第七章 三角函数（单元测评卷）高一数学人教B版

第七章 三角函数·单元测评卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B A D A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2025 14．3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）解：由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 可得， 2分 所以. 4分 （2）解：由. 6分 8分 （3）解：因为为锐角，且，可得， 将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点， 则点的横坐标为且，所以， 10分 则. 13分 16．【详解】（1），，的最小正周期为； 2分 令，解得， 则的中心对称点为； 5分 （2）当时，是单调递增函数， 由，解得， 8分 即时，是单调递增函数， 故的单调递增区间为； 10分 （3），， 当时，即时，取得最小值， 则取最小值为； 12分 当时，即时，取得最大值， 则取最大值为； 14分 故，即当时，的值域为. 15分 17．【详解】（1）观察图象，得的最小正周期，解得， 1分 由，得，则，而，则， 3分 所以的解析式. 4分 （2）由，得， 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值， 所以在上的值域为. 7分 （3）设，由（2）知，， 依题意，，恒成立， 9分 当，即时，在上递增，，不成立； 10分 当，即时，在上递减，， 解得，因此； 12分 当，即时，， 解得，因此， 14分 所以的取值范围. 15分 18．【详解】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为， 设函数解析式为， 2分 摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以， 4分 由题意可得，， 所以，解得， 6分 当时，，即，可取， 7分 所以， 8分 （2）由（1）知， 当时，， 10分 （3）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则， 经过后，乙距离地面的高度， 12分 点相对于始终落后， 甲距离地面的高度为， 14分 令，， 即，， 由，可得：， 16分 经验证符合， 所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等. 17分 19．【详解】（1）因为该函数在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和， 所以，周期满足，解得. 2分 由函数的图象与轴的交点为， 可得，即. 又，解得或. 4分 当时，. 由，即，得， 当时，，即. 6分 当时，. 此时函数图象在轴右侧第一个最低点的坐标为，第一个最高点坐标是，不合题意. 8分 综上，，. 9分 （2）当时，， 所以，即. 11分 令，则原函数变形为，. 当时，函数不合题意，舍去. 12分 当时，函数在上为严格增函数，原函数值域为， 即解得，； 14分 当时，函数在上为严格减函数，原函数值域为， 即解得，. 16分 综上，，或，. 17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数·单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列角中是第二象限的角是（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A．5 B． C．1 D． 4．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（    ）.    A． B． C． D． 6．若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（    ） A．1 B． C．2 D． 7．已知，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若的终边与的终边垂直，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 11．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．与时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知角满足，则 . 13．设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为 ． 14．若，，且对任意实数均有．则满足条件的有序实数对的个数为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值. 16．（15分）已知函数，. (1)求的最小正周期和对称中心；(2)求的单调递增区间； (3)当时，求的值域. 17．（15分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式；(2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 18．（17分）“天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 (1)的解析式； (2)甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ (3)游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 19．（17分）已知，函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和. (1)求函数的表达式及的值； (2)已知，若函数，的值域为，求，的值. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数·单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列角中是第二象限的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】第二象限角的集合为， 对于A：是第一象限角，故A错误. 对于B：，是第三象限角，故B错误. 对于C：，是第二象限角，故C正确. 对于D：，是第一象限角，故D错误. 故选：C. 2．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 则，解得. 故选：C 3．已知，则（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由诱导公式可得， . 故选：B 4．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 5．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为扇形的圆心角为， 又因为，， 所以，该扇环形砖雕的面积为. 故选：D. 6．若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】当时，， 由，得， 因为函数在区间单调递减，且最小值为负值， 所以，解得， 当时，由，得， 因为函数在区间单调递减，且最小值为负值， 所以，解得， 综上所述. 故选：A. 7．已知，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 则，整理得， 所以， 则， 即. 故选：C 8．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图知函数的最小正周期，所以. 由，得，即. 因为，所以，所以， 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数， 由得， 所以的单调递增区间为， 可得，则，解得， 又因为对，在上都不单调，所以，解得. 综上，. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若的终边与的终边垂直，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为的终边与的终边垂直，所以， 又因为，当时，，满足条件，所以选项A正确； ，所以选项B错误； ，所以选项C错误； ，所以选项D正确. 故选：AD 10．（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】ABD 【详解】对于A，的最小正周期满足：，故A正确； 对于B，定义域满足， 则定义域为：，故B正确； 对于C，对称中心的横坐标满足：，则对称中心为： ，其中，故C错误； 对于D， 单调递增区间满足： ， 其中，则单调递增区间为，.故D正确. 故选：ABD 11．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．与时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】BC 【详解】对于A，由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故A错误； 对于B，因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 对于C，若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C正确； 对于D，，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知角满足，则 . 【答案】 【详解】由，得，所以. 又由，知，由，得， 所以，所以， 所以 故答案为： 13．设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】对于余弦函数，其周期公式为， 因为对任意的都有成立，所以是函数的最小值，是函数的最大值， 根据余弦函数的性质，相邻的最大值点与最小值点之间的水平距离是半个周期，所以的最小值为, 已知，则. 故答案为：. 14．若，，且对任意实数均有．则满足条件的有序实数对的个数为 ． 【答案】3 【详解】要让对于任意实数均成立，只需函数与图象重合或为的常函数. 当函数与图象重合时， 所以，由于，可以取，； 当为的常函数时，，此时可以取. 综上，满足条件的有序实数对的个数为3个（，，）. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值. 【详解】（1）解：由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 可得， 2分 所以. 4分 （2）解：由. 6分 8分 （3）解：因为为锐角，且，可得， 将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点， 则点的横坐标为且，所以， 10分 则. 13分 16．（15分）已知函数，. (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的值域. 【详解】（1），，的最小正周期为； 2分 令，解得， 则的中心对称点为； 5分 （2）当时，是单调递增函数， 由，解得， 8分 即时，是单调递增函数， 故的单调递增区间为； 10分 （3），， 当时，即时，取得最小值， 则取最小值为； 12分 当时，即时，取得最大值， 则取最大值为； 14分 故，即当时，的值域为. 15分 17．（15分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）观察图象，得的最小正周期，解得， 1分 由，得，则，而，则， 3分 所以的解析式. 4分 （2）由，得， 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值， 所以在上的值域为. 7分 （3）设，由（2）知，， 依题意，，恒成立， 9分 当，即时，在上递增，，不成立； 10分 当，即时，在上递减，， 解得，因此； 12分 当，即时，， 解得，因此， 14分 所以的取值范围. 15分 18．（17分）“天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 (1)的解析式； (2)甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ (3)游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 【详解】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为， 设函数解析式为， 2分 摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以， 4分 由题意可得，， 所以，解得， 6分 当时，，即，可取， 7分 所以， 8分 （2）由（1）知， 当时，， 10分 （3）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则， 经过后，乙距离地面的高度， 12分 点相对于始终落后， 甲距离地面的高度为， 14分 令，， 即，， 由，可得：， 16分 经验证符合， 所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等. 17分 19．（17分）已知，函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和. (1)求函数的表达式及的值； (2)已知，若函数，的值域为，求，的值. 【详解】（1）因为该函数在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和， 所以，周期满足，解得. 2分 由函数的图象与轴的交点为， 可得，即. 又，解得或. 4分 当时，. 由，即，得， 当时，，即. 6分 当时，. 此时函数图象在轴右侧第一个最低点的坐标为，第一个最高点坐标是，不合题意. 8分 综上，，. 9分 （2）当时，， 所以，即. 11分 令，则原函数变形为，. 当时，函数不合题意，舍去. 12分 当时，函数在上为严格增函数，原函数值域为， 即解得，； 14分 当时，函数在上为严格减函数，原函数值域为， 即解得，. 16分 综上，，或，. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $