第01讲 三角形内角和（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦三角形内角和定理及外角性质，从定理证明（剪拼、作辅助线）到基础应用（求角度、判形状），再到与平行线、角平分线、折叠等综合问题，构建递进式学习支架。 资料融合几何直观（剪拼实验）、推理能力（综合题推导）与生活实例（侧压动作抽象），典例变式结合。课中助教师分层教学，课后练习题覆盖不同难度，助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第01讲 三角形内角和 考点1：三角形内角和定理/证明 考点2：已知两角求第三角 考点3：三角形外角性质 考点4：内角和+外角性质+平行线/角平分线综合题 重点： （1）内角和定理的直接应用：求角度、判定三角形形状。 （2）外角性质的灵活运用：实现 “角的转化”，简化计算。 难点： （1）作辅助线证明内角和：理解 “作平行线，将分散的角凑成平角” 的思路，辅助线的添加逻辑。 （2）多条件综合角度计算：如结合角平分线 + 高 + 内角和，需层层推导角的关系，易混淆条件。 （3）外角与内角的关系辨析：区分 “相邻内角” 与 “不相邻内角”，避免误用外角性质。 知识点1：三角形内角和 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【题型1 三角形内角和定理的证明】 【典例1】证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点作，根据平行线性质得出，再根据平角的定义以及等量代换即可解答． 【详解】解：求证：． 证明：如图，过点作， ， （两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 【变式1】“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 【变式2】我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 【变式3】小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程进行证明即可． 【详解】解； ， ，． ， ． ， ， ． ， ． 【题型2 与平行线有关的三角形内角和问题】 【典例2】如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【变式1】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2】如图，直线，则的度数是 ． 【答案】39° 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键. 【详解】解：， . 在中, , , , =. 故答案为： ． 【变式3】如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【典例3】如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，结合角平分线求出，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，，分别是的高和角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，高线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟知各性质定理．先根据高线的性质和三角形内角和定理求出和的度数，根据角平分线的性质可求得的度数，从而得解． 【详解】解：是的高，，， ，， 是的角平分线， ， ． 故选：A． 【变式2】如图，中，平分交于点，，垂足为点，，交于点，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质、三角形外角与内角的关系及三角形的内角和定理等知识点是解决本题的关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线得出，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分交于点， ． ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，在中，是高线，，是角平分线，，相交于点O，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据题意易得到，根据角平分线的性质得到，根据进行计算求解即可； （2）根据题意易得到，根据角平分线的性质得到和，根据进行计算求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． 平分，， ， ． （2）解：，， ． ，分别是，的平分线， ，， ． 【题型4 三角形内角和定理的应用】 【典例4】将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角板的角度特征、直角三角形内角和、及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据三角板的角度确定、、的度数，再利用直角三角形内角和求出，结合邻补角的性质得到，最后通过三角形内角和定理计算． 【详解】解：由题意可得，，， ∴ ∴， ∴ 故选：． 【变式1】如图，，若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．根据全等三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题的关键．根据全等三角形的性质，三角形内角和定理可得，再根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：B． 【变式3】在中，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用三角形内角和定理，设未知数列方程求解． 【详解】解：设，则，． 根据三角形内角和定理，得， 解得：， 故， 故答案为：． 【题型5 三角形折叠中的角度问题】 【典例5】将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等． 根据对顶角相等得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用折叠的性质求出，从而可利用三角形内角和定理求出，再利用折叠的性质求得． 【详解】解：∵，将沿翻折后，点A落在边上的点F处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，将直角三角形纸片的角沿折叠，点落到纸片边缘的点处．，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据直角三角形的性质可得，再根据折叠的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴． 【变式3】如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 知识点2：三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【题型6 三角形的外角的定义及性质】 【典例6】随着贵州省教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此求解即可． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1】马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求角度，熟记三角形外角性质是解决问题的关键． 根据题中图②，由是的一个外角，得到，将，代入计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， ，， ， 故选：B． 【变式2】“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 根据平行线的性质得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3】一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，其中一个三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角性质．先根据平行线的性质得出，进而利用三角形的外角性质可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 1．在中， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 利用三角形内角和等于180度计算即可． 【详解】∵在中，，， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，，则的外角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即为三角形的外角性质，据此即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴的外角度数为， 故选：B． 3．如图，在四边形中，点E在上，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理． 根据两直线平行，同位角相等，据此可求出，然后根据三角形内角和进行解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：A． 4．三角形的三个内角之比为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，利用角度比设未知数求出各角，再根据最大角判断三角形类型． 【详解】解：设三个角分别为， 可得， 解得， 所以三个角分别为， ∵ 最大角， ∴ 这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 5．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 6．如图，在中，点在边上，点在边上，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质，掌握外角的性质及计算是关键，根据三角形的外角得到，结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 7．如图，在中，，，是的角平分线，将沿所在直线折叠，得到，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质；由三角形外角的性质得，由折叠的性质即可求解． 【详解】解： ， ， 由折叠得 ， ， 故选：B． 8．在中，是高，是角平分线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180°是解题的关键． 根据三角形的内角和得出，再利用角平分线得出，利用三角形内角和解答即可． 【详解】解：∵是高，， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 9．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义．先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 是的角平分线， ， 故答案为：． 10．如图，点分别在上，若，则的度数为 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解决本题的关键是求解出的度数． 根据三角形内角和为，可求解的度数，再根据，由此可解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： ． 11．如图，在中，，点P在边上，点D在边上，连接，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和为是解题的关键． 根据题意得到，则，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 12．如图， ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题关键． 延长、交于点G，通过三角形外角的性质，将所求的角度之和问题转化成两个三角形的内角和问题． 【详解】解：如图，延长、交于点G，设与交于点H，与交于点I， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵三角形内角和为， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，是边上的高，过点作交于点，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行同位角相等，三角形内角和定理的应用，与三角形的高有关的计算问题等知识点，解题关键是掌握平行线的性质和三角形内角和定理． 先利用两直线平行同位角相等，求得，再根据是边上的高，结合三角形内角和定理求得，从而可利用两角的差求得． 【详解】解：因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以． 14．如图，在中，平分，，垂足为F，交于点E，若，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题主要考查垂线、角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角定理，利用垂线、角平分线的定义得到对应角的关系是解题的关键． 首先根据垂直线、角平分线的性质得到对应角的关系，再通过三角形的内角和定理得出，最后利用三角形外角和定理求出的度数即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 三角形内角和 考点1：三角形内角和定理/证明 考点2：已知两角求第三角 考点3：三角形外角性质 考点4：内角和+外角性质+平行线/角平分线综合题 重点： （1）内角和定理的直接应用：求角度、判定三角形形状。 （2）外角性质的灵活运用：实现 “角的转化”，简化计算。 难点： （1）作辅助线证明内角和：理解 “作平行线，将分散的角凑成平角” 的思路，辅助线的添加逻辑。 （2）多条件综合角度计算：如结合角平分线 + 高 + 内角和，需层层推导角的关系，易混淆条件。 （3）外角与内角的关系辨析：区分 “相邻内角” 与 “不相邻内角”，避免误用外角性质。 知识点1：三角形内角和 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【题型1 三角形内角和定理的证明】 【典例1】证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【变式1】“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【变式3】小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【题型2 与平行线有关的三角形内角和问题】 【典例2】如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线，则的度数是 ． 【变式3】如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【典例3】如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，分别是的高和角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，平分交于点，，垂足为点，，交于点，已知，，求的度数． 【变式3】如图，在中，是高线，，是角平分线，，相交于点O，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【题型4 三角形内角和定理的应用】 【典例4】将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，若，则 ． 【变式2】如图，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】在中，已知，则 ． 【题型5 三角形折叠中的角度问题】 【典例5】将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则的度数是 ． 【变式1】如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，将直角三角形纸片的角沿折叠，点落到纸片边缘的点处．，，求的度数．    【变式3】如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 知识点2：三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【题型6 三角形的外角的定义及性质】 【典例6】随着贵州省教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为 ． 【变式3】一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，其中一个三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．在中， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则的外角度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，点E在上，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．三角形的三个内角之比为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 6．如图，在中，点在边上，点在边上，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，是的角平分线，将沿所在直线折叠，得到，则的大小为（    ） A． B． C． D． 8．在中，是高，是角平分线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ． 10．如图，点分别在上，若，则的度数为 ． 11．如图，在中，，点P在边上，点D在边上，连接，且，则的度数为 ． 12．如图， ． 13．如图，在中，是边上的高，过点作交于点，，，求的度数． 14．如图，在中，平分，，垂足为F，交于点E，若，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $