专题01 实数和二次根式100道计算题强化练习（专项训练）数学北京版2024八年级上册

专题01 实数和二次根式100道计算题强化练习 目录 题型一、平方根相关计算 1 题型二、立方根相关计算 2 题型三、平方根、立方根结合的文字计算题 3 题型四、平方根、立方根的规律探索题 5 题型五、实数的混合运算 6 题型六、实数的规律计算题 8 题型七、实数的新定义运算 8 题型八、无理数的估算 8 题型九、二次根式的加减计算 9 题型十、二次根式的乘除计算 11 题型十一、二次根式的混合计算 9 题型十二、二次根式的化简求值 9 题型十三、复合二次根式的化简 9 题型十四、分母有理化的计算 9 题型一 平方根相关计算 1．求出下列等式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴或 ∴或． 2．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了根据平方根求方程的解， 对于（1），先整理得，再开方得出答案； 对于（2），直接开方得，计算得出答案． 【详解】（1）解：整理，得， 开方，得或； （2）解：开方，得， 即或， 解得或． 3．求x的值： 【答案】 【分析】本题考查利用平方根解方程，移项，系数化1，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解： ， ， ∴． 4．求出下列式子中x的值：． 【答案】或 【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，两边同时开方得到两个一元一次方程，计算即可． 【详解】解： 解得，， 解得，， ∴或 5．已知，求的值 【答案】或 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程，可得，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 或． 6．求下列等式中x的值：． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的意义和解方程等知识点，根据平方根的意义求解方程即可，解题的关键是熟练掌握平方根的意义． 【详解】 ， ， ， ∴． 7．计算： 【答案】5 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、零指数幂、负整数指数幂． 先求算是平方根，绝对值，负整数幂和零指数幂，再算加减法即可求解 【详解】原式 8．求出下列等式中x的值： 【答案】或 【分析】利用平方根的定义解方程即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴或 ∴或 【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 题型二 立方根相关计算 9．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、乘方、立方根，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．求出下列等式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的意义解方程． （1）先把两边都除以4，然后利用平方根的意义求解即可； （2）先去分母、移项、合并同类项，然后利用立方根的意义求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 11．解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，再解方程即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时乘以2后开立方，最后解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据计算即可． （2）根据计算即可． 本题考查了立方根，算术平方根，绝对值计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查平方根以及立方根的定义，熟练掌握并利用平方根以及立方根的定义来进行方程求解是解题的关键． （1）通过移项后，根据立方根的定义开立方求解； （2）根据平方根的性质求解并考虑正负两种情况． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并得：， ； （2）解：， 开平方得：， 或， 解得：或． 14．求下列各式中的的值： (1) ； (2) ． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根、立方根的定义解高次方程．掌握相关定义是解题关键． （1）根据平方根的定义即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解： ∴或， 解得：或； （2）解： ∴， ∴， 解得：． 15．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2） ， ， ， ∴． 16．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． （1）首先计算开平方，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可； （2）首先计算开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1） ． （2） ． 题型三 平方根、立方根相结合的文字计算题 17．已知的算术平方根是3，的立方根是3，求． 【答案】５ 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握立方根、算术平方根的定义以及解二元一次方程组是解决本题的关键． 根据立方根和算术平方根的定义，得出关于x和y的二元一次方程组求得x、y的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：，解得：， ∴， ∴． 18．已知一个正数的两个不相同的平方根是和． (1)求的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)； (2)2 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，以及立方根的定义． （1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，列出方程，求出a的值，再求出m的值即可； （2）先求出，再根据立方根定义，即可解答． 【详解】（1）解：∵正数m的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵8的立方根为2， ∴的立方根为2． 19．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】9 【分析】根据题意，得到，求得，计算的值，最后计算算术平方根． 本题考查了算术平方根即正的平方根，，则x叫做a的平方根，，则x叫做a的立方根，熟练掌握平方根、算术平方根，立方根的定义是解题的关键． 【详解】因为的平方根是，的立方根是2， 所以， 解得， 所以， 所以． 20．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； 21．已知与互为相反数，的立方根是2， (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根是 【分析】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键． （1）直接利用算术平方根、立方根、互为相反数的定义得出，，的值； （2）结合平方根的定义以及（1）中所求，代入得出答案． 【详解】（1）∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∵的立方根是2， ∴， ∴ （2）由（1）可知，，，， ∴ ∴的平方根是． 22．已知4是的算术平方根，的立方根是3． (1)计算：a =______，b =______； (2)求的平方根． 【答案】(1)5； (2) 【分析】（1）根据算术平方根与立方根的性质即可求解； （2）先求出的值，再根据平方根的定义即可求解． 此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知算术平方根、立方根与平方根的性质． 【详解】（1）∵4是的算术平方根，的立方根是3， ∴，， 解得，， 故答案为：5；； （2）∵，， ∴， ∴的平方根为． 23．已知的算术平方根是3，，求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，根据的算术平方根是3，，先求出，，然后再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 24．已知，且与互为相反数， (1)求的平方根； (2)若的算术平方根为的立方根为，求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和相反数的定义． （1）利用非负数的性质求得，，再利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义结合相反数的定义求得，再利用算术平方根、立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四 平方根、立方根的规律探索题 25．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 26．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 27．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 28．按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【答案】（1）见解析 （2），68 （3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 29．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【答案】(1)右；一； (2)； (3)； 【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． （1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右；一； （2）解：∵，结合立方根小数点的规律， ∴，， 故答案为：；； （3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵， ∴，． 故答案为：；． 30．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 31．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 32．观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 题型五 实数的混合运算 33．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是关键． （1）利用立方根和算术平方根化简，再计算即可； （2）利用立方根、算术平方根、绝对值化简，再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 34．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，进行计算即可． 【详解】解： ． 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算是解题的关键． （1）先计算立方根、算术平方根和乘方运算，再求和即可； （2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根和化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 36．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是： （1）根据算术平方根、立方根的定义，绝对值的意义等计算即可； （2）根据算术平方根、立方根的定义，绝对值的意义等计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，求算术平方根，立方根，正确计算是解题的关键． （1）先计算算术平方根，立方根，再进行加减运算即可； （2）根据实数的混合运算法则按顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用立方根的定义计算后再算加减即可； （2）先去括号及绝对值，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 39．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算立方根和算术平方根，再相加减即可； （2）计算出立方根、算术平方根、平方，再计算即可； （3）将带分数化为假分数，求出算术平方根、立方根、绝对值，再计算即可． 本题主要考查算术平方根、立方根及绝对值，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 40．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算开方和绝对值，再算加减即可； （2）先算开方，再算加减． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型六 实数的规律计算题 41．观察下列等式： ① ② ③ …… (1)写出第④个等式： (2)利用规律计算： ． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查数字规律，求算术平方根，解题的关键是根据规律发现被开方数是几个连续的奇数和，结果为奇数的个数； （1）根据题目规律求解即可； （2）根据题目规律求解即可． 【详解】（1）解：① ② ③ ④， 故答案为：； （2）解：∵到有个奇数， ∴． 42．观察一列数：，，，，，…．设是这列数的第2024个数，且满足． (1)化简：； (2)写出第个数为__________（用含n的代数式表示）； (3)求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，实数的运算，分式的混合计算： （1）先把小括号内的式子通分，再根据分式乘法计算法则求解即可； （2）观察可知，这一列的数的被开方数是序号的平方加1，据此规律求解即可； （3）根据（1）（2）所求可得，则，进而可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， 以此类推，可知第个数为， 故答案为：； （3）解：∵是这列数的第2024个数， ∴由（2）可知， ∴， ∴， ∴． 43．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根规律探究； （1）根据规律写出第4个等式，即可求解； （2）根据规律写出第个等式，进而根据算术平方根的意义，即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 故答案为：． （2），理由如下， ∵， ∴， 44．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律可得：, 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解：． 题型七 实数的新定义运算 45．我们已经学习了平方根和立方根．若，则叫的二次方根（平方根），可表示为．若，则叫的三次方根（立方根），可表示为．平方根具有性质如：正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．请阅读材料，观察下表，类比上述的定义和性质完成以下问题： … 1 16 81 … … … 【定义】（1）若，则叫的________①_________，可表示为______②______； 【性质】（2）请概括①的性质； 【应用】（3）若，直接写出的值： 【拓展】（4）解方程：． 【答案】（1）①四次方根；②；（2）正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解平方根和立方根定义． （1）类别平方根和立方根定义进行求解即可； （2）仿照平方根的性质进行概括即可； （3）根据四次方根定义进行求解即可； （4）利用四次方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1）根据表格可知：若，则叫的四次方根，可表示为； （2）正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）若，则； （4）， ∴， ∴， ∴． 46．阅读理解，规定：表示不大于的最大整数（即的整数部分）；表示的值（即的小数部分），例如： (1)计算： ； (2)解不等式； (3)解方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解新定义运算是解题关键． （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）将新定义运算得到数值代入一元一次不等式，求解即可； （3）设（为整数），则，，则原方程变为，，根据求出，再根据为整数确定取值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， 原不等式变为：， 解得； （3）解：设（为整数）， ， ， ， ， 原方程变为， 整理得：， ， 表示的小数部分， ， ， ， 又为整数， 或， 当时，， 当时，， 综上：原方程的解为或． 47．对于两个不相等的实数、，定义一种新运算：※． 例如：． (1)___________； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用已知的新定义列出算式，计算即可得到结果； （2）利用已知的新定义分步列出算式，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 48．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． (1)81的四次方根为______；32的五次方根为______； (2)若有意义，则______； (3)求x的值：． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （2）根据四次方根，绝对值和五次方根的意义求解即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 题型八 无理数的估算 49．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？与哪个整数更接近？ (1)； (2)． 【答案】(1)位于9和10之间，与10更接近 (2)位于4和5之间，与4更接近 【分析】本题主要考查了无理数的估算： （1）根据，可得，即可求解； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴位于9和10之间，与10更接近； （2）解：∵， ∴， ∴位于4和5之间，与4更接近． 50．请阅读下面的文字，完成相应的任务 怎样表示无理数的小数部分 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来， 于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的值． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查无理数的估算，涉及二次根式性质、代数式求值，读懂文字材料，理解表示无理数整数部分与小数部分的方法是解决问题的关键． （1）先估算的范围，再由材料中的方法表示即可得到答案； （2）先估算的范围，再由材料中的方法表示，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分为； （2）解：， ， ∴， 是的整数部分，是的小数部分， ，， ． 51．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②7；③27 (2)48 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】（1）解：①，， 又， ， 能确定19683的立方根是个两位数． ②∵19683的个位数是3， 又， 能确定19683的立方根的个位数是7， ③如果划去19683后面的三位683得到数19， 而，则，可得， 由此能确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． （2）解：∵，， 又∵， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ∵110592的个位数是2， 又∵， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则， 可得， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 52．小李同学探索的近似值，过程如下：面积为2的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图1），根据示意图可得图中大正方形的面积 又 当时，可略去，得方程． 解得． (1)的整数部分为___________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)2 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算， 对于（1），根据的范围可得答案； 对于（2），仿照小李同学的探索过程解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以的整数部分是2． 故答案为：2； （2）解：面积为7的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图2），根据示意图可得图中大正方形的面积， ． 又， ． 当时，可略去，得方程． 解得． ． 题型九 二次根式的加减计算 53．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减； 先利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 54．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、分母有理化、加减运算，求一个数的立方根，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 先分别计算二次根式的化简、分母有理化、立方根，再加减即可求解． 【详解】解： ． 55．计算：． 【答案】 【分析】本题二次根式的加减，先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可． 【详解】解： ． 56．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的加减运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则， 根据实数的加减运算法则计算即可； 【详解】解： 57．计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂，以及二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂，以及二次根式的加减运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键． 58．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘方，绝对值，算术平方根进行化简，再计算即可； （2）先化简绝对值，再根据二次根式的加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式的加减，有理数的乘方，绝对值，算术平方根，正确计算是解题的关键． 59．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】原式 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减运算的运算法则与运算顺序是解题的关键． 60．计算：． 【答案】 【分析】先去小括号，再进行同类二次根式的合并，进而计算二次根式的加减法． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的化简、二次根式加减混合运算等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 题型十 二次根式的乘除计算 61．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式； 根据二次根式的混合运算法则计算即可； 利用平方差公式和完全平方公式计算； 提取最大的次数，再化简即可． 【详解】（1）， （2）， （3）， （4） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，在化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待． 62．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则，求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则． 63．计算：． 【答案】 【分析】把除法化为乘法运算，再化简即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，熟记运算法则是解本题的关键． 64．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则，分母有理化计算即可； （2）利用乘法分配律计算，利用分数的性质和二次根式的性质化简； （3）根据二次根式除法和运算法则和分母有理化化简，再计算与5的和即可； （4）先利用完全平方公式、平方差公式分别进行计算，再求和即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 65．计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减法法则即可求解； （2）运用乘法分配律将括号去掉，再根据二次根式的乘法法则，化简即可求解； （3）运用完全平方公式展开，再根据实数加减法法则即可求解； （4）先将分子化简，合并同类项，约分即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，乘法公式的运用，掌握二次根式的化简，合并同类项，约分化简是解题的关键． 66．计算： 【答案】3 【分析】先计算二次根式的乘除法，再计算有理数的减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 67．计算： (1) ； (2)（）（3）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可解答； （2）先算括号内除法，根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： = = ． （2）解：（）（3） = = = ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的化简和灵活运用运算法则． 68．计算：． 【答案】21 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则，先将除法变为乘法再计算得出答案． 【详解】解：原式＝××7× ＝21． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确运用二次根式的乘除运算法则是解题关键． 题型十一 二次根式的混合运算 69．计算：． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算顺序和法则． 先利用二次根式的除法和平方差公式计算，然后利用二次根式的性质化简，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 70．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知运算顺序，相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解：． 71．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行加减混合运算； （2）先计算乘法，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 72．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质和二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式性质，平方差公式，二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 73．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数混合运算法则，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可； （3）根据算术平方根定义，立方根定义和绝对值意义，进行计算即可； （4）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 74．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解． （2）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 75．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘法运算法则求解即可； （2）根据平方差公式和二次根式的性质求解即可； （3）首先计算二次根式的乘法，然后化简求解即可； （4）根据二次根式的除法法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 76．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行二次根式计算，再加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二 二次根式的化简求值 77．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理化．，先根据分式的乘除运算法则，结合因式分解化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 78．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，再约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 79．先化简，再求值：，其中 【答案】 【分析】本题主要考查分式化简求值，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： = = =， 当时， 原式． 80．已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【答案】(1)， (2)24 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式、代数式求值． （1）把，代入求值即可； （2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴ ． 81．先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．首先根据分式的运算法则化简式子，再将x的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 82．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键，注意代入计算后要化简．将括号内通分后进行运算，将除号后面的分式变为乘法，先因式分解，再化简，最后将的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式 83．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 84．已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把代入计算，即可作答． （2）先通分得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ． 题型十三 复合二次根式的化简 85．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 86．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 87．化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 88．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 89．阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 90．观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 91．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 92．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 题型十四 分母有理化的计算 93．阅读下面的材料，并解答问题： ； ； ； (1)填空： ， （为正整数； (2)利用（1）发现的规律计算： 【答案】(1) ； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式分母有理化，平方差公式，准确计算是解题的关键． （1）根据平方差公式分母有理化即可； （2）对每一个式子分母有理化，再进行合并计算即可； 【详解】（1）解：由题意知 ， ， 故答案为： ；； （2）解： ． 94．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)9 【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键. （1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案； （2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案； （3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 95．阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 【答案】(1) (2) (3) (4)44 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先根据材料计算方法进行化简，再进比较即可； （4）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：根据材料可知，，， ∵， ，即． （4）解： ． 96．观察下列运算 由，得； 由，得； 由，得； 由，得； (1)通过观察，请填空：_________________________． (2)利用你发现的规律，计算：． 【答案】(1)（为正整数）； (2) 【分析】本题考查了分母有理化，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意得出规律即可得解； （2）根据（1）中的规律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：（为正整数）； （2）解：由（1）可得（为正整数）， ∴原式 ． 97．分母有理化：． 以下是小明同学的解答过程： 请根据小明同学的解法，完成下面问题： (1)化简： ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查分母有理化，准确找出分母有理化因式是解题的关键． （1）直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案； （2）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 98．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． (1)直接写出的有理化因式：_____． (2)请仿照上面的方法化简（且）． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简； （3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将的值代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是的有理化因式， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：， ， ． 99．阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：；． 模仿上例完成下列各小题： (1) ； (2)请根据你得到的规律计算下题：（n为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化， 对于（1），分子和分母都乘以，再运算即可； 对于（2），分子和分母依次乘以，再计算即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）解：原式 ． 100．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二）； （三）； (1)请用不同的方法化简      ①参照（二）式化简 ②参照（三）式化简 (2)化简 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①模仿题干解题过程，化简，即可作答． ②模仿题干解题过程，化简，即可作答． （2）根据（1）中的过程，同理化简原式，再进行整理计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，； ②依题意，； （2）解： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数和二次根式100道计算题强化练习 目录 题型一、平方根相关计算 1 题型二、立方根相关计算 2 题型三、平方根、立方根结合的文字计算题 3 题型四、平方根、立方根的规律探索题 5 题型五、实数的混合运算 6 题型六、实数的规律计算题 8 题型七、实数的新定义运算 8 题型八、无理数的估算 8 题型九、二次根式的加减计算 9 题型十、二次根式的乘除计算 11 题型十一、二次根式的混合计算 9 题型十二、二次根式的化简求值 9 题型十三、复合二次根式的化简 9 题型十四、分母有理化的计算 9 题型一 平方根相关计算 1．求出下列等式中x的值： (1) (2) 2．求下列各式中的值． (1)； (2)． 3．求x的值： 4．求出下列式子中x的值：． 5．已知，求的值 6．求下列等式中x的值：． 7．计算： 8．求出下列等式中x的值： 题型二 立方根相关计算 9．计算： (1) (2) 10．求出下列等式中的x的值： (1)； (2)． 11．解方程： (1) (2) 12．计算： (1) (2) 13．求下列各式中的值： (1)； (2)． 14．求下列各式中的的值： (1) ； (2) ． 15．解方程： (1)． (2)． 16．计算： (1) (2) 题型三 平方根、立方根相结合的文字计算题 17．已知的算术平方根是3，的立方根是3，求． 18．已知一个正数的两个不相同的平方根是和． (1)求的值． (2)求的立方根． 19．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 20．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 21．已知与互为相反数，的立方根是2， (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 22．已知4是的算术平方根，的立方根是3． (1)计算：a =______，b =______； (2)求的平方根． 23．已知的算术平方根是3，，求的立方根． 24．已知，且与互为相反数， (1)求的平方根； (2)若的算术平方根为的立方根为，求． 题型四 平方根、立方根的规律探索题 25．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 26．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 27．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 28．按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 29．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 30．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 31．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 32．观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 题型五 实数的混合运算 33．计算： (1)； (2)． 34．计算：． 35．计算： (1)； (2)． 36．计算 (1) (2) 37．计算： (1)； (2)． 38．计算： (1)； (2)． 39．计算： (1)； (2)； (3)． 40．计算： (1)； (2)． 题型六 实数的规律计算题 41．观察下列等式： ① ② ③ …… (1)写出第④个等式： (2)利用规律计算： ． 42．观察一列数：，，，，，…．设是这列数的第2024个数，且满足． (1)化简：； (2)写出第个数为__________（用含n的代数式表示）； (3)求出的值． 43．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 44．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 题型七 实数的新定义运算 45．我们已经学习了平方根和立方根．若，则叫的二次方根（平方根），可表示为．若，则叫的三次方根（立方根），可表示为．平方根具有性质如：正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．请阅读材料，观察下表，类比上述的定义和性质完成以下问题： … 1 16 81 … … … 【定义】（1）若，则叫的________①_________，可表示为______②______； 【性质】（2）请概括①的性质； 【应用】（3）若，直接写出的值： 【拓展】（4）解方程：． 46．阅读理解，规定：表示不大于的最大整数（即的整数部分）；表示的值（即的小数部分），例如： (1)计算： ； (2)解不等式； (3)解方程． 47．对于两个不相等的实数、，定义一种新运算：※． 例如：． (1)___________； (2)求的值． 48．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根． (1)81的四次方根为______；32的五次方根为______； (2)若有意义，则______； (3)求x的值：． 题型八 无理数的估算 49．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？与哪个整数更接近？ (1)； (2)． 50．请阅读下面的文字，完成相应的任务 怎样表示无理数的小数部分 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来， 于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的值． 51．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 52．小李同学探索的近似值，过程如下：面积为2的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图1），根据示意图可得图中大正方形的面积 又 当时，可略去，得方程． 解得． (1)的整数部分为___________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 题型九 二次根式的加减计算 53．计算：． 54．计算：． 55．计算：． 56．计算： 57．计算：． 58．计算： (1) (2) 59．计算：． 60．计算：． 题型十 二次根式的乘除计算 61．计算 (1) (2) (3) (4) 62．计算：． 63．计算：． 64．计算： (1) (2) (3) (4) 65．计算题． (1) (2) (3) (4) 66．计算： 67．计算： (1) ； (2)（）（3）． 68．计算：． 题型十一 二次根式的混合运算 69．计算：． 70．计算：． 71．计算： (1) (2) 72．计算： (1)； (2)． 73．计算： (1) (2) (3) (4) 74．计算： (1) (2)． 75．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 76．计算： (1) (2) 题型十二 二次根式的化简求值 77．先化简，再求值：，其中． 78．先化简，再求值：，其中． 79．先化简，再求值：，其中 80．已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 81．先化简，再求值：，其中． 82．先化简，再求值：，其中． 83．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 84．已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 题型十三 复合二次根式的化简 85．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 86．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 87．化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 88．形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 89．阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 90．观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 91．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 92．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 题型十四 分母有理化的计算 93．阅读下面的材料，并解答问题： ； ； ； (1)填空： ， （为正整数； (2)利用（1）发现的规律计算： 94．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 95．阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 96．观察下列运算 由，得； 由，得； 由，得； 由，得； (1)通过观察，请填空：_________________________． (2)利用你发现的规律，计算：． 97．分母有理化：． 以下是小明同学的解答过程： 请根据小明同学的解法，完成下面问题： (1)化简： ； (2)计算． 98．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． (1)直接写出的有理化因式：_____． (2)请仿照上面的方法化简（且）． (3)已知，，求的值． 99．阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：；． 模仿上例完成下列各小题： (1) ； (2)请根据你得到的规律计算下题：（n为正整数）． 100．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二）； （三）； (1)请用不同的方法化简      ①参照（二）式化简 ②参照（三）式化简 (2)化简 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$