专题23.10 三角形的重心（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

本讲义聚焦三角形重心这一核心知识点，系统梳理其定义（三条中线交点）及性质（重心到顶点距离是到对边中点距离的两倍），通过概念理解、重心确定、性质应用（求线段、面积、比值、最值）到证明的递进式题型设计，构建完整学习支架。 资料以情境化问题（如悬挂法确定重心、跳高体态分析）培养几何直观与应用意识，分层例题与变式题提升推理能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固练习，深化对重心性质的理解与应用，有效查漏补缺。

专题23.10 三角形的重心（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 【题型1 重心的概念】 1 【题型2 找三角形的重心】 3 【题型3 根据三角形重心的性质求线段长度】 7 【题型4 根据三角形重心的性质求面积】 9 【题型5 根据三角形重心的性质求比值】 13 【题型6 根据三角形重心的性质求最值】 16 【题型7 与三角形重心有关的证明】 20 知识点 三角形的重心 1.定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心. 2.性质：三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍. 【题型1 重心的概念】 【例1】（25-26八年级上·山西忻州·月考）一个锐角三角形硬纸板，先在三角形的一个顶点处用细线系上一个小重物．然后，慢慢地把三角形悬挂起来，让它自然下垂．等三角形静止后，用铅笔沿着细线的方向在三角形上画一条线．接着，换一个顶点，重复刚才的步骤，又画了一条线．两条线的交点就是这个三角形的重心位置，如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（） A．画出三角形三条角平分线的交点 B．画出三角形三条高线的交点 C．画出三角形三条中线的交点 D．画出三角形三条垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了重心的定义．质地均匀的三角形薄板的重心是三条中线的交点.题干描述的方法通过悬挂两个顶点画出两条通过重心的直线，即两条中线，它们的交点就是重心. 【详解】解：∵当悬挂一个顶点时，细线方向通过重心和该顶点， ∴画的线是顶点到重心的连线. ∵对于均匀三角形，重心是三条中线的交点， ∴从两个顶点画出的线是两条中线， ∴它们的交点就是三条中线的交点，即重心. 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·河南新乡·月考）如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据重心是三角形中线的交点，得到，解得即可． 本题考查了重心的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据重心是三角形中线的交点，得到， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键． 支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级上·四川绵阳·月考）对一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在（   ） A．长方形的任意一个顶点处 B．长方形两条对角线的交点处 C．长方形的一条边上 D．长方形的外部 【答案】B 【分析】本题考查了重心的概念，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 匀质规则形状物体的重心在其几何中心，对于长方形，几何中心是两条对角线的交点． 【详解】解：∵长方形薄板匀质且形状规则， ∴重心位于几何中心， 又∵长方形的几何中心是两条对角线的交点， ∴重心在两条对角线的交点处， 故选：B． 【题型2 找三角形的重心】 【例2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点 ； 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如下图， 则有， 由网格可知， ∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线， ∴点D是的重心． 故答案为：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）根据下列圆规作图痕迹，仅用无刻度直尺能找到三角形重心的图形是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查三角形重心的定义（三条中线的交点）及尺规作图-中线的绘制，解题思路是判断哪个图形的作图痕迹能确定两条中线的交点；考查的知识点是三角形重心的定义、尺规作中线的方法，用到的思想是几何作图思想，方法是中线交点法，技巧是识别能确定边中点的作图痕迹，解题关键是明确重心是中线交点且中线需通过边的中点，易错点是混淆三角形 “四心” 的作图方法，据此解答即可． 【详解】解：图形的作图痕迹可确定一条角平分线，不符合题意； 图形的作图痕迹可确定两条角平分线，不符合题意； 图形的作图痕迹可确定两条边的中点，进而画出两条中线，其交点即为重心，符合题意； 图形的作图痕迹可确定一条边的中点和高线，进而画出一条中线和一边的高线，不符合题意； 故答案为． 【变式2-2】已知在正方形网格中的位置如图所示，A，B，C，P四点均在格点上，则点P叫做的（    ）    A．垂心（三边高线的交点） B．重心（三边中线的交点） C．外心（三边垂直平分线的交点） D．内心（三内角平分线的交点） 【答案】B 【分析】本题考查了对三角形“四心”的判断，找到格点即可求解． 【详解】解：如图所示：    ∵是的中线， ∴点P叫做的重心 故选：B 【变式2-3】（25-26八年级上·北京·期中）阅读材料解决问题： 物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要，例如，比赛中运动员在转向时，通过调整身体重心的位置来改变滑行方向；杂技演员在表演转盘的时候，用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动；飞机的重心位于合适的位置时，不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定，而且能使飞机具有良好的操纵性能等等． （1）简单平面图形的重心位置 我们学习了三角形的重心，知道三角形的重心是三条中线的交点．