第06讲 勾股定理常见几何模型（2个知识点+6个题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材人教版

第06讲 勾股定理常见几何模型 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位提升 练题型·强知识：6大核心题型精准练 第二步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 勾股定理与最短路径模型】 1.圆柱体中的最短路径模型 已知条件： 圆柱底面圆周长为c ，高为h ，求圆柱表面从点A到点B的最短路径长度。 解题步骤： ① 展：将圆柱侧面展开为矩形，矩形的长为 c ，宽为 h ； ②连：连接展开图中 A 、 B 两点，该线段为最短路径； ③算：由勾股定理得最短路径长。 2.圆柱体中的最短路径结合将军饮马模型： 已知条件： 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为 解题步骤： 如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 3.长方体中的最短路径模型 已知条件： 如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 求蚂蚁爬行的最短路程。 解题步骤： 如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为。 【知识点2 勾股定理与折叠模型】 ‌折叠构造直角三角形模型‌：将直角三角形沿着某条线段进行折叠，得到另外一个直角三角形。通过设未知数，表示出折叠后三角形的三边长，再利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。例如，在直角三角形纸片中，两直角边分别为一定长度，将其中一条直角边沿某直线对折使其落在斜边上，可据此设未知数求解相关线段长度。 已知条件： 如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2）．若，求的长为． 解题步骤： ，，， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ，即，， 折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是，，， ，，， ， ，即，． ‌折叠长方形中的三角形模型‌：长方形本身有直角，折叠后会产生新的直角三角形。一般先根据长方形的边长及折叠的性质找出相等的线段，然后设未知数表示出折叠后直角三角形的各边，最后运用勾股定理建立方程求解。比如将长方形纸片一边折叠，点落在对边某处，求相关线段长度。 已知条件： 如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 解题步骤： （1）解：根据折叠的性质，得．∵四边形是长方形，∴． 设，则， 在Rt中， ，∴，解得，∴． （2）解：∵四边形是长方形，∴． 根据折叠的性质，得． 又∵，∴． ∵交于点，∴，∴，∴． 设，则． 在Rt中， ，∴，解得， ∴．∴，∴． （3）解：∵四边形是长方形，∴． 由折叠的性质，得，∴． 又∵，∴，∴，∴． 又∵，设，则， ∴． 在Rt中，， 解得，∴． 【题型1 勾股定理与圆柱体中的最短路径问题】 【例1】如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒下底面的点A处有一只蚂蚁，想沿盒壁外部爬行吃到盒外部正对面中部点B处的食物．若蚂蚁爬行的速度为．那么它至少需要 秒． 【变式1-1】如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为 ． 【变式1-2】如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手，旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上，若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，则旋梯的扶手长度l的最小值为 （本题中）． 【变式1-3】如图，在底面周长约为6米的华表柱上，有一条雕龙从柱底点A处沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方点C处，华表柱上刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在华表柱上的巨龙至少为 米． 【变式1-4】如图，一圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【题型2 勾股定理与长方体中的最短路径问题】 【例2】如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【变式2-1】如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【变式2-3】如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【题型3 勾股定理与几何最值问题】 【例3】如图，等边三角形内有一点，，，，点、在、上，且，则的最小值是 ． 【变式3-1】如图，在中，，，，点D为边上任意一点（不与点B重合），在上方作等边，F为中点，连结，则的最小值为 ． 【变式3-2】如图，在中，，，，、分别是、边上的动点，连接、，则的最小值是 ． 【变式3-3】如图，在中，，，，点和点分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ；的最小值为 ． 【题型4 勾股定理与三角形的翻折问题】 【例4】如图，在中，，，，，是边上一点，将沿所在直线翻折得到交于当时，则的长为 【变式4-1】如图，在中，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为 ． 【变式4-2】如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为 ． 【变式4-3】有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【题型5 勾股定理与矩形的翻折问题】 【例5】如图，在长方形中，，在上任取一点，连接，取的中点，连接，将沿折叠，当点恰好落在边上的点处时，则的长为 ． 【变式5-1】如图，长方形中，，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【变式5-2】已知，且，把和拼成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若，．    (1)求的长； (2)将沿折叠，点B落在点F处，延长与相交于点G，求的长． 【变式5-3】在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)如图1，当点E在边上时，求的长度． (2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长． (3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长． 【题型6 勾股定理与全等构造】 【例6】如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【变式6-1】如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【变式6-2】如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． (1)线段与线段的数量关系为：______． (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 【变式6-3】在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 1．如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 2．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（取） 3．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 4．如图，在中，，，点分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使A点落在边上的处，，则的长度为 ：的长度为 ． 5．如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为 ． 6．如图，中，，，，点分别在边上运动，且，连接，则的最小值为 ． 7．如图，为等腰底边上的高，，，分别是线段上的动点，且，则取最小值时，其最小值为 ． 8．如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证： ． 9．已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 10．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 勾股定理常见几何模型 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位提升 练题型·强知识：6大核心题型精准练 第二步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 勾股定理与最短路径模型】 1.圆柱体中的最短路径模型 已知条件： 圆柱底面圆周长为c ，高为h ，求圆柱表面从点A到点B的最短路径长度。 解题步骤： ① 展：将圆柱侧面展开为矩形，矩形的长为 c ，宽为 h ； ②连：连接展开图中 A 、 B 两点，该线段为最短路径； ③算：由勾股定理得最短路径长。 2.圆柱体中的最短路径结合将军饮马模型： 已知条件： 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为 解题步骤： 如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 3.长方体中的最短路径模型 已知条件： 如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 求蚂蚁爬行的最短路程。 解题步骤： 如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为。 【知识点2 勾股定理与折叠模型】 ‌折叠构造直角三角形模型‌：将直角三角形沿着某条线段进行折叠，得到另外一个直角三角形。通过设未知数，表示出折叠后三角形的三边长，再利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。例如，在直角三角形纸片中，两直角边分别为一定长度，将其中一条直角边沿某直线对折使其落在斜边上，可据此设未知数求解相关线段长度。 已知条件： 如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2）．若，求的长为． 解题步骤： ，，， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ，即，， 折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是，，， ，，， ， ，即，． ‌折叠长方形中的三角形模型‌：长方形本身有直角，折叠后会产生新的直角三角形。一般先根据长方形的边长及折叠的性质找出相等的线段，然后设未知数表示出折叠后直角三角形的各边，最后运用勾股定理建立方程求解。比如将长方形纸片一边折叠，点落在对边某处，求相关线段长度。 已知条件： 如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 解题步骤： （1）解：根据折叠的性质，得．∵四边形是长方形，∴． 设，则， 在Rt中， ，∴，解得，∴． （2）解：∵四边形是长方形，∴． 根据折叠的性质，得． 又∵，∴． ∵交于点，∴，∴，∴． 设，则． 在Rt中， ，∴，解得， ∴．∴，∴． （3）解：∵四边形是长方形，∴． 由折叠的性质，得，∴． 又∵，∴，∴，∴． 又∵，设，则， ∴． 在Rt中，， 解得，∴． 【题型1 勾股定理与圆柱体中的最短路径问题】 【例1】如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒下底面的点A处有一只蚂蚁，想沿盒壁外部爬行吃到盒外部正对面中部点B处的食物．若蚂蚁爬行的速度为．那么它至少需要 秒． 【答案】 【分析】按不同的展开方式，分类讨论：第一种情况：蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达B点，利用勾股定理即可求解；第二种情况：蚂蚁由A点经过底面圆直达B点，此时爬行的距离为加上底面圆的直径；最后比较两种方式所用的时间即可求解． 本题考查了圆柱体中的最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”．解答此题时，熟练掌握勾股定理，圆周长公式，注意分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： 第一种情况，蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接从A点到达B点， 设圆柱侧面展开图中的为高，为底面周长， 此时：将圆柱体的侧面展开，连接，即为最短路径，如图， 根据题意有：， ∵为底面圆周长的一半， ∴， ∵B点为中点， ∴， 在中，（）， ∵蚂蚁的速度为， ∴蚂蚁需要的时间为：（s）， 即此时蚂蚁需要； 第二种情况：蚂蚁由A点经过底面圆直达B点， 连接，可知为底面圆的直径，圆柱体展开如图， ∵底面圆的周长为24， ∴底面圆的直径， ∵， ∴此时蚂蚁行走的距离为（）， ∴此时蚂蚁需要的时间为：（s）， ∵， ∴蚂蚁需要的最短时间为：， 故答案为：． 【变式1-1】如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，化曲面为平面，正确画出图形是解题关键﹒根据题意画出图形，得到，，先求出，，根据勾股定理即可求出小虫爬行的最短路程为﹒ 【详解】解：如图，由题意得，， ∵点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程为﹒ 故答案为： 【变式1-2】如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手，旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上，若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，则旋梯的扶手长度l的最小值为 （本题中）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平移的性质，如图1所示，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，其中为平台，将向左平移使得点C与点B重合，此时点E与点重合，如图2所示，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时l有最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，其中为平台， 将向左平移使得点C与点B重合，此时点E与点重合，如图2所示， 由平移的性质可得，则 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时l有最小值， ∵油罐底面圆直径约为，高为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴旋梯的扶手长度的最小值为， 故答案为：． 【变式1-3】如图，在底面周长约为6米的华表柱上，有一条雕龙从柱底点A处沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方点C处，华表柱上刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在华表柱上的巨龙至少为 米． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在华表柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在华表柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：20． 【变式1-4】如图，一圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆柱的最短路径问题，运用侧面展开与勾股定理思想，关键是将圆柱侧面展开为长方形，利用对称点转化为线段最短问题，易错点是展开后对应线段的长度计算错误； 思路是将圆柱侧面沿母线展开为长方形，作点关于展开图上边的对称点，连接对称点与，利用勾股定理计算这条线段的长度（即最短路程）． 【详解】 解：如图，将玻璃杯的侧面展开一半，作点关于直线的对称点，连接，则的长即为蚂蚁从玻璃杯外壁处到玻璃杯内壁处的最短路程．过点作交的延长线于点． 由题意，知（），（）． 在中，由勾股定理得（），所以蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为． 故选A． 【题型2 勾股定理与长方体中的最短路径问题】 【例2】如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】/25厘米 【分析】分情况讨论：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形；②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形；③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形；画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：①如图1，把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，连接， ∵长方体的宽为，高为，点离点 ， ∴，， 在中，由勾股定理得，； ②如图2，把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，连接， ∵长方体的宽为，高为，点离点 ， ∴，， 在中，由勾股定理得，； ③如图3，把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形， ∵长方体的宽为，高为，点离点 ， ∴， 在中，由勾股定理得，； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是， 故答案为：． 【变式2-1】如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，长方体侧面展开图，两点之间，线段最短等知识．根据题意画出长方体侧面展开图，作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，得到彩条最短长度为．根据勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图， 长方形为长方体侧面展开图，则，， 作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，， ∴彩条最短长度为， 在中，． 故选：C． 【变式2-2】如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可． 【详解】解：将长方体的两个面展开，连接． 分三种情况： ①如图①，； ②如图②，； ③如图③，． ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 【变式2-3】如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 【题型3 勾股定理与几何最值问题】 【例3】如图，等边三角形内有一点，，，，点、在、上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点C作的垂线，在垂线上取点G，使得，结合题干条件证明，得到，则．当D、F、G三点共线时，取到最小值，用勾股定理算出即可． 【详解】解：如图，过点C作的垂线，在垂线上取点G，使得，连接、， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当D、F、G三点共线时，取到最小值，即最小， 在直角中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式3-1】如图，在中，，，，点D为边上任意一点（不与点B重合），在上方作等边，F为中点，连结，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 延长BE至，使，连接，，，根据等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质得出，再由三角形三边关系即可确定当C、F、三点共线时，的值最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长BE至，使，连接，，， 是等边三角形，F是DE的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 当C、F、三点共线时，的值最小， ，，， ，， 在中，， 的最小值为7， 故答案为：． 【变式3-2】如图，在中，，，，、分别是、边上的动点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作，使，连接、，根据平行线的性质求出，，利用证明，根据全等三角形的性质求出，则，根据三角形三边关系求出最小为，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，使，连接、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 在中，， ∴当、、在一条直线上时，最小为， 在中，，，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 即的最小值是， 故答案为：． 【变式3-3】如图，在中，，，，点和点分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ；的最小值为 ． 【答案】 【分析】先作，求出，再根据勾股定理求出，即可求出，接下来作，使，连接，结合“边角边”证明，可得，然后确定的最小值为，下面作，求出，再根据勾股定理求得，进而得出，即的最小值；作点A关于的对称点，连接，再说明是等边三角形，接下来证明，可得，然后证明，可得是等边三角形，最后根据，可得的最小值. 【详解】解：作，交于点K， 在中，， ∴， ∴， 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理，得. 如图所示，作，使，连接， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即. ∵， ∴的最小值为. 过点A作，交于点E， ∵， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴. 所以的最小值为； 作点A关于的对称点，连接， 根据对称可知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 所以的最小值为. 故答案为：；. 【题型4 勾股定理与三角形的翻折问题】 【例4】如图，在中，，，，，是边上一点，将沿所在直线翻折得到交于当时，则的长为 【答案】 【分析】作于H，于M，求出，根据，可得，，然后再证明，得到，求出，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，作于H，于M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到，且， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】如图，在中，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质得，再证是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出，然后由面积法求出，由勾股定理求出，则，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-2】如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当时，如图2，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ． 如图，当时，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为或． 【变式4-3】有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 ； 或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 【题型5 勾股定理与矩形的翻折问题】 【例5】如图，在长方形中，，在上任取一点，连接，取的中点，连接，将沿折叠，当点恰好落在边上的点处时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质；延长与交于点，由长方形得到，再证明，得到，，根据折叠得到，，再根据勾股定理求出，则，再在中，根据，解得，得到，即可根据勾股定理得到，最后根据求解即可． 【详解】解：延长与交于点， ∵在长方形中，， ∴，， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∴，， ∴， 中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】如图，长方形中，，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】2或32 【分析】分两种情况：点在线段上，点在延长线上，然后分别根据折叠的性质和勾股定理得出答案即可． 【详解】解：如图1，当点在线段上时， ∵折叠， ∴， ∴，， ∵， ∴B、、E三点共线， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴； 如图2，当点在延长线上时， ∵折叠， ∴， ∴，， ∵， ∴B、、E三点共线， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴． 综上所述，的长为2或32 故答案为：2或32． 【变式5-2】已知，且，把和拼成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若，．    (1)求的长； (2)将沿折叠，点B落在点F处，延长与相交于点G，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理： （1）由全等三角形的性质得到，，则由勾股定理得到，再证明，则由勾股定理可得； （2）由对折性质可知，，， 设，由勾股定理可得，则，解得，则的长为． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理， ∴； （2）解：由对折性质可知，，， 设， 在和中，由勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得， ∴的长为． 【变式5-3】在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)如图1，当点E在边上时，求的长度． (2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长． (3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)3 (2) (3)4或16 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再由勾股定理可得的长，从而得到的长，然后根据，即可求解； （2）证明，可得，从而得到，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，根据折叠的性质以及等腰三角形的判定可得，再由勾股定理得的长，即可求解；当点Q在延长线上时，由勾股定理得的长，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：； （2）解：由翻折的性质得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即； （3）解：当点Q在线段上时，如图： 由翻折的性质得：， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点Q在延长线上时，如图： 由翻折的性质得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； 综上所述，的长为4或16． 【题型6 勾股定理与全等构造】 【例6】如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)7 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先计算，结合，计算，再求的长； （2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，在上截取，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【变式6-1】如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-2】如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． (1)线段与线段的数量关系为：______． (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据是等腰直角三角形，＝，根据勾股定理，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解； （3）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，， ∴， ∴ 故答案为：． （2）和都是等腰直角三角形，，， ，，， ， 连接，如图所示： 在和中，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作于，如图所示： ，，， ， ， 点是的中点， ， 是等腰直角三角形，，， ， ， ． 【变式6-3】在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）点、在直线上，，共有三种情况，分别画图，同理（2）可得与其他线段的平方关系，再利用方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，，， ∴，， 设， ①当点、都在边上，如图2， 则，， 由（2）可得：， ∴， 解得：， ②当点在边上，点在左侧时，如图3： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， ②当点在边上，点在右侧时，如图4： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， 综上所述：或或. 1．如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 分两种情形展开，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：①沿展开，如图所示， 在中，，，， ∴； ②沿展开，如图所示： 在中，，，， ∴， ∵， ∴最短路线长是， 故选：D． 2．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（取） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，先求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴它至少要走的路程， 故答案为：． 3．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，分当时，当时两种情况画出对应的图形，讨论求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，则， 由折益的性质可得， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 4．如图，在中，，，点分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使A点落在边上的处，，则的长度为 ：的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理；掌握相关知识和作出适当的辅助线是解题的关键．根据题意设，再由勾股定理列方程，可求出，作，垂足为，可得为等腰直角三角形，再根据翻折设，，，可得，求出，根据勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解： ，， ， 将沿着翻折，使A点落在边上的处， ，设，， ， ， 即， 解得， ， 如图，作，垂足为， ，，， ，， ， ， 即， ，， 设，，， ， 解得， ， ，，， ， ， 根据折叠可得， ． 故答案为：，． 5．如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用、翻折的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据翻折的性质可得，，，再根据勾股定理可得，连接，设，根据勾股定理可求出，最后在中运用勾股定理可列出方程求解即可． 【详解】解：∵纸片是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接，如下图： 设， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴ ， 故答案为：． 6．如图，中，，，，点分别在边上运动，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的性质，勾股定理，理解两点之间线段最短，过点作，使，连接，，证明和全等得，则，根据“两点之间线段最短”得当点，，在同一条直线上时，为最小，最小值为线段的长，则的最小值为线段的长，利用勾股定理求出，再证明，然后由勾股定理求出即可得出答案．熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 【详解】解：过点作，使，连接，，如图所示： ， 在和中， ， ， ， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点，，在同一条直线上时，为最小，最小值为线段的长， 的最小值为线段的长， 中，，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 即， 是直角三角形， 由勾股定理得：， 的最小值为． 故答案为：． 7．如图，为等腰底边上的高，，，分别是线段上的动点，且，则取最小值时，其最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理．作且使得，连接、、，先证，可以得到，再根据图形，可知的最小值就是线段的长，由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：作且使得，连接、、， ∵，点为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， 又， 在和中 ， ， ， ， ∵当点、、三点共线时，最小，此时最小值为 , ． 故答案为：． 8．如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）在中，由勾股定理得：，根据等面积法即可求解； （2）根据题意得出，进而根据，，得出 （3）延长至点，使，连结，证明，，得出，根据，即可得出 ． 【详解】（1）在中，，，， 由勾股定理得： ， ，， ， 即 ， 解得： ； （2）证明：点是的中点， ， ， ， ，， ； （3）证明：延长至点，使，连结， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)2或8 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， ， ， ， ， ∴重叠部分（阴影）的面积； （3）解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，，， ， ， ，即：，解得：； 当点D在线段上时， ∵将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为2或8． 10．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明，得出即可求解； （2）根据（1）的结论，推出，根据勾股定理结合等腰直角三角形的性质即可得出结论； （3）设，则，利用勾股定理列式进行求解即可． 【详解】（1）解：与都是等腰直角三角形， ， ， ， ． ． ； （2）证明：， ， 即． ， 在中，， ，即； （3）解：设，则， ，即， 解得． ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $