第十九章 二次根式（单元自测卷）八年级数学新教材人教版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第十九章二次根式单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、单选题（共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B c B C D A C D E 二、填空题（共18分） 11.> 12.3 13.2 14.-3a 15.56-7/214-7 16.4050 三、解答题（共72分） 16.(8分) 2025 2025N2026+1 2025V2026+1 【详解】解：m= V2026-1 (N2026-1XW2026+1 2026-1 =V2026+1, ·m-1=V2026, (m-1)2=2026, 整理得m2=2025+2m, .m3-m2-2027m+2025 =m(2025+2m)-(2025+2m)-2027m+2025 =2m2+2025m-2025-2m-2027m+2025 =2m2-4m =2(2025+2m)-4m =4050, 故答案为：4050· 17.(8分) 【详解】1)解：(V6-5)(V6+V5)+(25-32)2 =(6-5)+（12-126+18 =6-5+12-12y6+18 1/5 s/t 9水- +坠X+= 9+,(9q8 水-+卧 9+卧e一 q 越【揭料】 (98)0z 8T=8-9T=T×8-市=qe8-z(q+e)=29+qe-ze: ·T=qE‘市=q+E散(I)甲耩() b=b×T=（q+e)qe=29e+qze: I=8-市=（外+z)×(-)=qe市=+忆+-？=9+m +2=牛-9‘g-2=华-e‘霸粥携（①【排梨】 (G8)61 -= 等×g8-= （器)÷(9-)×= 卧8÷(9ε号-)×9是：携() 2-2-= 9-2-8= (?-)-2+2-T= (z孙+小)（小-小）-（小-)耩(D【揭】 (98)8I 0= 孙+-孙= +-孙÷年×师= (8-)-8÷导×？：越() :92T-T8= 邈系一每拼丁 山03·yXXZ·MMM 举于·@锉右型 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =a-aD,（G-26)月 a-b a-26 =va -b+va-2b =2Va-36, 当a=寺，b=言时， 原式=2W停-3V扇 -9-9 9 21.(8分) 【详解】(1)解：由题意可得：mV5=10, m=8=95=25 5 (2)解：由题可得：（V7+1)(2a-1)=6, :V14a-V万+V2a-1=6, :(4+V2)a=7+万， 7+7 :.a=4+ -要-兵. (W14+W2W14-V2) a=吗。 22.（10分) 【详解】(1)解：正方形AEFG的边长为V147=7V3(cm), 故答案为：75； (2)解：AD=7V3-V5=63(cm), AB=7V5-6V5=V3(cm), 6W3×V5=18(cm2) 故长方形木板ABCD的面积为18cm2; 3/5 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：65÷3=2V5, 因为3<2W3<4,1<3<2, 所以最多能截出3根这样的木条。 23.（10分) 【详解】解：(1)①V4+言=5V层 故答案为：4+言=5V层. ②a+=(+1)V 故答案为：Vh+南=(a+1) (2)证阴：等式左边=V要=V件2=口+1小V周 +2 又n+1>0, n+1V=(n+1)N=右边， ·等式成立 (3)原式=20240×V3×2025 =20245 24.(12分) 【】)7六防品-雨- 万-6 -万-6， ②3-2V5=1-22+2=12-25+(2)=(1-2)3, (2)解：：+1+石(n为正整数) +1-G (XVn+i-Vn) +1- +1-n =a+1-a, 1 2++5柜+4+5+…+2025202网 =V2-1+§-2+4-V5+…+V2025-V2024 4/5 sis T一= 子= 何并女+并g 病前+南诗 (2A+60X(4-6)(4X(-)(AS)(+-) 少+6卧 +小 + T+SA -尘尘+-唑= 尘_+ H_-+-_eeY_ 6+水-_」 4++-+-- 9-k+_的-：携() ,b币= I-Si= T-Sz0孙= 邈系一母拼丁 山03'为XXZ'MMM 卷举丁·四楗右型 第十九章 二次根式 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（3分）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 2．（3分）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式． 【详解】解：根据最简二次根式的定义分析各根式： ①：​，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意； ②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意； ③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意； ④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意． 综上，是最简二次根式的有②③，共个． 故选：B． 3．（3分）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 4．（3分）使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 5．（3分）下列化简中正确的有（   ） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；逐一验证每个化简是否正确，注意平方根的非负性和绝对值性质，然后问题可求解． 【详解】解：①∵，∴正确； ②∵ ，∴正确； ③∵，∴，∴错误； ④∵，∴，∴正确； 综上，①、②、④正确，共3个； 故选C． 6．（3分）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 7．（3分）若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 8．（3分）估计的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】考查了无理数的估算． 先将原表达式化为，然后通过估计的范围来确定该表达式的取值范围． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 因此，值在4到5之间． 故选：C． 9．（3分）如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查二次根式以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． 先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、,再利用平方差公式计算． 【详解】解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； 根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 故选：D． 10．（3分）对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 二、填空题（共18分） 11．（3分）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】主要考查了实数比较大小，熟练掌握“作差法”比较大小是解题的关键．利用作差法得到，再比较出即可得到答案． 【详解】 ，， ， ， 故答案为：． 12．（3分）已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】考查了同类二次根式和最简二次根式的概念，解题关键是明确“只有同类二次根式才能合并”，从而确定被开方数相等，建立方程求解． 先将化为最简二次根式，根据同类二次根式才能合并，可知与​的最简形式是同类二次根式，进而建立等式求解． 【详解】解：． ∵最简二次根式能与另一个二次根式合并得到， ∴​是的同类二次根式，且是最简二次根式，因此有： ． 故答案为：． 13．（3分）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】考查了二次根式的非负性，二次根式的性质，非负数的性质，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键． 将方程整理成完全平方形式，利用非负数的性质求出和的值，然后代入，进行求值即可． 【详解】解：由 ， 移项得 ， 即 ． ， ， ， ， 解得 ，． 则 ． 故答案为：． 14．（3分）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 【答案】 【分析】分析,的取值范围，进而根据二次根式的性质以及绝对值的性质判断即可． 考查的是实数与数轴的关系，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】解：由数轴可知，, 则,,, 故答案为：． 15．（3分）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可． 先计算半周长，再代入公式求面积S，最后估算的整数部分并求小数部分． 【详解】解： 由题意，， ， 由于， 所以S的整数部分为，小数部分或． 故答案为：或． 16．（3分）若，则 ． 【答案】 【分析】考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到，整理得，最后代入已知条件计算得出结果。 【详解】解：， ∴， ∴， 整理得， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】考查二次根式的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式，完全平方公式进行计算，再计算加减即可； （2）先将各二次根式化简，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】考查了二次根式的混合运算； （1）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 19．（8分）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 20．（8分）先化简，后求值：，其中． 【答案】 【分析】考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值是解题的关键． 把原式化简，分母有理化得，通分化简后，把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 21．（8分）若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； （2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； 考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴． （2）解：由题可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（10分）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________________；（填最简二次根式） (2)求长方形木板的面积； (3)木工乙想从长方形木板中截出长为，宽为的长方形木条，求最多能截出几根这样的木条． 【答案】(1) (2)长方形木板的面积为 (3)最多能截出3根这样的木条． 【分析】考查二次根式的应用，无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）正方形的边长等于面积的算术平方根； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，相乘即可； （3）比较矩形的长与木条的长之间的数量关系，矩形的宽与木条的宽之间的数量关系，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：， ， 故长方形木板的面积为； （3）解：， 因为，， 所以最多能截出3根这样的木条． 23．（10分）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 24．（12分）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． (2)应用：求的值． (3)拓展：直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】主要考查了分母有理化，化简二次根式，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可； （3）仿照题意把式子式子中的每一项的分母先化简二次根式，再把对应项分母有理化即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵（n为正整数） ， ∴ ． （3）解： ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（3分）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（3分）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 4．（3分）使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（3分）下列化简中正确的有（   ） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（3分）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 7．（3分）若，则（） A． B． C． D． 8．（3分）估计的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 9．（3分）如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（   ） A． B． C． D． 10．（3分）对于正整数，定义，例如：．则的值为( ) A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（3分）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 12．（3分）已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ． 13．（3分）已知，则的值为 ． 14．（3分）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 15．（3分）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 16．（3分）若，则 ． 三、解答题（共72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）计算： (1)； (2) 19．（8分）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 20．（8分）先化简，后求值：，其中． 21．（8分）若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 22．（10分）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________________；（填最简二次根式） (2)求长方形木板的面积； (3)木工乙想从长方形木板中截出长为，宽为的长方形木条，求最多能截出几根这样的木条． 23．（10分）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 24．（12分）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． (2)应用：求的值． (3)拓展：直接写出的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $