4.3线段的长短 第2课时教案 2025-2026学年 沪科版七年级 数学上册

配套初中数学沪科版 第四章 几何图形初步 4.3线段的长短 第2课时 线段的中点及两点间的距离   一、教学目标 1.了解线段中点及等分点的含义，会进行简单的计算. 2.利用丰富的活动情景，让学生体验到“两点之间线段最短”的性质，并能初步应用. 3.理解两点间的距离的意义. 4.初步应用空间与图形的知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题，体会研究几何图形 的意义.   二、教学重难点 重点：了解线段中点及等分点的含义，理解“两点之间线段最短”的性质及两点间的距离的意义. 难点：与线段中点有关的计算.   三、教学过程 （1） 创设情境 （1） 村里的甲乙两家之间有一块空地，甲和乙准备合力在空地上打一口水井，以供两家共同使用. 水井的选址如何才能公平？ （2）请同学们仔细观察以下四副图片，你们知道是什么原因造成的吗？ 设计意图：从学生熟悉的生活情境入手，让学生体会数学与生活的联系，增强学生学习数学的兴趣. （二）探究新知 任务一：探究线段的等分点 探究：在一张透明的纸上画一条线段AB，折叠纸片，使端点A、B重合，折痕与线段的交点为C，然后展开纸片，你能得到几条线段？用直尺分别量出它们的长度，看看它们有什么关系？ 结论：BCAB或AB2BC 总结：定义：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点. 几何语言表示: （1）∵ C是线段AB的中点， ∴ BCAB. 或AB=2AC=2BC . （2）∵ BCAB， 或AB=2AC=2BC， ∴ C是线段AB的中点. 注：∵表示因为； ∴ 表示所以. 思考：如果用若干个点，把一条线段平均分成三等分，你能写出什么结论？四等分呢？五等分呢？…… 线段的三等分点： 如图，点C，D在线段AB上，如果AC=CD=BD，那么C、D就是AB的三等分点. 几何语言表示: （1）∵ C，D是线段AB的三等分点， ∴ AC=CD=BD= AB. 或AB=3AC=3CD=3BD . （2）∵ AC=CD=BD= AB， 或AB=3AC=3CD=3BD ， ∴ C，D是线段AB的三等分点. 同理还可得出线段的四等分点、五等分点…… 任务二：探究线段的性质 如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你在图上画出最短路线. 预设：连接甲地与乙地之间的线段是最近的路. 总结： 基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短. 简述为：两点之间线段最短. 两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离. 注：两点之间的距离是一个长度，两点之间的线段是图形. 师生活动：学生仔细观察、动手操作、自主探究、合作交流，教师适当引导学生探究线段中点的意义，理解“两点之间线段最短”的基本事实及两点之间的距离. 设计意图：通过学生仔细观察、动手操作、自主探究、合作交流，了解线段中点及等分点的含义，利用丰富的活动情景，让学生体验到“两点之间线段最短”的性质，并能初步应用，初步应用空间与图形的知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义. （三）应用举例 例1：人们修建公路遇到大山阻隔时，常会打一条隧道直穿过去，为什么？ 答：两点之间线段最短. 例2：如图，点A、B在直线l的两侧，在l上找一点P，使得AP+BP最小，并说明理由. 解：连接AB交直线l于点P，则AP+BP最小. 理由是：两点之间线段最短. 例3：有下列说法：①如果AC=BC，那么点C是线段AB的中点；②连接两点的线段叫做这两点间的距离；③两点之间所有连线中，线段最短；④射线比直线小一半；⑤平面内3条直线至少有一个交点．其中正确的有  (    ) A. 1个 B.2 个 C. 3个 D.4 个 分析：本题是基础题，熟记相关概念与性质是解题的关键． 解：①如果AC=BC，点C在线段AB上时，点C是线段AB的中点，故原来的说法错误； ②连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，原来的说法错误； ③两点之间所有连线中，线段最短是正确的； ④射线与直线都是无限长的，无法度量，原来的说法错误； ⑤平面内互相平行的3条直线没有交点，原来的说法错误． 故选A． 例4：已知线段AB=4，延AB至点C，使AC=11．点D是AB的中点，点E是AC的中点，求DE的长． 分析：解决几何问题时，要善于运用数形结合思想，本题没有图形，所以第一步画图很重要. 解: ∵ AB=4，点D为AB的中点， ∴ AB. 又∵ AC=11，点E为AC中点， ∴ AC1. ∴ DE=AEAD=5.52=3.5. 例5：如图，B，C两点把线段MN分成三部分，，P是MN中点，PC=2，求MN的长． 分析：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．根据比例设，，，进一步利用线段中点的意义和线段的和与差列方程解决问题． 解：，是中点， 设，则，． ， ． ， ， 解得． ．  设计意图：通过五个例题的学习，让学生更好地理解“两点之间线段最短”的基本事实，更好地理解线段中点的意义，并会进行简单的计算. （四）课堂练习 1.下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是(    ) A. 用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C. 利用圆规可以比较两条线段的长短关系 D. 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 解：B 2.已知点，，在一条直线上，则下列等式中，一定能判断点是线段的中点的是(    ) A. B. C. D. 解：A ，如图所示： ，点是线段的中点；点在的延长线上时不成立；在的延长线上时不成立；，点在线段上，不能说明点是中点． 3.如图，是的中点，是的中点，则下列等式中正确的是(    ) ；；；． A. B. C. D. 解：C  点是的中点，点是的中点，， ，，故正确；点是的中点，点是的中点，，故错误；点是的中点，点是的中点，，，，故错误；点是的中点，，，故正确. 4.如图，线段，延长线段到点，使，再反向延长到点，使，是的中点，是的中点则的长为          ． 解：  ；是中点，是的中点，，．. 5.已知点在线段上，且把线段分成：两部分，点为线段的中点．若，则的长度为          ． 解：或  如图， 为线段的中点．，，：：，，， 如图， 为线段的中点．，，：：，，，的长度为或． 6.情境一：如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢试用所学数学知识来说明这个问题 情境二：如图，，是河流两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短请在图中表示出抽水站点的位置，并说明你的理由． 解：情境一  横穿草坪是为了所走路程最短因为两点之间的所有连线中，线段最短． 情境二  点的位置如图． 理由：两点之间的所有连线中，线段最短． 7.如图，，点是线段上一动点，，分别是，的中点，能否求出线段的长若能，求出其长若不能，试说明理由． 如图，，点运动到线段的延长线上，其他条件不变，能否求出线段的长若能，求出其长若不能，试说明理由． 你能用一句简洁的话，描述你的发现吗 解：能． 能． 若点在线段所在的直线上，点，分别是，的中点，则． 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用. （五）总结归纳 通过本节课的学习，你有什么收获？ 1. 什么是线段的中点？ 2. 线段有什么性质？ 3. 什么是两点间的距离？ 设计意图：让学生自行总结，活跃课堂气氛，做到全员参与，理清知识脉络，强化重点，培养学生口头表达能力. 学科网（北京）股份有限公司 $