第7章 幂的运算（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材苏科版七年级下册

第7章 幂的运算（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26七年级下·江苏南通·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知，则的值为（　　） A．6 B．9 C．16 D．27 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，，，则a，b，c的大小关系是  （    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京·期中）若，，用含a，b的式子表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 6．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）对于a、b两数定义的一种运算：（其中等式右边中的和是通常意义下的乘法与加法），则下列结论： 若，，则；若，则；；当a、b互为相反数时，的值总是等于1． 其中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·江苏南京·月考）已知，为实数，，，则（   ） A． B．1 C． D． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数），类似我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如，则，若，那么的结果是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 9．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： ． 10．（2015·江苏泰州·一模）如果，那么的值为 ． 11．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： （为正整数）． 12．（25-26七年级下·江苏·期末）下面是一名学生所做的4道练习题：①；②；③；④，他做对的是 （填序号） 13．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则x的值为 ． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，，则 ． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为 千个；由上述计算可知，若（为正数），则 ． 16．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 三、解答题（本题共10小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（5分）（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 18．（5分）（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，求的值． 19．（5分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）一滴水约为，有一个未拧紧的水龙头每分钟大约漏水50滴水，问：该水龙头一天大约漏水多少立方米？（结果用科学记数法表示） 20．（6分）（24-25七年级下·江苏扬州·期中）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 21．（6分）（24-25七年级下·江苏泰州·月考）观察下列各式： ………………①； ………………②； ………………③； …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：_________； (2)试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； (3)计算． 22．（6分）（24-25七年级下·江苏淮安·期中）请阅读下列材料：，，比较，的大小关系： 解：∵，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C． 幂的乘方    D．积的乘方 (2)已知，，，，试比较，的大小． 23．（8分）（24-25七年级下·江苏南京·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． 类型一：简便计算 （1）______； 类型二：代数式求值 （2）若，，则______； 类型三：解方程 （3）解关于x的方程：． 24．（8分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 25．（9分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 26．（10分）（2024七年级下·全国·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 幂的运算（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26七年级下·江苏南通·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法． 根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知，则的值为（　　） A．6 B．9 C．16 D．27 【答案】B 【分析】本题考查的是幂的运算性质，将转化为底数为3的幂形式，结合幂的运算法则和已知条件求解． 【详解】解：原式可化为： 由，代入得： 因此，． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，，，则a，b，c的大小关系是  （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂运算，零指数幂的运算，熟练掌握幂的运算是解决本题的关键． 分别计算a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故选：A ． 4．（25-26七年级下·北京·期中）若，，用含a，b的式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 利用指数运算的性质，将变形为，再把，代入即可求解． 【详解】∵，， ∴， 故选C． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数： 甲袋：个，乙袋：个，丙袋：个， 一共有个球，且调整后三只袋中球的个数相同， 调整后每只袋中球数为：（个）， ，， ，， ． 故选：C． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）对于a、b两数定义的一种运算：（其中等式右边中的和是通常意义下的乘法与加法），则下列结论： 若，，则；若，则；；当a、b互为相反数时，的值总是等于1． 其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，时，代入运算即可求值，进而可判断①的正误；根据当时，，可判断②的正误；分别运算，然后比较，可判断③的正误；当a、b互为相反数且都为0时，运算可得，无意义进而可判断④的正误 【详解】解：由题意知，，时， ，故①正确； ∵ 当时，，故②不正确； ∵，， ∴，故③正确； 当a、b互为相反数且都为0时，， ∵无意义，任何不为零的数的0次方等于1，故④错误； 故选C． 【点睛】本题考查了新定义运算，负整数指数幂，零指数幂，解题的关键在于熟练掌握新定义的运算法则． 7．（25-26七年级下·江苏南京·月考）已知，为实数，，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，巧妙利用指数运算性质，将乘积关系转化为指数相加，简化计算．通过指数运算，将已知等式转化为合适的指数形式，利用指数求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴， ∴， ∴， ， 故选：B． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数），类似我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如，则，若，那么的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式混合运算，同底数幂的乘法，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握乘方的意义．根据分别求出和，根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 9．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，通过将转化为，并利用积的乘方法则进行化简计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 10．（2015·江苏泰州·一模）如果，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算．由条件可得 ，再将转化为，利用同底数幂乘法法则计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 则， 故答案为：9． 11．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： （为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用． 逆用同底数幂的乘法和积的乘方法则，将原式变形为，然后计算． 【详解】解： ， 由于为正整数，为偶数，故， ∴原式． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·江苏·期末）下面是一名学生所做的4道练习题：①；②；③；④，他做对的是 （填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方计算，零指数幂和负整数指数幂等计算，根据相关计算法则求解判断即可． 【详解】解；①，原式计算正确； ②，原式计算错误； ③，原式计算错误； ④，原式计算正确； ∴他做对的是①④， 故答案为：①④． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则x的值为 ． 【答案】或1或0 【分析】本题考查了零指数幂，乘方，掌握任何非零数的零次方都等于1是解题的关键． 根据乘方结果等于1，分别考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0三种情况． 【详解】解：根据，可分为以下三种情况， ①当底数时，解得，此时指数，即，符合题目要求； ②当底数时，解得，此时指数为偶数，即，符合题目要求； ③当指数时，解得，此时底数，故，符合题目要求； 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用，根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则推出，从而得到，即可求出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为 千个；由上述计算可知，若（为正数），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂乘方运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．前个补给站能量包的总数为，可转化为，即可求解，由可得，即可求出． 【详解】解：前个补给站能量包的总数为 （千个）， （为正数）， ， ， 故答案为：，． 16．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 【答案】 【分析】由题意知，卡片数字为，，，，，，……，则使三数之和最大的三个数为，，，即，使三数之和最小的三个数为，，，即，然后代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，卡片数字为，，，，，，…… ∵三张卡片上的数字乘积为， ∴使三数之和最大的三个数为，，， ∴， ∴使三数之和最小的三个数为，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的加减运算．解题的关键在于确定使三数之和最大的三个数于使三数之和最小的三个数． 三、解答题（本题共10小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（5分）（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方以及同底数幂的除法法则． （1）按照幂的相关运算法则，逐步对式子进行化简计算； （2）同样依据幂的运算法则，分别计算各项后再进行合并运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 18．（5分）（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用， 逆用同底数幂相除法则，及幂的乘方法则可得，再代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴. 19．（5分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）一滴水约为，有一个未拧紧的水龙头每分钟大约漏水50滴水，问：该水龙头一天大约漏水多少立方米？（结果用科学记数法表示） 【答案】答：该水龙头一天大约漏水立方米 【分析】本题考查科学记数法，用一天漏水的滴数乘以一滴水的体积，进行计算即可． 【详解】解：； 答：该水龙头一天大约漏水立方米． 20．（6分）（24-25七年级下·江苏扬州·期中）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）逆用幂的乘方法则、逆用同底数幂的除法法则，，再代入即可； （）把原式化为为底数的幂，再利用同底数幂的乘法，最后根据幂相等且底数相等，则指数相等，即可求解； 【详解】（1）解：，， ； （2）， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查了幂的乘方法则正用与逆用、同底数幂的除法法则的逆用、同底数幂的乘法，掌握这些法则是解题的关键． 21．（6分）（24-25七年级下·江苏泰州·月考）观察下列各式： ………………①； ………………②； ………………③； …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：_________； (2)试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； (3)计算． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，善于思考总结规律是解题的关键． （1）观察题目中的规律可知第五个等式为； （2）根据同底数幂的乘法法则可知，再利用提公因式法即可解答； （3）根据（1）（2）的结论可知化简即可解答． 【详解】（1）解：∵………………①； ………………②； ………………③； …… ∴第个等式是； （2）解： 依题意，第n个等式：， ∴成立； （3）解：由(2)得 ． 22．（6分）（24-25七年级下·江苏淮安·期中）请阅读下列材料：，，比较，的大小关系： 解：∵，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C． 幂的乘方    D．积的乘方 (2)已知，，，，试比较，的大小． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的运算，根据题意所示，先根据幂的乘方的公式得到同指数幂，进而比较大小即可； 【详解】（1）解：由运算郭晨易看出运用的幂的乘方的公式， 故答案选：C （2）解：∵， 且 又， 23．（8分）（24-25七年级下·江苏南京·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． 类型一：简便计算 （1）______； 类型二：代数式求值 （2）若，，则______； 类型三：解方程 （3）解关于x的方程：． 【答案】（1）；（2）14；（3） 【分析】本题考查了幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、积的乘方等，解题的关键是熟练运用这些性质对式子进行变形和计算． （1）利用积的乘方逆运算进行简便计算； （2）先根据同底数幂加法法则对等式左边进行合并，再根据指数相等求出a、b的值； （3），将方程中各项化为同底数幂，然后根据同底数幂的乘除运算法则化简方程，最后求解x． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：14． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 24．（8分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方的逆运算将变形为，再根据题目中的规定即可求解； （2）将变形为，计算出，即可求解； （3）由得，再将变形为即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， 故答案为：． 25．（9分）（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 26．（10分）（2024七年级下·全国·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $