专题05 正态分布（高效培优讲义，3知识&6题型精讲+强化训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题05 正态分布 教学目标 1.理解正态分布的定义、符号表示方法，明确参数μ（期望）和σ（标准差）的含义，掌握标准正态分布的特殊条件； 2.熟练掌握正态曲线的核心性质，包括对称性、峰值位置、曲线与坐标轴的关系，以及μ和σ对曲线位置与形状的影响； 3.熟记三个特殊区间的概率数值，深刻理解3σ原则的内涵，并能在简单实际情境中运用其解决概率问题。 教学重难点 重点：正态分布的定义与表示，正态曲线的关键性质，三个特殊区间的概率值，3σ原则的理解与基础应用； 难点：精准分析参数μ、σ对正态曲线位置和形状的具体影响，3σ原则在实际问题中的灵活迁移与应用。 知识点01 正态分布 1．正态分布 (1)由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的解析式为φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差). (2)特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态曲线 对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线. 【即学即练】 1.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形 B.若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布 C.从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布 D.当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖” 【答案】ABD 2．已知随机变量，其密度函数为，则 . 【答案】 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 3．通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 【答案】B 【详解】从分布密度曲线可以得到如下结论： （1）B班的平均成绩大于A班的平均成绩； （2）B的方差小于A的方差，故B发挥较为稳定， 故B班获胜的可能更大. 故答案为：B. 知识点02 正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 【即学即练】 1．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．与 的取值有关 【答案】B 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，所以. 故选：B 2．（25-26高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 知识点03 三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 1. 三个特殊区间内取值的概率值 (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6； (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4； (3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4. 2．原则 尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 【即学即练】 1．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 【答案】D 【详解】由，得 . 故选：D 2．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越小 C．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】A 【详解】对于选项A：因为数据的标准差越小，说明数据在均值附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于选项BC：根据原则，可知在，的概率是定值，故BC错误； 对于选项D：根据正态分布曲线的对称轴是，在与落在的公共区域是， 而区间与对应区间的面积，显然不相等， 所以无论怎么变化，根据图形可知：在的概率大于在的概率，故D错误. 故选：A. 题型01 正态密度函数 【典例1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解. 【详解】由正态分布密度函数，可得. 故选：C. 【典例1-2】“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【分析】详解】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 【变式1-1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【详解】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A 【变式1-2】（多选）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】详解】由正态曲线对应的密度函数为，得，， 则，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误． 故选：AC 题型02 正态密度曲线的性质 【典例2-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 【典例2-2】已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，易知单调递增， 由正态分布的对称性可知， 所以， 由，得， 所以, 即的最小值为， 故选：B． 1.正态曲线是单峰的,它关于直线对称,由此性质结合图象求； 2.正态曲线在处达到峰值,由此性质结合图象可求. 【变式2-1】若随机变量，则的最小值为（    ） A．4 B．9 C．18 D．32 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，又，所以当且仅当时取等号. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【详解】根据题意，随机变量服从正态分布，， 服从正态分布，， A选项：， ， 故，命题正确； B选项： ，所以，命题正确； C选项：， ， 所以，命题正确； D选项：， ， 所以，命题错误. 故选：D. 题型03 求区间上的概率 【典例3-1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 【答案】B 【分析】由正态分布对称性结合原则直接计算即可求解. 【详解】由题得，， . 故选：B. 【典例3-2】（24-25高二下·河南漯河·期末）小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（   ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 【答案】A 【分析】根据正态分布的三段区间概率及对称性求概率即可. 【详解】由题设，，． 故选：A 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 【变式3-1】（24-25高二下·河南周口·期末）已知某班学生的数学期末考试成绩，若规定这次考试数学成绩在区间内的为良好，则该班数学成绩良好的学生比例约为（   ） 参考数据：，，． A．34.135% B．15.73% C．13.59% D．4.28% 【答案】C 【分析】利用特殊区间的概率及正态分布的对称性估计该班数学成绩良好的学生比例即可. 【详解】由题设 . 故选：C 题型04 根据正态曲线的对称性求参数 【典例4-1】某店经营的某种包装的面包质量（单位：）服从正态分布，且，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在之间的概率为（    ） A．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.5 【答案】A 【详解】某种包装的面包质量服从正态分布，且， 则有，由对称性可得， 则有. 所以其质量在之间的概率为. 故选：A 【典例4-2】（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量，，若，则 . 【答案】/ 【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，可知， 若， 可得， 所以. 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高二下·四川广元·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：B. 【变式4-2】（多选）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为随机变量，所以，故A正确； ，故B正确； 因为随机变量，所以， 则，故C错误； 又，故D错误. 故选：AB. 题型05 标准正态分布问题(拓展) 【典例5】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 若数据服从正态分布，则有. 【变式5-1】正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【答案】B 【分析】详解】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为， 故选：B． 【变式5-2】高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布，若住同一地方的甲、乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（    ） A．①、② B．②、① C．①、① D．②、② 【答案】B 【详解】对于甲，若有分钟可走，走第一条线路赶到的概率为， 走第二条线路赶到的概率为， ，所以甲应走线路②； 对于乙，若有分钟可走，走第一条线路的概率为， 走第二条线路赶到的概率为， ，所以乙应走线路①. 故选：B. 题型06 正态分布的实际应用 【典例6】（多选）（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B． C． D．若某天只有可用，李明应选择坐公交车 【答案】AD 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A正确； ，， 因为， 所以，故B错误； ，故C错误； 因为， ， 又，， 又与的密度曲线大致如下，所以， 所以，所以李明应选择公交车，故D正确． 故选：AD． 解答正态分布的实际应用题,其关键是转化,同时应熟练掌握正态分布在,三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想. 【变式6-1】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【答案】C 【详解】对于A，依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A错误； 对于C，，， 因为， 所以，故C正确； 对于B，与的密度曲线大致如下， 若某天只有34min可用，由图可知，所以李明应选择公交车，故B错误． 对于D，若某天只有40min可用，由图可知， 所以，所以李明应选择自行车，故D错误． 故选：C． 【变式6-2】（2025高二·全国·专题练习）已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度服从. (1)求取得的这件材料的强度不低于180的概率； (2)若所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，则这批材料是否符合要求？ 【答案】(1) (2)符合要求 【分析】（1）根据正态分布的性质计算对应概率即可； （2）先求正态分布的随机变量在某一范围内取值的概率，再判断即可. 【详解】（1）. （2）求出从这批材料中任取一件，所取材料的强度都不低于150的概率， 与99%进行比较，从而得出结论. 即从这一批材料中任取一件时，所取材料的强度保证不低于150的概率为99.73%， 这个概率大于99%，所以这批材料符合要求. 题型07 3σ原则的应用 【典例7-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 【答案】C 【分析】计算出，从而估计出单果质量不低于70g的猕猴桃个数. 【详解】，， 又， 故， 估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为. 故选：C 【典例7-2】某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】(1) (2)（i）需停止生产并检查设备；（ii）， 【详解】（1）由频率分布直方图，得． ． （2）（i）由（1）可知，， 所以，， 显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备． （ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为， 所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为， 故，所以， X的数学期望． 通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值,在区间外的概率大约只有,通常认为这种情况几乎不可能发生,如果发生则表示异常. 【变式7-1】“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则 【答案】0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可） 【分析】详解】依题意可得， 要使次品率不高于，则正品率不低于， 又根据正态曲线的特征知，， 所以， 所以，解得． 故答案为：0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）． 【变式7-2】（25-26高二上·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数计算公式计算即可； （2）（ⅰ）由题意，由可求得，进而可得这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）根据正态分布的性质及原则分析即可． 【详解】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 【变式7-3】某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【分析】 将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【详解】， . 故选：B. 2．（2025·海南·模拟预测）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，即， 所以. 故选：B. 3．（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得． 【详解】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 4.(24-25高二下·湖北武汉·期末）如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 【答案】B 【分析】由正态分布对称性结合原则直接计算即可求解. 【详解】由题得，， . 故选：B. 5．已知随机变量，，且，若，则（    ） A．0.09 B．0.82 C．0.91 D．0.21 【答案】B 【详解】由题意得，则， 因为，所以， 即，解得， 由题意得， 由对称性可得， 则，故B正确. 故选：B 6．已知随机变量，设函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】随机变量，， 因为， 因为，所以根据对称性可知， 所以函数的图象关于对称，故排除AC； 当时，，所以排除D． 故选：B 7．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为100个数据的平均值， 方差， 所以的估计值为72，的估计值为6． 设该市高中生身体素质指标值为，由， 得， ， 故． 故选：C 8．（2025·福建·模拟预测）已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（    ） A．45 B．53 C．54 D．90 【答案】B 【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又， 所以，，. 设， 则， 所以，，所以. ， 所以，，所以. 所以，以使得最大的N值作为N的估计值，则N为. 故选：B. 二、多选题 8．影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设，则， 由服从正态分布得， 所以，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 10．（多选）（2023高三上·全国·专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 11．（2026·重庆九龙坡·一模）近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（   ） A．该蜜柚是优等品的概率为 B．该蜜柚是合格品的概率为 C．若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D．若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的概念，判断分布曲线的对称轴和方差，根据正态分布的对称性，以及条件概率公式，逐一判断各选项正误. 【详解】由题意，则随机变量服从正态分布，对称轴为，， 因为，即， 所以，A正确； 由，可知， 所以，B正确； 由正态分布曲线的对称轴为，所以，， 设事件为蜜柚重量大于1500克，则，事件为蜜柚为优等品，则， 由条件概率可知蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为，C正确； 蜜柚是合格品的概率为，重量不小于1500克的概率为， 设事件为蜜柚是合格品，则，设事件为蜜柚重量不小于1500克，则， 由条件概率可知蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为，D错误； 故选：ABC 三、填空题 12．（24-25高二下·河北·期末）已知随机变量，，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】由得出，由得出的表达式，由，即可求出的值. 【详解】由题意， 由于服从正态分布，且， ∴均值， 而Y服从二项分布，故， ∵， ∴，解得， 故答案为： 13．通勤时间是指单日内某人从居住地到工作地的用时.数学曾老师经过若干个月的统计发现，其通勤时间（单位：分钟）服从正态分布.设，.曾老师某天7点10分出门，如果学校要求在8点前到达，那么曾老师当天迟到的概率约为 .（结果精确到0.1%.参考数据：，，.） 【答案】 【详解】由题意曾老师当天迟到的概率即为, 将标准化为值， , 又， 所以， 所以曾老师当天迟到的概率约为， 故答案为： 14．（25-26高二上·全国·单元测试）某省为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省各市本次模拟考试数学成绩都近似服从正态分布．在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量为本次考试数学成绩在之外的人数，则约为 ．若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生的数学成绩为114分，则估计学生的数学成绩在甲市的大致名次为第 名． 参考数据：，．若，有，，． 【答案】 0.4782 1587 【分析】设事件：在样本中抽取的1名学生在本次考试中数学成绩在之外，利用正态分布的概率计算公式求出，从而得到，由二项分布的概率公式即可求出，根据题意可得，解得 ，利用正态分布的概率公式计算即可求解. 【详解】设事件：在样本中抽取的1名学生在本次考试中数学成绩在之外． 成绩在之内的概率为0.9974， ， 随机变量服从二项分布，即， ． 若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，则可得， ， ，即，解得． 甲市学生在该次考试中数学成绩为114分，且， 又，即，， 即学生本次考试的数学成绩在甲市的大致名次为第1587名． 故答案为：0.4782，1587 四、解答题 15．设，且总体密度曲线的函数表达式为，. (1)求； (2)求及的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】详解】（1）由于， 根据一般正态分布的函数表达形式，可知，，故. （2） . 又 . 16．（24-25高二下·山东·阶段练习）为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. (1)若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. (2)参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】(1)83； (2)， 【分析】（1）根据正态分布的对称性求出，再根据期望方差，得到平均成绩；（2）利用二项分布的数学期望、方差公式与性质计算即得. 【详解】（1）因为， 又正态分布中，， 所以本次知识竞赛预期的平均成绩大约为86-3=83； （2）记小王答对题的数量为，则， 由题意得， 则， 所以， . 17．某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图． (1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的年平均收入又（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示） (2)由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于17.56千元的人数最有可能是多少？ ②在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？ 附：；若，则，，． 【答案】(1)20千元； (2)①978人；②18.78千元． 【详解】（1）由频率分布直方图可知： ， 故估计50位农民的年平均收入为20千元． （2）由题意知， ①由， 每个农民的年收入不少于17.56千元的概率为0.97725， 记1000个农民的年收入不少于17.56千元的人数为，则，其中． 于是恰好有个农民的年收入不少于17.56千元的事件概率为：． 从而由，得，而， 所以当时，， 当时， 由此可知，在所走访1000位农民中，年收入不少于17.56千元的人数最有可能是978人． ②因为， 时，满足题意，即最低年收入标准大约为18.78千元． 18．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； (2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲台机器每天生产出的零件的平均利润更大 【分析】（1）需要根据独立事件概率公式计算不同故障台数的概率； （2）比较甲、乙两台机器生产零件的平均利润，要先根据正态分布的性质求出不同内径范围的概率，再计算平均利润. 【详解】（1）表示一天内发生故障的机器台数，的可能取值为，，. ：表示甲、乙两台机器都不发生故障，因为甲、乙两台机器工作状态相互独立，根据独立事件概率公式，可得. ：表示甲发生故障乙不发生故障或者甲不发生故障乙发生故障，可得. ：表示甲、乙两台机器都发生故障，根据独立事件概率公式，可得. 所以的分布列为： 0.72 0.26 0.02 （2）甲机器：已知甲生产出的零件内径，则，. ； ； . 每台机器每天生产1000件零件，则甲机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 乙机器：已知乙生产出的零件内径，则，. ； ； . 则乙机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 因为，所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大. 19．（24-25高二下·海南海口·期中）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)0.8186 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据正态分布性质得到； （2）①由条件概率得到，证明出结论； ②由①，得，从而元件B，C必须至少有一个正常工作，所求概率为. 【详解】（1），其中，故， ， 由题设，得，， ； （2）①由题设，得 ， . 所以. ②由①，得， 所以第天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 正态分布 教学目标 1.理解正态分布的定义、符号表示方法，明确参数μ（期望）和σ（标准差）的含义，掌握标准正态分布的特殊条件； 2.熟练掌握正态曲线的核心性质，包括对称性、峰值位置、曲线与坐标轴的关系，以及μ和σ对曲线位置与形状的影响； 3.熟记三个特殊区间的概率数值，深刻理解3σ原则的内涵，并能在简单实际情境中运用其解决概率问题。 教学重难点 重点：正态分布的定义与表示，正态曲线的关键性质，三个特殊区间的概率值，3σ原则的理解与基础应用； 难点：精准分析参数μ、σ对正态曲线位置和形状的具体影响，3σ原则在实际问题中的灵活迁移与应用。 知识点01 正态分布 1．正态分布 (1)由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的解析式为φμ，σ(x)＝ ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称 (其中μ是正态分布的 ，σ是正态分布的 ). (2)特别地，当时，称随机变量X服从 正态分布． 2．正态曲线 对应的图象为正态分布密度曲线，简称为 . 【即学即练】 1.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形 B.若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布 C.从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布 D.当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖” 2．已知随机变量，其密度函数为，则 . 3．通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 知识点02 正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为 曲线是单峰的，它关于直线 对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“ ”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“ ”，表示随机变量的分布比较分散， 【即学即练】 1．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．与 的取值有关 2．（25-26高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 知识点03 三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 1. 三个特殊区间内取值的概率值 (1) ≈0.682 6； (2) ≈0.954 4； (3) ≈0.997 4. 2．原则 尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间 内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 【即学即练】 1．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 2．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越小 C．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 题型01 正态密度函数 【典例1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【变式1-1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 题型02 正态密度曲线的性质 【典例2-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2-2】已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1.正态曲线是单峰的,它关于直线对称,由此性质结合图象求； 2.正态曲线在处达到峰值,由此性质结合图象可求. 【变式2-1】若随机变量，则的最小值为（    ） A．4 B．9 C．18 D．32 【变式2-2】（24-25高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 题型03 求区间上的概率 【典例3-1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 【典例3-2】（24-25高二下·河南漯河·期末）小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（   ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 【变式3-1】（24-25高二下·河南周口·期末）已知某班学生的数学期末考试成绩，若规定这次考试数学成绩在区间内的为良好，则该班数学成绩良好的学生比例约为（   ） 参考数据：，，． A．34.135% B．15.73% C．13.59% D．4.28% 题型04 根据正态曲线的对称性求参数 【典例4-1】某店经营的某种包装的面包质量（单位：）服从正态分布，且，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在之间的概率为（    ） A．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.5 【典例4-2】（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量，，若，则 . 【变式4-1】（24-25高二下·四川广元·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 题型05 标准正态分布问题(拓展) 【典例5】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 若数据服从正态分布，则有. 【变式5-1】正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【变式5-2】高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布，若住同一地方的甲、乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（    ） A．①、② B．②、① C．①、① D．②、② 题型06 正态分布的实际应用 【典例6】（多选）（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B． C． D．若某天只有可用，李明应选择坐公交车 解答正态分布的实际应用题,其关键是转化,同时应熟练掌握正态分布在,三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想. 【变式6-1】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【变式6-2】（2025高二·全国·专题练习）已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度服从. (1)求取得的这件材料的强度不低于180的概率； (2)若所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，则这批材料是否符合要求？ 题型07 3σ原则的应用 【典例7-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 【典例7-2】某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值） (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值． （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备． （ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则， 通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值,在区间外的概率大约只有,通常认为这种情况几乎不可能发生,如果发生则表示异常. 【变式7-1】“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则 【变式7-2】（25-26高二上·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【变式7-3】某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 2．（2025·海南·模拟预测）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 4.(24-25高二下·湖北武汉·期末）如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 5．已知随机变量，，且，若，则（    ） A．0.09 B．0.82 C．0.91 D．0.21 6．已知随机变量，设函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）（    ） A． B． C． D． 8．（2025·福建·模拟预测）已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（    ） 二、多选题 9．影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（2023高三上·全国·专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 11．（2026·重庆九龙坡·一模）近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（   ） A．该蜜柚是优等品的概率为 B．该蜜柚是合格品的概率为 C．若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D．若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 三、填空题 12．（24-25高二下·河北·期末）已知随机变量，，且，，则 ． 13．通勤时间是指单日内某人从居住地到工作地的用时.数学曾老师经过若干个月的统计发现，其通勤时间（单位：分钟）服从正态分布.设，.曾老师某天7点10分出门，如果学校要求在8点前到达，那么曾老师当天迟到的概率约为 .（结果精确到0.1%.参考数据：，，.） 14．（25-26高二上·全国·单元测试）某省为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省各市本次模拟考试数学成绩都近似服从正态分布．在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量为本次考试数学成绩在之外的人数，则约为 ．若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生的数学成绩为114分，则估计学生的数学成绩在甲市的大致名次为第 名． 参考数据：，．若，有，，． 四、解答题 15．设，且总体密度曲线的函数表达式为，. (1)求； (2)求及的值. 16．（24-25高二下·山东·阶段练习）为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. (1)若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. (2)参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 17．某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图． (1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的年平均收入又（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示） (2)由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于17.56千元的人数最有可能是多少？ ②在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？ 附：；若，则，，． 18．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； (2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 19．（24-25高二下·海南海口·期中）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $