第12章 三角形 ——-最短路径问题(将军饮马问题) 课件 2025—2026学年北京版数学八年级上册

最短路径问题 ——将军饮马问题及延伸 在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭P的位置。 A B P ★思考：本题运用了 . 两点之间，线段最短. l 2 B 将军饮马问题一（ ）（解题思路： ） 如图，将军在图中B处，现要带马去河边喝水，之后返回军营A处，问：将军怎么走能使得路程最短？ 问题情境 A B A B' P 作法： （1）作点B关于直线 MN 的对称点 B' （2）连结B'A，交MN于点 P； 所以 点P就是所求的点． M N 结论： P点即为饮马处， PA+PB最小值为AB' 依据：两点之间，线段最短。 转化成数学问题：如图：已知 直线 和 侧的两个___点A、B．在MN上找一动点P,使 最小． 连接BP, N A B P B´ P´ M 问题分析 作点B关于直线的对称点B´, 连接B´A， 则PB´=PB， 交MN于点P, 在直线MN上任意取一点P´ 连接AP´,BP´,B´P´, 则BP´=B´P´， 则PA+ PB= 则AP´+BP´= PA+ PB ´= AB’ AP´+ B’P´ △BA´P´中，A ´B < AP´+B´P´， ∴ AP+BP < AP´+B´P´， 即AP+BP最小． 变式： 已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？ 草地 河边 .驻地A 如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？ O M N 将军饮马问题二（ ）（解题思路： ） . . . . . 如图:已知 内部一定点A 求作:OM上一点B,ON上一点C,使AB+BC+AC最小 作法: (1)作点A关于OM、 ON的对称点A'、A'' (2)连结A'和A''，交OM于B,交ON于C,则点B、C为所求。 转化成数学问题： 变式： 已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？ 如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。 两点在两相交直线内部 M O N 将军饮马问题三（ ）（解题思路： ） A B A' B' C D M O N 转化成数学问题： 如图:已知： ∠MON ______两____点A、B， 求作:OM上一点C , ON上一点D, 使 最小 变式1： 已知： MON内两点A、B. 求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，使AC+CD+BD+AB最短。 A' B' C D 变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？ . . . . . . A A' B B' C D M O N 变式2： 课堂小结： 今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应该怎么样找到它们的最短路径呢？ 1、确定对称轴，找出定点的对称点。 2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对称点确定所求位置点）。 本节课研究问题的基本过程是什么？ 把实际问题变成数学问题或数学模型 →推理 →猜想 →证明 ↓ 得出结论 应用到实际问题中← 谢谢，再见！ $$