我们可以用平衡法、悬挂法等方法确定这些简单平面图形的重心位置，发现重心位置都位于它们的几何中心． 任务一、作出图1、图2的重心， （2）合平面图形的重心位置 在平面内，图形A与图形B拼成一个图形（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上．根据这一结论，我们可以确定两个简单平面图形拼成的图形重心位置．例如：要确定图3的重心G的位置，可以将图3用两种方法分割成两个简单图形（如图4、图5），则重心G在这两个基本图形的重心M，所连线段上，所以图3的重心为线段的交点（如图6）． 任务二、作出图7的重心 （3）跳高是一种需要技巧和力量的运动，常见的方法有跨越式、滚式和背越式，如图 任务三、如果将不同方法的运动员体态抽象为平面图形，请根据材料中内容，解释为什么跳高运动员采用“背越式”成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”更好． 【答案】任务一：见解析；任务二：见解析；任务三：见解析； 【分析】本题考查了重心及其应用，作平面图形的重心，读懂材料是解题的关键； （1）任务一：作出三角形两边的垂直平分线，其交点便是重心；连接长方形两条对角线，其交点便是长方形的重心； （2）任务二：按照题干中的方法找重心即可； （3）任务三：分析三种跳高方法中重心的位置即可． 【详解】解：任务一：重心、如图所示： ； 任务二：重心G，如图所示： 任务三：背越式能让人体重心尽可能低于横杆，而跨越式、滚式的重心更接近甚至高于横杆，相同弹跳能力下，背越式需要克服的重力做功更少，因此能跳过更高高度． ①跨越式/滚式：运动员过杆时，身体呈“跨”或“滚”的姿态，重心始终在身体几何中心附近，且整体处于横杆上方（类似矩形重心在对角线交点，始终在物体内部），过杆时重心必须高于横杆，需要更强的弹跳力抬升身体． ②背越式：运动员过杆时身体呈“反弓形”（背向横杆），重心会落在身体几何中心之外——处于背部下方的空当中，形成“重心低于身体”的特殊状态．此时横杆可高于人体重心，相当于用相同的弹跳高度，“额外”获得了重心与横杆之间的高度差，大幅降低了过杆难度． 简单类比：跨越式是“举着重心过杆”，背越式是“让重心从横杆下方‘钻’过去”． 【题型3 根据三角形重心的性质求线段长度】 【例3】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵点O是的重心， ∴是的中线， ∴； 故选B． 【变式3-1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的重心，熟练掌握三角形的重心的概念是解题关键．根据三角形的重心可得和都是的中线，则，，代入计算即可得． 【详解】解：∵点是的重心， ∴和都是的中线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【变式3-2】如图，，分别是的中点，连结交于点O，的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的重心、勾股定理逆定理、直角三角形的性质等，根据边长之间的关系以及勾股定理的逆定理可得到，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可以得到，再根据重心的概念可得到结果，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意，∵， ∴， ∴， 又D是的中点， ∴， ∵分别是的中点， ∴O是的重心， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，点G是的重心，，，那么的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查三角形的重心及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握三角形的重心及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴，点是的中点， ∵，， ∴， ∴； 故答案为10． 【题型4 根据三角形重心的性质求面积】 【例4】如图，G是△ABC的重心，直线l过A点与BC平行．若直线CG分别与AB，直线l交于点D，E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积∶四边形ADGF的面积＝ ． 【答案】3:2 【详解】解：设ABC的面积是2 ∴BCD的面积和BCF的面积都是1 ∵BG:GF=CG:GD=2 ∴CGF的面积是 ∴四边形ADGF的面积是 ∵BC∥l， ∴∠AED=∠BCD， 又∵∠ADE=∠BDC，AD=BD， ∴△ADE≌△BDC(ASA)， ∴△ADE的面积是1， ∴△ADE的面积：四边形ADGF的面积 故答案为 【变式4-1】在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于6，则△ABC的面积等于 ． 【答案】12 【分析】先根据点O是△ABC的重心得出OD=AD，再由△BOD的面积等于6，得出S△ABD=S△BCE=18，即可求出SΔCEOD． 【详解】解：∵△ABC中，中线AD、BE相交于点O， ∴点O是△ABC的重心， ∴OD=AD． ∵S△BOD=6， ∴S△ABD=18=S△ABC= S△BCE ∴S四边形CEOD= S△BCE - S△BOD =18−6=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键． 【变式4-2】如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则△ABC的面积是 ． 【答案】144 【分析】设AD与BE交于点F．根据等腰三角形三线合一的性质确定AD是△ABC的中线， 进而确定点F是△ABC的重心，根据三角形重心的性质求出DF和BF的长度，根据勾股定理求出BD的长度，进而求出BC的长度，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如下图所示，设AD与BE交于点F． ∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D， ∴AD是△ABC的中线． ∴BC＝2BD． ∵AE＝EC， ∴BE是△ABC的中线． ∴点F是△ABC的重心． ∵AD＝18，BE＝15， ∴DF＝AD＝6，BF＝BE＝10． ∴BD＝＝8． ∴BC＝2BD＝16． ∴S△ABC＝BCAD＝×16×18＝144． 故答案为：144． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质，三角形重心的性质勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握这些知识点是解题关键． 【变式4-3】（2025·上海宝山·一模）如图，在中，，D是斜边上任意一点，点E、F分别是的重心，那么四边形的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形的重心，先求出的长，进而得出的面积，再分别连接并延长，根据重心的性质得出它们与的交点为同一点，最后得出及的面积分别为和面积的即可解决问题． 【详解】解：在中，， ∴． 连接并延长，分别交于点，N， ∵E，F分别为和的重心， ∴点M为中点，点N为中点， ∴M，N重合． ∵点E为的重心， ∴， ∴，， ∴． 同理可得，， ∴， 即四边形的面积为8． 故答案为：8． 【题型5 根据三角形重心的性质求比值】 【例5】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的应用，与中线有关的面积，熟练掌握重心的性质是解题的关键．先根据点G是的重心，得，则，，故，即可作答． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如果点是的重心，是边的中点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了重心的性质“重心将每条中线分成两部分，其中从顶点到重心的部分与从重心到中点的部分之比为”．根据重心的性质进行求解即可． 【详解】解：∵点是的重心，是边的中点， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】如图，在中，G为的重心，连，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质和中线的性质．根据重心的性质可得，然后证明，从而得解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， ∵点G是的重心， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，点O是三角形的重心，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，重心的概念，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 延长到G，使，连接推出是的中位线，利用三角形中位线定理，求得，，再证明，推出，据此即可得出结论． 【详解】解：延长到G，使，连接 点O是三角形的重心， 点D是的中点， 是的中位线， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：A． 【题型6 根据三角形重心的性质求最值】 【例6】如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是 【答案】 【分析】延长交于点，根据三角形重心的性质可得，是的中点，然后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出，从而得出，然后根据得出的长度，则当时，的面积最大，求其最大值即可． 【详解】解：延长交于点， ∵G是的重心， ∴，是的中点， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， 当时，的面积最大，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了重心的性质，解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的倍． 【变式6-1】如图，在中，，，，点P在的内部（不包括边上），且的面积等于的面积的一半，设点D为的重心，点P、D两点之间的距离为d，那么d的最小值为 ． 【答案】1 【分析】过作于点，设、的中点分别为、，连接、与交于点，则与的交点便是的重心点，点在线段上（不与、重合）当与重合时，、两点距离最短为，求得的值便可． 【详解】解：过作于点，设、的中点分别为、，连接、与交于点，则与的交点便是的重心点，如下图， ， ， 点为的重心， ， 、分别是、的中点， ， ， 点在的内部（不包括边上），且的面积等于的面积的一半， 点在线段上（不与、重合）， 当与重合时，、之间的距离为最小，其值为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的重心性质，三角形的中位线定理，三角形的面积，关键在于确定点、两点的距离的最小值为． 【变式6-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了重心的性质，解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．延长交于点D，根据三角形重心的性质可得，D是的中点，然后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出，从而得出，然后根据得出，的长度，则当时，的面积最大，求其最大值即可． 【详解】解：延长交于点D， G是的重心， ，D是的中点， ， ，即， ， ， （负值舍去）， ， 当时，的面积最大，最大值为． 故选：B． 【变式6-3】如图，点O是边长为4的等边的重心，点P在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，证明的面积为定值，过点作的平行线，连接并延长交于点，交于点，连接，由于的面积为定值，推出点的运动轨迹是直线，求出的值，可得结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 是等边三角形，边长为4， ， ， 如图，过点作的平行线，连接并延长交于点，交于点，连接， 的面积为定值， 点的运动轨迹是直线， 是的中心， ，， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是证明的面积是定值． 【题型7 与三角形重心有关的证明】 【例7】如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）延长到，与相交于D，使，即可证明，则有，结合重心得性质得，，利用勾股定理逆定理即可判定是直角三角形，可求得，结合即可求得答案． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，由重心的性质可知，点D，E，F是中点，且，，，结合题意有，化简得，同理：，利用勾股定理得，结合可得，即可证． 【详解】（1）解：延长到，与相交于D，使，如图，    则，， ∴， ∴， ∵G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，如图，    由重心的性质可知，点D，E，F分别是，，的中点，且，，， ∵， ∴，则，化简得， 同理：， ∵， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴，化简得， ∴． 【点睛】本题主要考查重心的性质，涉及全等三角形的判定和性质、勾股定理逆定理和勾股定理，解题的关键是熟悉重心的性质和勾股定理的逆定理． 【变式7-1】如图，在四边形中，，，E是的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作：连接；连接，交于点F；连接，交于点P；作射线，交于点H． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形三线合一，三角形面积的计算，关键是看出三角形的重心和平行四边形对角线分成的四个三角形面积相等． （1）先证明再根据即可得出结论； （2）利用三角形中线交于一点和等腰三角形三线合一； （3）将四边形分割成、、，分别求出面积． 【详解】（1） 解：四边形是平行四边形，理由如下： ，E为的中点， ． ， 四边形是平行四边形； （2） 证明：由（1）知四边形是平行四边形， F为中点， 是的中线， 是的中线， 是的中线， ， ； （3） 解：E是的中点，F为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，． 【变式7-2】如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线，过A点作交的延长线于点G．    (1)求证：； (2)若，求证四边形是菱形； (3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为的中点，当点P在边上运动时，求的最小值，并求出此时线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的最小值为， 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论； （2）根据平行四边形的性质及矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，即可得出四边形是菱形； （3）连接交于P，根据轴对称的性质证明此时的值最小，根据等边三角形的性质计算即可得出最小值，最后根据三角形的重心即可得出的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E、F分别为边、的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）四边形是平行四边形， 即 四边形是平行四边形， 又 四边形是矩形， E为边的中点， 由（1）可知，四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （3）连接，连接交于P，    ∵四边形是菱形， ∴点E和点F关于轴对称，此时的值最小， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ， ∴， 即的最小值为． 此时，点P为的重心， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理以及等边三角形的性质的综合运用，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键． 【变式7-3】（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，直角中，，点O是的重心，连接并延长交于点E，过点E作交于点F，连接交于点M，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查三角形的重心据三角形的重心性质可得，根据直角三角形的性质可得，根据等边三角形的判定和性质得到，进一步得到，根据垂直平分线的性质和含的直角三角形的性质可得，，依此得到，从而得到答案． 【详解】证明：∵点O是的重心， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴==． ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.10 三角形的重心（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 【题型1 重心的概念】 1 【题型2 找三角形的重心】 2 【题型3 根据三角形重心的性质求线段长度】 4 【题型4 根据三角形重心的性质求面积】 5 【题型5 根据三角形重心的性质求比值】 6 【题型6 根据三角形重心的性质求最值】 6 【题型7 与三角形重心有关的证明】 7 知识点 三角形的重心 1.定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心. 2.性质：三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍. 【题型1 重心的概念】 【例1】（25-26八年级上·山西忻州·月考）一个锐角三角形硬纸板，先在三角形的一个顶点处用细线系上一个小重物．然后，慢慢地把三角形悬挂起来，让它自然下垂．等三角形静止后，用铅笔沿着细线的方向在三角形上画一条线．接着，换一个顶点，重复刚才的步骤，又画了一条线．两条线的交点就是这个三角形的重心位置，如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（） A．画出三角形三条角平分线的交点 B．画出三角形三条高线的交点 C．画出三角形三条中线的交点 D．画出三角形三条垂直平分线的交点 【变式1-1】（24-25八年级上·河南新乡·月考）如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”） 【变式1-2】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 【变式1-3】（25-26八年级上·四川绵阳·月考）对一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在（   ） A．长方形的任意一个顶点处 B．长方形两条对角线的交点处 C．长方形的一条边上 D．长方形的外部 【题型2 找三角形的重心】 【例2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点 ； 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）根据下列圆规作图痕迹，仅用无刻度直尺能找到三角形重心的图形是 ．（填序号） 【变式2-2】已知在正方形网格中的位置如图所示，A，B，C，P四点均在格点上，则点P叫做的（    ）    A．垂心（三边高线的交点） B．重心（三边中线的交点） C．外心（三边垂直平分线的交点） D．内心（三内角平分线的交点） 【变式2-3】（25-26八年级上·北京·期中）阅读材料解决问题： 物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要，例如，比赛中运动员在转向时，通过调整身体重心的位置来改变滑行方向；杂技演员在表演转盘的时候，用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动；飞机的重心位于合适的位置时，不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定，而且能使飞机具有良好的操纵性能等等． （1）简单平面图形的重心位置 我们学习了三角形的重心，知道三角形的重心是三条中线的交点．我们可以用平衡法、悬挂法等方法确定这些简单平面图形的重心位置，发现重心位置都位于它们的几何中心． 任务一、作出图1、图2的重心， （2）合平面图形的重心位置 在平面内，图形A与图形B拼成一个图形（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上．根据这一结论，我们可以确定两个简单平面图形拼成的图形重心位置．例如：要确定图3的重心G的位置，可以将图3用两种方法分割成两个简单图形（如图4、图5），则重心G在这两个基本图形的重心M，所连线段上，所以图3的重心为线段的交点（如图6）． 任务二、作出图7的重心 （3）跳高是一种需要技巧和力量的运动，常见的方法有跨越式、滚式和背越式，如图 任务三、如果将不同方法的运动员体态抽象为平面图形，请根据材料中内容，解释为什么跳高运动员采用“背越式”成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”更好． 【题型3 根据三角形重心的性质求线段长度】 【例3】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，，则 ． 【变式3-2】如图，，分别是的中点，连结交于点O，的长为 ．    【变式3-3】（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，点G是的重心，，，那么的长为 ． 【题型4 根据三角形重心的性质求面积】 【例4】如图，G是△ABC的重心，直线l过A点与BC平行．若直线CG分别与AB，直线l交于点D，E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积∶四边形ADGF的面积＝ ． 【变式4-1】在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于6，则△ABC的面积等于 ． 【变式4-2】如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则△ABC的面积是 ． 【变式4-3】（2025·上海宝山·一模）如图，在中，，D是斜边上任意一点，点E、F分别是的重心，那么四边形的面积是 ． 【题型5 根据三角形重心的性质求比值】 【例5】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 【变式5-1】（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如果点是的重心，是边的中点，那么的值为 ． 【变式5-2】如图，在中，G为的重心，连，则 ． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，点O是三角形的重心，则（　　） A． B． C． D． 【题型6 根据三角形重心的性质求最值】 【例6】如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是 【变式6-1】如图，在中，，，，点P在的内部（不包括边上），且的面积等于的面积的一半，设点D为的重心，点P、D两点之间的距离为d，那么d的最小值为 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（   ） A．3 B．6 C． D． 【变式6-3】如图，点O是边长为4的等边的重心，点P在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是 ． 【题型7 与三角形重心有关的证明】 【例7】如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 【变式7-1】如图，在四边形中，，，E是的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作：连接；连接，交于点F；连接，交于点P；作射线，交于点H． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求四边形的面积． 【变式7-2】如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线，过A点作交的延长线于点G．    (1)求证：； (2)若，求证四边形是菱形； (3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为的中点，当点P在边上运动时，求的最小值，并求出此时线段的长． 【变式7-3】（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，直角中，，点O是的重心，连接并延长交于点E，过点E作交于点F，连接交于点M，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $