第一章 3 直角三角形-【勤径千里马】2025-2026学年八年级下册数学随堂小练10分钟（北师大版·新教材）

8 随堂小练♪0分钟 八年级数学·北师版·下册 .∴.∠B=36. 这与三角形内角和等于180°矛盾. 5.409010 综上所述，假设①②错误， 6.解：(1).AB=AC,AD平分∠BAC, 所以∠B,∠C只能为锐角： .∴.BD=CD=4,AD⊥BC 故等腰三角形两底角必为锐角 在Rt△ABD中，AD=√AB2-BD2=3, 第3课时等边三角形的判定 ∴.△ABD的周长为AB+BD+AD=5+ 与含30°角的直角三角形的性质 4+3=12. [1分钟知识速记 (2)BD=CD=4,BC=8,∴.△ABC 1.等边三角形等边三角形2.一半 [9分钟目标检测] 的面积=2BC·A0=7×8×3=12. 1.C2.B3.C 7.120 4.∠BCE=∠B(答案不唯一) 8.解：D,E是BC的三等分点，且△ADE 5.证明：CD是AB边的中线， 是等边三角形， ∴.AD=BD .BD DE EC AD =AE,LADE= 将△BCD沿CD折叠，使点B落在点 E的位置， ∠AED=∠DAE=60°， .∴.ED=BD=AD,∠EDC=∠CDB=60°， ∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°， ∴.∠BAD+∠CAE=30°+30°=60. .∠EDA=180°-∠EDC-∠CDB=60°， 第2课时等腰三角形的判定与反证法 .△EAD为等边三角形， ∴.∠EAD=60°=∠CDB,∴.AE∥CD, [1分钟知识速记] 6.D7.9 1.等腰三角形等角对等边2.结论 8.解：购买这种草皮需要150a元， [9分钟目标检测] 3直角三角形 1.A2.C3.30 第1课时直角三角形的性质与判定 4.证明：.AB=DC,BD=CA,AD=DA, [1分钟知识速记] ∴.△ABD≌△DCA,∴.∠ADB=∠DAC, 1.(1)互余(2)直角(3)平方和 .AE=DE,.△AED是等腰三角形 平方(4)平方和平方直角三角形 5.证明：AD⊥BD,∴.∠ADB=90°， [9分钟目标检测] ∴.△ABD是直角三角形 1.D2.A3.30°4.35.24 在Rt△ABD中，∠A+∠ABD=90°， 6.解：(1).·∠B=90°，∠BAC=30°， ∠ADB=∠EDA+∠EDB=90°. BC=1,∴.AC=2BC=2. 又，·∠ABD=∠EDB, (2)CD=2,AC=2,AD=2W2, ∴.∠A=∠EDA,∴.EA=ED, ·.△ADE是等腰三角形 AC2+CD2=8,AD2=8, .AC2 CD2 =AD2 6.A 7.在一个三角形中，如果有两个角相等， .△ACD是直角三角形，∠ACD=90°. 那么这两个角所对的边不相等 AC=2,BC=1, 8.证明：如果不是锐角，可能是直角或 .AB=√AC2-BC=√22-1P=5, 钝角. 假设①等腰三角形ABC的底角∠B, Sa脑m=Saur+Sae=之×1× ∠C都是直角， 则∠B+∠C=180°，则∠A+∠B+∠C 5+7×2x2-+2, =180°+∠A>180° 7.D 这与三角形内角和等于180°矛盾； 8.解：(1)逆命题：三组角分别对应相等的 假设②等腰三角形ABC的底角∠B, 两个三角形全等（假命题）； ∠C都是钝角，则∠B+∠C>180°， (2)逆命题：如果两个数的绝对值相等， 则∠A+∠B+∠C>180°， 那么这两个数相等（假命题）； 8)883 见此图标宁微信扫码轻松做题，稳拿高分。 8< 随堂小练♪0分钟 八年级数学·北师版·下册 (3)逆命题：内错角相等，两直线平行 ∴.DE+EC=AE+DE,∴.EC=AE, (真命题)； ∴.点E在线段AC的垂直平分线上. (4)逆命题：如果两个角相等，那么这两 6.C7.B8.A9.(1,0) 个角都是45°（假命题）. 5角平分线 (3)的原命题和逆命题都是真命题，它 [1分钟知识速记] 们是互逆定理. 1.相等2.相等 第2课时直角三角形全等的判定 3.相交于一点三条边 相等 [1分钟知识速记] [9分钟目标检测] 全等 1.B2.D3.5 [9分钟目标检测] 4.解：DE=8cm. 1.C2.4 5.D6.60° 3.证明：连接BD.,∠BAD=∠BCD= 7.证明：在△BDE和△CDF中， 90°，∴.在Rt△ABD和Rt△CBD中， r∠BED=∠CFD=90°， [BD BD. ∠BDE=∠CDF, AB CB, BD =CD. ∴.Rt△ABDRt△CBD(HL), ∴.△BDE≌△CDF(AAS),.DE=DF. ∴AD=CD 又.CE⊥AB,BF⊥AC, ·AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F, ∴.点D在∠BAC的平分线上 ∴.∠E=∠F=90°. 8.C9.D 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ☆问题解决策略：反思 「AD=CD [1分钟知识速记] AE=CF 1.相等2.相等3.相等 .Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). [9分钟目标检测] 1.D 2.D 3.BM=CM 4.解：BE=CF.理由如下： ∠B=90°，∴.BD1⊥AB. 4.证明：，AB=AC,∴，∠ABC=∠ACB. .·AD是∠BAC的平分线，且DF⊥AC, AD=子4C,AE=号AB, ∴.DB=DF 在Rt△BDE和Rt△FDC中， ∴.AD=AE,∴.DC=EB. 「DE=DC, 在△BCE和△CBD中， EB=DC, DB=DF. ∠ABC=∠ACB, ∴.Rt△BDE≌Rt△FDC(HL), .BC=CB ∴.BE=CF 5.D6.B7.C ·.△BCE≌△CBD(SAS),∴.BD=CE, 专题小练习（一）巧作辅助线解题 4 线段的垂直平分线 [1分钟知识速记 1.解：如答图，延长AP交BC于点E. 1.相等2.相等 3.相交于一点三个顶点相等 [9分钟目标检测] 1.A2.C3.30°4.5 5.证明：AD是BC边上的高， 1题答图 .AD⊥BC. BP平分LABC,.∠ABP=∠EBP 又，·BD=DE,.AD所在的直线是线 ,AP⊥BP,∴.∠APB=∠EPB=90°. 段BE的垂直平分线 在△ABP和△EBP中， ∴.AB=AE,∴.AB+BD=AE+DE, r∠ABP=∠EBP, 又，AB+BD=DC, BP=BP, .DC=AE DE, ∠APB=∠EPB, )89C3 见此图标门微信扫码轻松做题，稳拿高分。----8--- 随堂小练0分钟 八年级数学·北师版·下册 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 01分钟知识速记 1.直角三角形的性质和判定 (1)直角三角形的两个锐角 (2)有两个角互余的三角形是 三角形. (3)勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 (4)如果三角形两边的 等于第三边的 ,那么这个三角 形是 2.互逆命题与互逆定理 定理 原命题 条件 结论 条件 结论 逆命题（真） 逆命题 逆定理 9分钟目标检测 >目标1掌握直角三角形的性质与判定 1.在△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B,则∠A的度数是 A.45 B.30° C.90 D.60° 2.已知△ABC的三边分别为a,b,c,则下列条件中不能判定△ABC是直角 三角形的是 A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.b2=a2-c2 C.a:b:c=1:3:2 D.∠A=∠B-∠C 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=30°，则∠B的度数是 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，且DA=DB=5,如果 △DAB的面积是10，那么DC的长是 4题图 )13g 见此图标微信扫码轻松做题，稳拿高分。 -----8--… 随堂小练0分钟 八年级数学·北师版·下册 5.一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为24cm,则其面积为 6.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC=1,∠BAC=30°，CD=2,AD= 22.求： (1)AC的长度； (2)四边形ABCD的面积， 6题图 >目标2理解互逆命题与互逆定理 7.下列命题的逆命题为假命题的是 A.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 B.两直线平行，同位角相等 C.若一个三角形的三边相等，则它的三个角也相等 D.若c=d,则ac=ad 8.写出下列各命题的逆命题，并判断真假，指出其中的互逆定理。 (1)全等三角形的对应角相等； (2)如果两个数相等，那么它们的绝对值相等； (3)两直线平行，内错角相等； (4)如果两个角都是45°，那么这两个角相等. )14(g 见此图标宁微信扫码轻松做题，稳拿高分。 随堂小练0分钟 八年级数学·北师版·下册 第2课时直角三角形全等的判定 训1分钟知识速记 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 批 9分钟目标检测 >目标1掌握用“HL”判定两直角三角形全等 1.如图，可用“HL”直接判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是() A.AC=A'C',BC=B'C B.∠A=∠A',AB=A'B C.AC=A'C',AB=A'B' D.∠B=∠B',BC=B'C B A- 1题图 2题图 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AE是经过点A的一条直线，且B,C在AE的 两侧，BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,AD=CE=2,BD=6,则DE的长 为 3.如图，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°，D是EF上一点，AE⊥EF于点E, CF⊥EF于点F,AE=CF.求证：Rt△ADE≌Rt△CDF. 3题图 )15(3 见此图标宁微信扫码轻松做题，稳拿高分。 随堂小练0分钟 八年级数学·北师版·下册 4.如图，AD是∠BAC的平分线，且DF⊥AC于点F,∠B=90°，DE=DC.试 求BE与CF的数量关系，并说明理由. Q B D 4题图 >目标2掌握直角三角形全等的综合判定 5.如图，AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF交于点D,则下列 结论中不正确的是 A.△ABE≌△ACF B.点D在∠BAC的平分线上 C.△BDF≌△CDE D.D是BE的中点 5题图 6题图 7题图 6.如图，已知H是△ABC的高AD,BE的交点，且DH=DC,则下列结论： ①BD=AD;②BC=AC:③BH=AC;④CE=CD,其中正确的个数是 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，∠D=∠E=∠ACB=90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立的条 件有 () ①∠ABC=45°；②AD=CE;③AC=2AD;④CD=BE. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8)16Cg 见此图标门微信扫码 轻松做敬题，稳拿高分。