精品解析：上海市宜川中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题

宜川中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考 2025.11 一、填空题 1. 已知等比数列首项，公比，则__________． 【答案】31 【解析】 【分析】按照等比数列前项和公式计算即可. 【详解】， 故， 故答案为：31. 2. 复数（其中为虚数单位）的虚部是__________. 【答案】-4 【解析】 【分析】根据复数的乘除法和运算和虚部的概念即可求解. 【详解】 ， 故的虚部为-4. 故答案为：-4. 3. 从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】求出所有的基本事件个数以及符合题意的基本事件个数，利用古典概型求概率即可. 【详解】根据题意，从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数共有， 所抽到两个数的和大于6共有，，，共4种， 所以所抽到的两个数的和大于6的概率为. 故答案为： 4. 已知集合与集合，求集合______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意先解分式不等式将集合化简，然后结合交集的概念即可得解. 【详解】由题意，，所以. 故答案为：. 5. 已知向量，满足，，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算法则以及可得. 【详解】由题意可得，， 得. 故答案为： 6. 已知实数a、b满足，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】由且且a、b异号， 由， 所以， 当且仅当时取等号， 即当或时取等号， 故答案为： 7. ， 恒成立，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再根据函数的性质求，最后代入求的值. 【详解】，令，得，， 由 恒成立，可知，，， 则. 故答案为： 8. 的展开式中的系数为______________． 【答案】24 【解析】 【分析】的展开式中来自于三类:①中的二次项与的常数项的乘积;②中的常数项与的二次项的乘积;③中的一次项与的一次项的乘积. 【详解】展开式中项为， ∴的系数为24． 故答案为:24 9. 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而求作出平面与平面的交线，进而得出平面分正方体为两部分，再利用棱台的体积公式即可求出结果. 【详解】取的中点，连，因为平面，故平行于平面与面的交线，又分别为的中点，易知，即平面平面，故平面分正方体为两部分， 设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，， 故, 故答案为：. 10. 已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的位置关系分析可得. 【详解】 如图：与轴焦点为， 当点在圆外， 则表示的两条射线与圆相切与相切时恰有两个公共点， 联立得， 由， 得， 因，所以， 故， 当点在圆上， 如图，此时与有3个或1个交点不符合题意， 当点在圆内， 如图，此时与有2个交点符合题意， 此时，， 得 综上的取值范围为：. 故答案为：. 11. 已知函数，是定义在R上的奇函数，且满足，当时，．则当时，方程实根的个数为_______． 【答案】506 【解析】 【分析】转化为两个函数图像交点个数问题，然后作图结合周期性可得. 【详解】因为，所以的图像关于对称 又是定义在R上的奇函数，图像关于原点对称， 所以是周期为8的周期函数 分别作出在上的图像，共2个交点； 又刚好为的252个周期，易知在每个周期内有两个交点， 在上共有504个交点， 综上，共有506个交点，即方程实根的个数为506. 故答案为：506 12. 已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为______. 【答案】-3 【解析】 【分析】先数形结合得出到OA距离为1，再建立坐标系，利用三角形内角和关系转化为求的最大值，利用坐标转化为求函数最值问题，利用求导找出函数的单调性，结合单调性可得函数的最值，进一步得到答案. 【详解】设, 由的最小值为1（为实数）， 到OA距离为1， 如图建立坐标系，， ，， ， ， 令 ， 令，得， 单调递减； 单调递增； 单调递减； 单调递增； ， ， ，即最大值为 故答案为： 【点睛】思路点睛：建立坐标系，在图形中找到角度的关系，转化为求的最大值，再转化为求函数最值问题，结合导数求证函数的单调性，即可分析函数的最值. 二、单选题 13. 以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（ ） A. 90 B. 89 C. 88 D. 88.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】从小到大排序这10个数据为72，78，80，81，83，86，88，90，91，92， 因为，所以这10个成绩的第75百分位数是第8个数90. 故选：A. 14. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质化简，即可根据集合间的关系判断. 【详解】由可得，由可得， 由于， 因此“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 15. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ） A. 有极小值点，没有极大值点 B. 有极大值点，没有极小值点 C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案. 【详解】由题设，，则， 又直线与曲线相切于两点且横坐标为且， 所以的两个零点为，由图知：存在使， 综上，有三个不同零点， 由图：上，上，上，上， 所以在上递减，上递增，上递减，上递增. 故至少有两个极小值点和一个极大值点. 故选：C. 16. 豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果. 【详解】空间中，在垂直于平面的角度看，如下图所示： 其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱； ，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为； 区域内的几何体是高为的直三棱柱. 因为四边形和为矩形，则， 可得， 同理可得：，， 所以， 可得，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为的球， 则，，区域内的几何体的体积之和； 又因为，和区域内的几何体的体积之和； 区域内的直三棱柱体积， 所以的体积为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查立体几何中的体积问题，解题关键是能够根据的形状，进而由对应几何体的体积公式求得结果. 三、解答题 17. 已知向量. （1）若，求； （2）记，若对于任意恒成立，求的最小值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，利用数量积公式求出答案； （2）利用三角恒等变换化简得到，整体法求出时，的最值，从而得到，求出的取值范围，得到答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 . 因为，所以，所以. 当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值1. 因为恒成立， 且 所以，故的最小值为. 18. 我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图. （1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数； （2）经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示） 【答案】（1）44.5 （2） 【解析】 【分析】（1）求出指数，再根据百分位数的求法即可； （2）利用组合公式结合古典概型即可得到答案. 【小问1详解】 由条件得，指数， 则这50人年龄的第60百分位数是将他们的年龄按从小到大的顺序排列后的第30人与第31人的年龄平均值， 由茎叶图可知，第30人的年龄为44，第31人的年龄为45， 则所求的第60百分位数是44.5. 【小问2详解】 由茎叶图可知，年龄在的被调查者共9人，其中6名男性，3名女性， 令为至少有三人投赞成票，依题意得， 被选中的4人中有两名女性一名男性投赞成票的概率是 被选中的4人中有一名女性两名男性投赞成票的概率是， 被选中的4人中有两名女性两名男性投赞成票的概率是， 则被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率为. 19. 如图所示，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面的中心，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 因为是正方形，所以， 因为底面， 所以，又，,在平面内， 所以平面,在平面内， 所以 ， 由底面， 可得， 所以，即有， 因为，所以， 和在平面内，且， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明直线垂直于平面，需要在平面内找到两条相交直线与直线垂直； （2）可以用综合法，利用等体积法求点到平面距离，也可以直接用空间向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1：设点到平面的距离为， 由题可知,,. 所以． 得直线与平面所成角的正弦值. 方法2：（建系） 以为原点，射线为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 可得 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 直线与平面所成角的正弦值等于向量与平面法向量的夹角余弦值的绝对值：. 20. 已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，求证：； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） 由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ， 所以，即得证. （3） 由(2)可知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 【解析】 【分析】(1)利用双曲线的渐近线方程可设出双曲线的方程，再将点的坐标代入即可求解； (2)要证，只需证即可； (3)构造直角三角形，利用锐角三角函数即可求出定值. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 则， 所以双曲线的方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． （1）试问函数是否为函数的“导控函数”？ （2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； （3）若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【答案】（1）是 （2） （3）证明：充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数， 因为函数为偶函数，所以， 则，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“导控函数”， 因此， 又， 因此函数是函数的“导控函数”， 所以，即恒成立， 用代换有， 综上可知，记， 则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 【解析】 【分析】（1）根据“导控函数”得定义求解即可； （2）由题意可得，再根据“导控点”的定义可得，求出，进而可求出，进而可得出答案； （3）根据“导控函数”的定义结合充分条件和必要条件的定义求证即可. 【小问1详解】 由，得，由，得， 因为，所以函数是函数的“导控函数”； 【小问2详解】 由，得， 由，得， 由，得， 由题意可得恒成立， 令，解得， 故，从而有，所以， 又恒成立，即恒成立， 所以，所以， 故且“导控点”为 ； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：理解“导控函数”和“导控点”的定义是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜川中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考 2025.11 一、填空题 1. 已知等比数列首项，公比，则__________． 2. 复数（其中为虚数单位）的虚部是__________. 3. 从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）． 4. 已知集合与集合，求集合______ 5. 已知向量，满足，，，则_____ 6. 已知实数a、b满足，则的最小值为____________． 7. ， 恒成立，则 ______． 8. 的展开式中的系数为______________． 9. 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______ 10. 已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________. 11. 已知函数，是定义在R上的奇函数，且满足，当时，．则当时，方程实根的个数为_______． 12. 已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为______. 二、单选题 13. 以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（ ） A. 90 B. 89 C. 88 D. 88.5 14. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ） A. 有极小值点，没有极大值点 B. 有极大值点，没有极小值点 C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点 16. 豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知向量. （1）若，求； （2）记，若对于任意恒成立，求的最小值. 18. 我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图. （1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数； （2）经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示） 19. 如图所示，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面的中心，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，求证：； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. 若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”． （1）试问函数是否为函数的“导控函数”？ （2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”； （3）若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $