精品解析：北京市海淀区2025-2026学年上学期八年级期末数学试题

海淀区2026年八年级增值评价调研 数学 2026.01 注意事项 1．本调研卷共6页，共两部分，26道题，满分100分．考试时间90分钟． 2．在答题纸上准确填写姓名、学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3．答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，：其他题目用黑色字迹签字笔作答． 5．调研结束，请将答题纸交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共30分，每小题3分） 1. 下列体育运动的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（ ） A. 点A与点B关于轴对称 B. 点A与点B关于轴对称 C. 点A与点B关于直线对称 D. 点A与点B关于直线对称 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 芯片制造过程中，一种金属连线的宽度为米．某一层介质的厚度为米．已知该层介质的厚度是金属连线的宽度的倍，则的值用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在和中，, ,若添加一个条件可使，则添加的这个条件不能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是角平分线，将沿所在直线折叠，得到，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 过直线外一点C，用尺规作垂线，如图所示，其中点F是分别以点D和点E为圆心，为半径的两弧的交点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 已知等腰三角形的周长为30，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，的形状、大小唯一确定 B. 当时，的形状、大小唯一确定 C. 当时，的形状、大小唯一确定 D. 当边上的高为12时，的形状、大小唯一确定 10. 图1是一个的正方形网格纸，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下： ①两人轮流将网格中白色方格涂黑，每次涂一个格子； ②每次涂色需使涂色后网格中所有黑色方格构成轴对称图形，否则不可涂色； ③若一方无法涂色，则游戏结束，对方获胜． 如图2，甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格，则这局游戏的获胜者能涂黑的方格数最多为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共18分，每小题3分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 分解因式：______． 13. 在中，设，的角平分线相交于点O．若点O也是的重心（三角形三条中线的交点），则______． 14. 化简：______． 15. 如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是______． 16. 某种文物的修复工作共三道工序，依次为清洁去污、结构修复与加固、画面修补与全色，同一件文物的三道工序必须依次进行，不能调换顺序，一道工序只能由一人完成，此工序完成后该人才能进行其它工序．现有甲、乙和丙三位文物修复师修复此种文物共五件，每件文物各道工序所需时间如下： 修复师 清洁去污 结构修复与加固 画面修补与全色 甲 60天 30天 120天 乙 60天 20天 90天 丙 80天 20天 80天 在不考虑其他因素的前提下，三位文物修复师通力合作，最短______天可以修复一件文物；最短______天可以完成全部文物的修复工作． 三、解答题（本大题共52分，第17－19题，每小题4分，第20－23题，每小题5分，第24题6分，第25－26题，每小题7分） 17. 计算：． 18. 已知，求代数式的值． 19. 计算：． 20. 如图，P为内部的一点，，，垂足分别为M，N．写出命题“若，则”的逆命题，并证明该逆命题． 21. 如图，在中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交，于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 22. 柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征．近年来，某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩．已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克．求该村成立合作社前柿子的种植面积．（列分式方程解答） 23 如图，与相交于点O，，，求证：． 24. 若P和Q是关于x的两个分式，且（k是一个整数），则称Q是P的“k相关分式”，例如：，，则Q是P的“相关分式”． （1）若（A是关于x整式），，且Q是P的“2相关分式”，则______； （2）若，（a，b，c都是整数，且）且Q是P的“5相关分式”，求b的所有可能取值． 25. 在平面直角坐标系中，对于线段和线段给出如下定义：若存在点P（不在直线和直线上），使得，，，的大小均不超过，则称和具有性质． （1）如图1，点，，，，，，，．在线段，，中，和具有性质的是______； （2）如图2，点，，点C，D在第一象限内以原点为端点的同一条射线上，且，点C，D的横坐标分别记为u，v，满足． ①若和具有性质，则当时，v的取值范围是______； ②若和具有性质，且不具有性质，直接写出u，v还应满足的关系． 26. 如图，在中，．作的角平分线交于点D，过点A作交的延长线于点E． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）若，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀区2026年八年级增值评价调研 数学 2026.01 注意事项 1．本调研卷共6页，共两部分，26道题，满分100分．考试时间90分钟． 2．在答题纸上准确填写姓名、学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3．答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，：其他题目用黑色字迹签字笔作答． 5．调研结束，请将答题纸交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共30分，每小题3分） 1. 下列体育运动的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A、B、D都不符合轴对称图形的定义， C符合轴对称图形的定义， 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（ ） A. 点A与点B关于轴对称 B. 点A与点B关于轴对称 C. 点A与点B关于直线对称 D. 点A与点B关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴、轴、直线、直线的对称的点的坐标规律，熟练掌握点的变化规律是解题关键． 点与点的坐标比较，横坐标互为相反数，纵坐标相同，符合关于y轴对称点的特征． 点与点的坐标比较，都不符合关于直线、直线的对称点的特征． 【详解】解：∵直线为，关于的对称点需横纵坐标交换；点关于的对称点为,不是点； ∵直线为，关于的对称点需横纵坐标交换后，分别取相反数，点关于的对称点为,不是点 ∵点与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点与点关于轴对称，选项错误，选项错误，选项错误，选项正确． 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方等知识点，能求出每个式子的值是解题关键．根据幂的运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于每个因式分别乘方的积；同底数幂相除，底数不变，指数相减；逐一验证各选项． 【详解】解：A中 ，选项A正确； B中 ，选项B错误； C中 ，选项C错误； D中 ，选项D错误； 故选A． 4. 芯片制造过程中，一种金属连线的宽度为米．某一层介质的厚度为米．已知该层介质的厚度是金属连线的宽度的倍，则的值用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将金属连线宽度转换为科学记数法，再根据倍数关系计算介质厚度，并调整为标准科学记数法形式． 本题考查了科学记数法，解题关键是明确科学记数法的表示方法是解题关键． 【详解】∵ 金属连线宽度 米， 又∵ 介质厚度 金属连线宽度， ∴ ， ∵ ， ∴ 米． 故选：D． 5. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键． 根据分式的基本性质，检查每个选项的变形是否恒成立． 【详解】解：∵ 选项A: ，除非取特定值，否则不成立，∴ A错误; ∵ 选项B: ，变形正确，∴ B正确; ∵ 选项C: ，因为右边等于，与左边不同，∴ C错误; ∵ 选项D: ，∴ D错误． 故选：B． 6. 在和中，, ,若添加一个条件可使，则添加的这个条件不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知两边相等, 添加条件使两三角形全等, 需判断各选项是否符合全等定理． 本题考查三角形全等的判定条件,掌握判定条件是解题关键． 【详解】∵, , 选项A: 添加, 则三边相等, 符合全等条件.； 选项B: 添加, 则两边及其夹角相等, 符合全等条件； 选项C: 添加, 则两三角形为直角三角形, 且斜边, 直角边, 符合全等条件； 选项D: 添加, 但不是已知两边的夹角, 属于条件, 不能保证三角形全等. ∴ 添加的条件不能是． 故选：D． 7. 如图，在中，，，是的角平分线，将沿所在直线折叠，得到，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质；由三角形外角的性质得，由折叠的性质即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠得 ， ， 故选：B． 8. 过直线外一点C，用尺规作的垂线，如图所示，其中点F是分别以点D和点E为圆心，为半径的两弧的交点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定等；理解作法是解题的关键．由作图得，，，由等边三角形的判定得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：由作图得，，， 是等边三角形， ，， ， ， ． 故选：D． 9. 已知等腰三角形的周长为30，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，的形状、大小唯一确定 B. 当时，的形状、大小唯一确定 C. 当时，的形状、大小唯一确定 D. 当边上的高为12时，的形状、大小唯一确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握基本概念是解题关键．对于等腰三角形，给定周长30，当时，可能是顶角或底角，导致两种可能的三角形，形状和大小不唯一确定；其他选项均能唯一确定三角形． 【详解】解：∵ 是等腰三角形，周长为30， A：当时： 若是顶角，则底角为，三角形唯一； 若是底角，则另一底角为，顶角为，三角形也满足周长30， ∴ 有两种可能三角形，形状大小不唯一确定，选项A错误； B： 必为顶角，唯一确定，选项B正确； C： 时，则为底边，腰为13，唯一确定，选项C正确； D： 边上的高为12时，得图： ①∴，和为等腰三角形的腰， 设，则， 根据勾股定理：， 解得， 则等腰三角形中，， ②∴，和为等腰三角形的腰， 则，，， 因为三角形周长为30，这种情况三角形不存在，唯一确定，选项D正确； 故选：A． 10. 图1是一个的正方形网格纸，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下： ①两人轮流将网格中的白色方格涂黑，每次涂一个格子； ②每次涂色需使涂色后网格中所有黑色方格构成轴对称图形，否则不可涂色； ③若一方无法涂色，则游戏结束，对方获胜． 如图2，甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格，则这局游戏的获胜者能涂黑的方格数最多为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：如图： 甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格， 甲第次只能涂号方格， 当乙第次涂号方格时，甲第次只能涂号方格，游戏结束； 当乙第次涂号方格时，甲第次只能涂号方格，游戏结束； 最多次数是甲涂了次获胜； 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共18分，每小题3分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零． 本题考查了分式的性质，熟知分式的分母不为零是解题关键． 详解】解：要使分式 有意义， 则分母 ， 即 ， 解得 ． 故答案为： ． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 本题考查了因式分解，掌握提公因式和公式法是解题关键． 【详解】解： 故答案为： 13. 在中，设，的角平分线相交于点O．若点O也是的重心（三角形三条中线的交点），则______． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的内心与重心，三角形内角和定理，根据题意得出是等边三角形，是解题的关键． 由点O同时为角平分线交点和重心，推断为等边三角形，再计算的度数． 【详解】解：点O是，的角平分线的交点，也是的重心， 等边三角形，． ，， ， 故答案为：120． 14. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算分式的平方，再与另一个分式相乘，最后约分 本题考查了分式的运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：计算， 然后 ， 约分得． 故答案为：． 15. 如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，掌握将军饮马的数学模型是解题的关键． 过作点A的对称点，连接，故，根据图形可知当三点共线，且时，最小，可得三点共线，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过作点A的对称点，连接， 由对称可知，，， ， 根据图形可知当三点共线，且时，最小， 又， 三点共线， ， ． 故答案为：． 16. 某种文物的修复工作共三道工序，依次为清洁去污、结构修复与加固、画面修补与全色，同一件文物的三道工序必须依次进行，不能调换顺序，一道工序只能由一人完成，此工序完成后该人才能进行其它工序．现有甲、乙和丙三位文物修复师修复此种文物共五件，每件文物各道工序所需时间如下： 修复师 清洁去污 结构修复与加固 画面修补与全色 甲 60天 30天 120天 乙 60天 20天 90天 丙 80天 20天 80天 在不考虑其他因素的前提下，三位文物修复师通力合作，最短______天可以修复一件文物；最短______天可以完成全部文物的修复工作． 【答案】 ①. 160 ②. 300 【解析】 【分析】根据题意找出最优方案是解题的关键．根据题意选择最优方案，进而作答． 本题主要考查逻辑推理与时间统筹，有理数的加法，根据加工要求得出加工顺序是解题关键． 详解】根据题意，三位文物修复师通力合作修复一件文物，那么选择甲或乙师傅清洁去污，乙或丙师傅结构修复与加固，丙师傅画面修补与全色， 则最短时间需：（天）； 若完成全部文物的修复工作，将文物分成A，B，C，D，E，由题意得： 则最短时间需：天． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共52分，第17－19题，每小题4分，第20－23题，每小题5分，第24题6分，第25－26题，每小题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算乘方，再算加减法． 本题考查了实数混合运算，掌握实数运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，掌握运算法则是关键． 原式利用完全平方公式及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ， 原式 ． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法，分式的混合运算，因式分解，正确计算是解题的关键．先算括号里的，再算除法即可求解． 【详解】解： ． 20. 如图，P为内部的一点，，，垂足分别为M，N．写出命题“若，则”的逆命题，并证明该逆命题． 【答案】逆命题为：若，则；证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，逆命题． 先写出逆命题，证明，即可． 【详解】解：逆命题为：若，则． 证明：，， ． 在和中， ， ． ∴． 21. 如图，在中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交，于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识点正确作图是解题的关键． （1）分别以点A、B为圆心，大于长度为半径画圆弧，连接两交点，交，于点D，E，即可求解； （2）连接，根据垂直平分线的性质，可得，通过角度变换可得，，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为所作． 【小问2详解】 解：线段与的数量关系为； 证明，连接， ， ， 又， ， 点E在线段的垂直平分线上， ， ， ， 在中，， ， ． 22. 柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征．近年来，某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩．已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克．求该村成立合作社前柿子的种植面积．（列分式方程解答） 【答案】600亩 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为亩．根据亩产量不变列方程，即可求解． 【详解】解：设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为亩．根据亩产量不变，得 ． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：该村成立合作社前柿子种植面积为600亩． 23. 如图，与相交于点O，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．先证，推出，，根据等边对等角可得，，结合三角形外角的性质证明，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ． ，． ，． ，． ． ． 24. 若P和Q是关于x的两个分式，且（k是一个整数），则称Q是P的“k相关分式”，例如：，，则Q是P的“相关分式”． （1）若（A是关于x的整式），，且Q是P的“2相关分式”，则______； （2）若，（a，b，c都是整数，且）且Q是P的“5相关分式”，求b的所有可能取值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式加减法、根据分式恒等式求值等知识点，注意计算的准确性即可． （1）根据“k相关分式”的定义，即可求解； （2）根据“k相关分式”的定义，可得，可得到，即可求解． 【小问1详解】 解：，，且Q是P的“2相关分式”， ， ∴， ． 【小问2详解】 解：∵，，且Q是P的“5相关分式”， ． ． ． ． ，b都是整数，且， 或． 或． 经检验，或符合题意． 25. 在平面直角坐标系中，对于线段和线段给出如下定义：若存在点P（不在直线和直线上），使得，，，的大小均不超过，则称和具有性质． （1）如图1，点，，，，，，，．在线段，，中，和具有性质的是______； （2）如图2，点，，点C，D在第一象限内以原点为端点的同一条射线上，且，点C，D的横坐标分别记为u，v，满足． ①若和具有性质，则当时，v的取值范围是______； ②若和具有性质，且不具有性质，直接写出u，v还应满足的关系． 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，含角直角三角形的性质； （1）根据定义判断即可； （2）①以为边作等边和等边，以为边作等边和等边,菱形的内部及边界上的点P使得，菱形的内部及边界上的点P使得，当两个菱形有公共部分时，和具有性质；②和具有性质，且不具有性质，即要两个菱形没有公共部分即可，当刚好经过点H时，；当刚好经过点E时，． 【小问1详解】 解：如图所示，分别以、为对角线作正方形、正方形， 由正方形的性质可得：， ， ∴正方形的内部和边界上的任意一点P可满足，， 正方形内部和边界上的任意一点P可满足，， ∴使得，，，的点P位于正方形和正方形的公共部分， ∴和具有性质， 同理：如图所示，分别以、为对角线作的两个正方形的边重合，即上的点P能使得，，，， ∴和具有性质， 如图所示，分别以、为对角线作的两个正方形没有公共部分，即不存在点P能同时使得，，，， ∴和不具有性质， 综上：，和具有性质． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：①如图所示，以为边作等边和等边，以为边作等边和等边, ∴四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， ∴菱形的内部及边界上的点P使得，菱形的内部及边界上的点P使得， ∴当两个菱形有公共部分时，和具有性质， 当点E刚好在边上时，过点C作轴，过点D作轴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，解得：， ∴当时，两个菱形有公共部分，和具有性质． 故答案为：． ②和具有性质，且不具有性质，即要两个菱形没有公共部分即可， 当刚好经过点H时，如图所示，由①得四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴当时，两个菱形没有公共部分， 当刚好经过点E时，如图所示，由①得四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴， ∴当时，两个菱形没有公共部分． 综上：当或，和具有性质，且不具有性质． 26. 如图，在中，．作的角平分线交于点D，过点A作交的延长线于点E． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①见详解；②根据角平分线以及角度之间的和差关系即可求解； （2）做辅助线，构造，根据全等三角形即可求解． 本题考查了全等三角形的性质和判定，角度以及线段的和差倍关系，等腰三角形，构造全等三角形是解题关键． 【小问1详解】 ①如图所示： ②证明：为的角平分线， ． ， ． ， ． ． 【小问2详解】 如图，延长至点F，使得，延长至点G，使得，连接，． ， 垂直平分． ． ． ，， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． ． 在中，． ． ， ． ． 在中， ． ． ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $