精品解析：天津经济技术开发区第一中学2025-2026学年高三上学期1月练习数学试题

天津经济技术开发区第一中学2025—2026学年度第一学期 高三年级数学学科月练习试卷（1月） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则三条交线的交点个数为0或1 3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 6 B. 9 C. 11 D. 14 4. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 6. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 或4 B. C. 或4 D. 4 9. 设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点 ③在单调递增 ④的取值范围是 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 10. i为虚数单位，复数则_______. 11. 在的二项展开式中，的系数为_______（请用数字作答）. 12. 已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为________． 13. 某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则_______；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为________． 14. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______. 15. 已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在使得成立，则的取值范围为______． 三.解答题：（本题共5小题，共75分） 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求a的值： （2）求证：； （3）的值 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. （1）求线段的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 18. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 20. 已知函数，其中． （1）求的极值； （2）设函数有三个不同的极值点． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津经济技术开发区第一中学2025—2026学年度第一学期 高三年级数学学科月练习试卷（1月） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求集合，再结合交集运算求解. 【详解】由题意可得：． 所以. 故选：B． 2. 已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则三条交线的交点个数为0或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行性质可判断A错误，B错误，再根据面面垂直性质可得C错误，由线面平行以及交线性质可得D正确. 【详解】对于A，若，则也可能为，即A错误； 对于B，若，则也可能是异面直线，即B错误； 对于C，若，也可以是，即C错误； 对于D，当分别为三棱柱的三个侧面时，此时两两平行，交点为0； 当分别为正方体共顶点的三个侧面时，此时交于同一点，交点为1； 即可得D正确. 故选：D 3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 6 B. 9 C. 11 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式，依据题意列方程组，解方程组解出和，从而得出通项公式，进而即可得到． 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由， 则有，解得， 所以等差数列的通项公式为， 故． 故选：B． 4. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象得到该函数的定义域、奇偶性、零点等性质，据此逐项判断即可. 【详解】根据题意，由函数的图象，的定义域为，其图象关于原点对称，为奇函数；在上，函数图象与轴存在交点. 由此分析选项： 对于A，，其定义域为，有， 为偶函数，不符合题意； 对于B，，其定义域为， 有，为奇函数，其图象关于原点对称； 当时，，函数图象与轴存在交点，符合题意； 对于C，，当时，，故恒成立，所以该函数图象在上与轴不存在交点，不符合题意； 对于D，，其定义域为， 有为偶函数，不符合题意. 综上所述，只有选项B的函数满足， 故选：B． 5. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C. 【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确； 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C. 【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于. 6. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】令，则， 令，则， 以此类推，得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 若数列是等比数列，设其公比为，则， 所以，， 得， 当时，； 当时，不成立. 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 7. 设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的奇偶性化简，结合的单调性确定的大小关系. 【详解】依题意是定义域为R的偶函数， ， ， ， ， ， ， ， 由于在上单调递增，所以. 故选：D 8. 以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 或4 B. C. 或4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出双曲线的顶点坐标，焦点坐标及渐近线方程，进而可求得圆的方程，根据圆与抛物线都关于轴对称，则两点关于轴对称，从而可求得点的坐标，代入抛物线方程即可得解. 【详解】双曲线的右顶点坐标为，焦点为， 渐近线方程为，即， 焦点到渐近线的距离为， 所以题中圆的方程为， 因为圆和抛物线的图象都关于轴对称， 所以两点关于轴对称， 不妨设点在第一象限，设，则， 则，所以， 因为点在圆上， 所以，解得或， 所以或， 当，则，解得， 当，则，解得， 综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为或4. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据圆与双曲线都关于轴对称，得出两点关于轴对称，求得点的坐标，是解决本题的关键. 9. 设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点 ③在单调递增 ④的取值范围是 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】画出图象，根据在有且仅有5个零点，求出，④正确；数形结合得到有且仅有3个极大值点，可能有2个极小值点，也有可能有3个极小值点，①正确，②错误；整体法求出在单调递增. 【详解】第④，因为，故当时，，画出函数的图象如下： 因为在有且仅有5个零点，故， 解得，④正确； 第①，当，或，即，或时，取得极大值，故在有且仅有3个极大值点，①正确； 第②，当，即时， 当，，即，时，取得极小值，此时在有且仅有2个极小值点 当，即时， 当，或，即，或时，取得极小值，此时在有且仅有3个极小值点，②错误； 第③，当时，， 因为，所以，由于， 故在单调递增，③正确. 故选：C 二.填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 10. i为虚数单位，复数则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算及模的定义求解即可. 【详解】， 故答案为： 11. 在的二项展开式中，的系数为_______（请用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项展开式通项为， 令，解得, 所以， 故答案为： 12. 已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用抛物线定义确定P点坐标，进而可得以的中点为圆心，长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长. 【详解】抛物线的焦点，准线为， 由题意得，结合抛物线定义知P点到准线的距离为6， 则， 代入横坐标可得，即， 所以的中点坐标为或， ， 所以以的中点为圆心，长度为直径的圆的方程为或， 圆心到轴距离为，所以与截得的弦长为， 故答案为：4. 13. 某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则_______；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先求出甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团的事件数，及恰巧甲参加社团的事件数，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲、乙、丙三名学生选择社团的可能结果有个， 若甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团，则有种选择，所以； 甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团，则有种选择， 所以甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率. 故答案为：； 14. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（i）根据向量线性运算可直接得到结果； （ii）根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为；根据正六边形性质可求得的范围，由此可得结果. 【详解】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，； （ii）； 当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值； 六边形为正六边形，为正三角形，； 作，则为中点，； ，即的取值范围为. 故答案为：；. 15. 已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在使得成立，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数各区间的性质，结合已知条件，将时，存在使成立，转化为在有解，进而求参数范围. 【详解】作出函数与的图象，易得两函数交点位于两侧， 若存在使得成立，又关于对称， 那么与有交点， 如下图有与关于对称，那么就有； 令，令； 即在有解； 所以，即的取值范围为． 故答案为： 三.解答题：（本题共5小题，共75分） 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求a的值： （2）求证：； （3）的值 【答案】（1） （2） 由及，得， 由正弦定理得， 因为，所以或. 若，则，与题设矛盾，因此. （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件结合余弦定理求解； （2）由可得，利用正弦定理结合，得证； （3）由（1）可求得，根据二倍角公式求得，再利用两角差的余弦公式求得结果；或由余弦定理求得，结合，利用两角差的余弦公式运算得解. 【小问1详解】 由及余弦定理，得， 因为，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（Ⅰ）得，因为， 所以， 所以， 所以 . 另解：因为， 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. （1）求线段的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，由即可求解； （2）分别求平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解； （3）设，利用直线与平面所成角的正弦值为即可求解. 【小问1详解】 由底面平面， 故，又底面是矩形，故， 故AD、AB、PA两两垂直， 故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 设，则， 则， 由，则， 解得，即； 【小问2详解】 ， 设平面的一个法向量， 因为，可得， 令，则，所以， ， 设平面的一个法向量， 可得， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 设， 则， 因为与平面所成角的正弦值为，设AN与平面所成角， 所以， 所以所以或， 因为所以，所以. 18. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 由（1）可知，，则， 可得. 又因为， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知数列是首项和公比均为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）根据（1）可得，再利用等比数列求和公式分析证明； （3）根据（1）结合二项式定理求数列的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式分析求解. 【小问1详解】 因为，则， 且，则， 可知数列是首项和公比均为2的等比数列， 可得，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知，，则. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 设为数列的前项和， 可得 . 所以数列的前项和为. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于根据结合二项展开式整理，并讨论奇偶项求数列的通项公式. 19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 【答案】（1） （2） 由题意可设，，，且，. 直线的方程为. 由消去，整理得. 成立. 由，解得. 所以.所以. ①当直线轴时，，解得， 由椭圆的对称性可得. 又因为，所以. ②当直线不垂直轴时，即时，， 直线的斜率.同理. 因为，，三点共线，所以.所以. 在和中，，， 所以.因为，均为锐角，所以. 综上，若，，三点共线，则. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和三角形面积公式列方程组求解可得方程； （2）设，，，且，，联立直线的方程和椭圆方程表示出点坐标，根据三点共线得的关系，然后可证. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 20. 已知函数，其中． （1）求的极值； （2）设函数有三个不同的极值点． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1），无极大值； （2）（i） ； （ii）证明：令、，由（ⅰ）知，且、为的正实根，， 令，则，， 令在单调递增、， ∴在单调递减，在单调递增， 令，则 ， ∵，∴， 令，， ∴在单调递增， ∴，∴在单调递减， ∵，∴， ∵，∴， ∵在单调递增， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）由题可得在单调递增，进而可得在单调递减，在单调递增，即得； （2）（i）由题可知有三个不同的正实根，令进而构造，可得有两个不同的正实根，再利用二次方程根的分布即得；（ii）令、,则、为的正实根，再利用导数解决双变量问题，可得，进而即证. 【小问1详解】 由题可得， ∴在单调递增， ∵， ∴时，时， ∴在单调递减，在单调递增， ∴，无极大值； 【小问2详解】 （ⅰ）， 由题可知有三个不同的正实根，令，则，令，有三个不同的正实根、、，， ∴有两个不同的正实根， ∴ ∴， 设的两个不同的正实根为m、n，且，此时在和单调递增，单调递减， 又∵，∵，且， ∴有三个不同的正实根，满足题意， ∴a的取值范围是； （ⅱ）略. 【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略： 1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； 2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $