学试卷

玉环市一仙居县2025学年第一学期教学质量监测 九年级数学卷 亲爱的同学： 欢迎参加本次考试！请认真审题，仔细解答，发挥最佳水平．答题时请注意以下几点： 1．试卷共4页，答题纸4页，满分120分，考试时间120分钟； 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试卷、草稿纸上无效； 3．答题前，请认真阅读答题卷上的《注意事项》，按规定答题； 4．本次考试不得使用计算器，请耐心解答．祝你成功！ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题有且只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 下列自然能源图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于6 B. 从装有5个白球的袋中摸出一个红球 C. 画一个三角形，它的内角和等于 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 4. 图①是一个花架，图②是其侧面示意图．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. “浙BA城市争霸赛”正如火如荼地举行，为进一步推动体育活动健康发展，我市组织了中学生校园篮球赛．已知参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划安排36场比赛．设共有个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，均在反比例函数（）的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，正八边形内接于，连接，相交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（ ）元． A. 2048元 B. 2040元 C. 1759元 D. 1751元 9. 如图，是的内接三角形，的角平分线交于点，交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 2 10. 已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示： … 2 … … … （注：表中自变量的值从左往右逐渐增大） 对于下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则，；④若，则，．其中正确的命题有（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 12. 为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表，根据试验数据，估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为______．（保留2位小数） 农作物种子的数目 发芽种子的频率 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 14. 如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 15. 如图，，是反比例函数图象上的两点，连接，，，并延长交轴于点，点是的中点，连接，若，则的值为______． 16. 如图，点是以为圆心，为直径的半圆上的一个动点，过点作于点，若，则的最大值为______． 三、解答题（共8小题，第17-21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到（），其中的对应点为，的对应点为，的对应点为，且的坐标为． （1）旋转角的度数为_____． （2）画出旋转后的． （3）求旋转过程中点经过的路径的长． 19. 一个不透明的袋中装有标着“深”“度”“求”“索”四个汉字的小球，这四个小球除汉字外其它完全相同，每次摸球前先搅匀．先随机摸出一个球，记下结果后不放回，再从剩下的球中随机摸出一个球． （1）第一次摸到的球上的汉字是“索”的概率为_____． （2）请用树状图法或列表法，求两次摸到的球中含有“深”字的概率． 20. 如图，是等边三角形，延长至点，使得，再延长至点，使得，连结，． （1）求证：． （2）若，求的长． 21. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，研究人员对某型号机器狗的最快移动速度和负重重量的数据进行了记录，得到部分数据如下表所示： 负重重量 30 20 15 12 10 最快移动速度 2 3 4 5 6 （1）请选择合适的函数模型，并求出关于的函数解析式． （2）若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度大于，求负重重量的取值范围． 22. 在圆的学习中，九（1）班同学得到了多种“过圆外一点作的切线”的作图方法． 小雪的作法为：如图1，连接并延长交于点，，以为圆心，为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧，两条弧交于点，连接交于点，连接． （1）求证：为的切线． （2）如图2，小晨用同样的方法作出经过点的另一条切线，切点为，连接，若，求的度数． 23. 已知二次函数（）． （1）求该二次函数图像的对称轴． （2）已知点，在该二次函数图像上，求证：当时，． （3）过二次函数图像与轴的交点作轴的垂线，将二次函数图像在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形，已知，是图形上的两个点，求的取值范围． 24. 如图1，，点是线段上方的一个点，连结和，将绕点逆时针旋转得到，其中的对应点为，的对应点为，且，，三点在同一条直线上，连结交于点，连结． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）如图2，连结，若，求的值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉环市一仙居县2025学年第一学期教学质量监测 九年级数学卷 亲爱的同学： 欢迎参加本次考试！请认真审题，仔细解答，发挥最佳水平．答题时请注意以下几点： 1．试卷共4页，答题纸4页，满分120分，考试时间120分钟； 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试卷、草稿纸上无效； 3．答题前，请认真阅读答题卷上的《注意事项》，按规定答题； 4．本次考试不得使用计算器，请耐心解答．祝你成功！ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题有且只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 下列自然能源图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意． B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合． 2. 的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的关系解答. 【详解】∵点在外，的半径为3， ∴点到圆心的距离为>3， 故选：A. 【点睛】此题考查点与圆的位置关系：点与圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内． 3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于6 B. 从装有5个白球的袋中摸出一个红球 C. 画一个三角形，它的内角和等于 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，具有不确定性，A和B为不可能事件，C为必然事件，D具有随机性 【详解】解：A选项：骰子点数范围为1~6，点数大于6不可能发生，为不可能事件； B选项：袋中只有白球，摸出红球不可能发生，为不可能事件； C选项：三角形内角和恒为，必然发生，为必然事件； D选项：交通信号灯有红、黄、绿三种状态，遇到红灯可能发生，也可能不发生，为随机事件； 故选：D 4. 图①是一个花架，图②是其侧面示意图．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例的定理，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ，即， 解得：， 故选：B． 5. “浙BA城市争霸赛”正如火如荼地举行，为进一步推动体育活动健康发展，我市组织了中学生校园篮球赛．已知参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划安排36场比赛．设共有个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，每两个队之间进行一场比赛，总比赛场数为，根据计划安排36场比赛可得方程． 【详解】解：∵共有x个队参赛，每两个队之间比赛一场， ∴总比赛场数为， 又∵计划安排36场比赛， ∴， 即， 故选A． 6. 已知点，均在反比例函数（）的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关系． 根据，可知该反比例函数的图象，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点，均在反比例函数（）的图象上，且， ∴ ． 故选：C． 7. 如图，正八边形内接于，连接，相交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正多边形和圆，圆周角定理等知识， 根据圆周角定理求出，，再根据三角形内角和定理即可求出答案 【详解】解：∵正八边形内接于， ∴，， ∴， 故选：C 8. 某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（ ）元． A. 2048元 B. 2040元 C. 1759元 D. 1751元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数最值问题．设售价为x元（），则销售量为，每个利润为，总利润，化为二次函数，因顶点不在范围内，且函数在上递增，故最大值在处． 【详解】解：设售价x元（）， ∴销售量， 每个利润， ∴总利润． ∵，抛物线开口向下，顶点横坐标， 但，不在范围内， 又∵当时，函数递增， ∴在时P最大， （元）． 故选：B． 9. 如图，是的内接三角形，的角平分线交于点，交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据角平分线的定义和同弧或等弧所对的圆周角相等可求得，结合，可知，得到，然后设，用k表示出，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵和是所对的圆周角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 10. 已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示： … 2 … … … （注：表中自变量的值从左往右逐渐增大） 对于下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则，；④若，则，．其中正确的命题有（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．由二次函数部分对应值表可知，和时，得到二次函数对称轴为，利用二次函数的对称性和增减性，结合条件判断各命题即可． 【详解】解：∵和时， ∴二次函数对称轴为， ①当时，二次函数对称轴为， ∵， ∴，故①正确； ②当时，二次函数对称轴为， 当时，则距离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， 当时，则距离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴，故②错误； ③当时， ∴二次函数图象开口向上，， ∴，， ∴， 由题意得， ∴，故③正确； ④当时， ∴二次函数图象开口向下，， ∴，， ∴， 由题意得， ∴，故④正确； 综上，正确命题为①③④． 故选：D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的顶点式，可直接读出顶点坐标 【详解】解：二次函数是顶点形式， 顶点坐标为， 故答案为： 12. 为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表，根据试验数据，估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为______．（保留2位小数） 农作物种子的数目 发芽种子的频率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率；大量重复试验下“发芽种子”的频率可以估计“发芽种子”的概率，据此求解即可． 【详解】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在附近， 故“发芽种子”的概率约为， 故答案为：． 13. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式．即可得到关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】解：， 解得：． 的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，分两种情况利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：设点的运动时间为秒， 由题意可得，， ∵是的中点， ∴， 当时， , ∴，解得， 当时， , ∴，解得， 综上可知，点的运动时间为或， 故答案为：或 15. 如图，，是反比例函数图象上的两点，连接，，，并延长交轴于点，点是的中点，连接，若，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，根据题意可证明，；证明，得到，则；根据，可得，则可证明，则；设，则，根据， 建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，是反比例函数图象上的两点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，点是以为圆心，为直径的半圆上的一个动点，过点作于点，若，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆与几何的综合，勾股定理，一元二次方程根的判别式，连接，由勾股定理得，设，则，即，则，令，所以，则，然后根据，即，从而得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 令， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 即的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，第17-21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据直接开方法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到（），其中的对应点为，的对应点为，的对应点为，且的坐标为． （1）旋转角的度数为_____． （2）画出旋转后的． （3）求旋转过程中点经过的路径的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查作图-旋转变换，弧长公式，解题关键在于掌握作图法则． （1）确定旋转中心与旋转角，求出旋转角的度数即可； （2）分别找到点A，B，C绕原点逆时针旋转的对应点，顺次连接成三角形即可； （3）根据点C在旋转过程中所扫过的路径长为以原点为圆心，半径为4，圆心角为的弧长，进行计算即可． 【小问1详解】 解：连接，如图，为旋转角， ∴． 【小问2详解】 解：如图， 为所作的图形； 【小问3详解】 解：如图，， ∴旋转过程中点经过的路径的长为． 19. 一个不透明的袋中装有标着“深”“度”“求”“索”四个汉字的小球，这四个小球除汉字外其它完全相同，每次摸球前先搅匀．先随机摸出一个球，记下结果后不放回，再从剩下的球中随机摸出一个球． （1）第一次摸到的球上的汉字是“索”的概率为_____． （2）请用树状图法或列表法，求两次摸到的球中含有“深”字的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用列表法或画树状图法求概率．正确的列出所有的可能情况是解答本题的关键． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据题意即可列表表示出所有可能的情况，再从中找到符合题意的情况数，最后根据概率公式即可计算． 【小问1详解】 解：∵一个不透明的袋中装有标着“深”“度”“求”“索”四个汉字的小球，这四个小球除汉字外其它完全相同， ∴每个小球被第一次摸到的机会相等， ∴第一次摸到的球上的汉字是“索”的概率为， 故答案为： 【小问2详解】 列表如下： 深 度 求 索 深 度，深 求，深 索，深 度 深，度 求，度 索，度 求 深，求 度，求 索，求 索 深，索 度，索 求，索 根据表格可知有12种可能，其中两次摸到的球中含有“深”字的情况有6种， 故两次摸到的球中含有“深”字的概率为． 20. 如图，是等边三角形，延长至点，使得，再延长至点，使得，连结，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）根据题意找到条件利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例进行解答即可． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴． 21. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，研究人员对某型号机器狗的最快移动速度和负重重量的数据进行了记录，得到部分数据如下表所示： 负重重量 30 20 15 12 10 最快移动速度 2 3 4 5 6 （1）请选择合适的函数模型，并求出关于的函数解析式． （2）若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度大于，求负重重量的取值范围． 【答案】（1） （2）负重重量的取值范围是． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）由数据可知，得到与成反比例，则关于的函数解析式，即可解答； （2）令，即，求出，再根据，得到，即可解答． 【小问1详解】 解：由数据可知， ∴与成反比例， ∴关于的函数解析式． 【小问2详解】 解：令，即， 解得， 又∵， ∴． 答：负重重量的取值范围是． 22. 在圆的学习中，九（1）班同学得到了多种“过圆外一点作的切线”的作图方法． 小雪的作法为：如图1，连接并延长交于点，，以为圆心，为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧，两条弧交于点，连接交于点，连接． （1）求证：为的切线． （2）如图2，小晨用同样的方法作出经过点的另一条切线，切点为，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，三角形的内角和，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，由作图知，，为的半径，推导出，得到，则是的切线，即可解答； （2）连接，设，推导出，，由，得到，根据三角形的内角和，得到，求出，则，即可解答． 【小问1详解】 证明：连接，如图 由作图知，，为的半径， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是的切线 【小问2详解】 解：连接，如图 设， ∵、是切线，为的半径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 已知二次函数（）． （1）求该二次函数图像的对称轴． （2）已知点，在该二次函数图像上，求证：当时，． （3）过二次函数图像与轴的交点作轴的垂线，将二次函数图像在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形，已知，是图形上的两个点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 证明：由得，， ∴当 时，；当时，， ∴， ∵，， ∴，即． （3）无最大值，最小值趋近于． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次函数的性质即可求解； （）由题意得，，，所以，然后根据，，即可求解； （）由题意得原函数与轴交点为，所以直线：，又翻折后，部分关于对称，点在左侧原图上，，点在右侧翻折图上，其关于的对称点为在原函数上，代入原函数得，从而求解． 【小问1详解】 解：该二次函数图像的对称轴：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由得，当时，， ∴原函数与轴交点为， ∴直线：， 由题意得：翻折后，部分关于对称，点在左侧原图上， ∴， ∵点，点， ∴， ∴点在右侧翻折图上，其关于的对称， ∴在原函数上， ∴， ∴ ， ∵， ∴无最大值，最小值趋近于． 24. 如图1，，点是线段上方的一个点，连结和，将绕点逆时针旋转得到，其中的对应点为，的对应点为，且，，三点在同一条直线上，连结交于点，连结． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）如图2，连结，若，求的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点A作的延长线于点M，设，则，，得到，，由勾股定理，得到，求出或，根据，得到，则，即可解答； （3）设，则，由，得到，，推导出，，得到，，继而推导出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形，． ∵E，D，B三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作的延长线于点M，如图 有， 设，则， ∵是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 则，， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去） ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图 设，则， ∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ 即， 化简，得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $