精品解析：辽宁省鞍山市海城市协作体2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题

海城市协作体2025-2026学年第一学期期末质量监测八年级数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3．考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 现有，长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 纳米是表示微小距离单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. D. 或 5. 小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（　　） A. 36 B. 32 C. 28 D. 21 6. 如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 8. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有人，平分元钱；第二次比第一次增加人，平分元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11. 若是一个完全平方式，则常数的值为______． 12. 计算：___ ． 13. 小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为__________． 14. 将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则________度． 15. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是____． 三、简答题（共7小题，共75分，解答应写出文字） 16 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）直接写出点关于轴对称点坐标； （2）在图中画出关于轴对称的图形； 19. 如图，在中，是的角平分线，． （1）尺规作图：作的平分线与相交于点E；（作图要求：保留作图痕迹，不用写出做法） （2）直接写出的度数． 20. 如图，在中，D为边上一点，，．求证： （1）． （2）平分． 21. 如今新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需95万元；购进4辆型新能源汽车、1辆型新能源汽车共需110万元． （1）求，两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆型汽车可获利1.5万元，销售1辆型汽车可获利0.7万元，假如这些新能源汽车全部售出，则该4S店共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 22. 如图1，已知和都是等腰三角形，且，，，点D在边上． （1）求证：； （2）如图2，当时，求的度数； （3）如图3，当，且时，求四边形的面积． 23. 【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，，则的面积为______； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海城市协作体2025-2026学年第一学期期末质量监测八年级数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3．考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 现有，长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的三边关系．根据三角形的三边关系定理，第三边必须大于已知两边之差且小于两边之和． 【详解】解：∵已知两边分别为和， ∴第三边x需满足：，即， ∴可以围成三角形的只有C， 故选：C． 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点为轴对称图形的概念，依据轴对称图形的定义，对每个选项中的图形逐一分析，判断是否存在一条直线，使图形沿该直线折叠后两旁部分能够完全重合． 【详解】解：选项A的图形，找不到一条直线，使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，∴不是轴对称图形； 选项B的图形，找不到一条直线，使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，∴不是轴对称图形； 选项C的图形，找不到一条直线，使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，∴不是轴对称图形； 选项D的图形，存在一条竖直的直线，使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，∴是轴对称图形； 故选：D． 3. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，,n为第一位有效数字前面0的个数． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数；一般形式为，，n为整数，确定a与n的值是解题的关键． 4. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的底角相等，结合给定角可能是顶角或底角，分类讨论进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 等腰三角形有两个相等的底角，且三角形内角和为， ∴ 若为底角，则底角为； 若为顶角，则底角为． ∴底角为或． 故选：D. 5. 小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（　　） A. 36 B. 32 C. 28 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得，，，， ， ，， ， 和中， ， ； 由题意得，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件． 6. 如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据从n边形的一个顶点最多能引出条对角线求解即可． 【详解】解：从该九边形的一个顶点最多能引出条对角线， 故选：． 7. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长最小值是， 故选：C． 8. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除，解题关键是熟练掌握整式的相关运算法则． 根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除对选项进行逐一判断即可． 详解】解：选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算正确，符合题意，选项正确； 选项，，由于结果不恒等于，故该计算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 10. 《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有人，平分元钱；第二次比第一次增加人，平分元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题关键是根据“两次每人分得的钱数相同”这一等量关系，分别表示出两次每人分得的钱数，进而列出方程． 【详解】解：∵第一次有人，平分元钱，∴第一次每人分得元． ∵第二次比第一次增加人， ∴第二次有人，平分元钱， ∴第二次每人分得元． ∵第二次每人分得的钱与第一次相同，∴可列方程为． 故选：D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11. 若是一个完全平方式，则常数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征确定出的值是解本题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ ∴， 故答案为：． 12. 计算：___ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂的运算，任何非零数的次幂都等于，即()；一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数，即()．先分别计算零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的加减运算． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】解：设， 则原式， ∵结果中的一次项系数为， ∴，解得， 故答案为：5． 14. 将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则________度． 【答案】43 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 15. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是____． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解．再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【详解】解：原分式方程可化为： 去分母得： 解得 又分式方程的解是非负数 且 的取值范围是：且 三、简答题（共7小题，共75分，解答应写出文字） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题包含两小问，第（1）问考查二次根式的混合运算，涉及二次根式的乘法、除法法则及化简；第（2）问考查二元一次方程组的解法，主要是去分母、消元法的应用． （1）根据二次根式的乘法法则计算乘法，根据除法法则将分式拆分为两个根式的除法，再化简各二次根式，最后合并计算； （2）先对含分母的方程去分母、整理为标准形式，再通过加减消元法求解方程组． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原方程组为 对②去分母，两边同乘得： 整理得： 由①得： ③-④得：，解得 将代入①得：，解得 故方程组的解为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质和运算法则先化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）直接写出点关于轴对称点坐标； （2）在图中画出关于轴对称的图形； 【答案】（1）点坐标为 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点与图形的轴对称变换，核心知识点是关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征(纵坐标不变，横坐标互为相反数)，直接写出点C的对称点坐标； （2）先根据关于轴对称的点的坐标特征(横坐标不变，纵坐标互为相反数)，求出三个顶点的对称点坐标，再依次连接各对称点得到对称图形． 【小问1详解】 解：点关于轴对称的点坐标为；理由如下： ∵， ∴点关于轴对称的点坐标为； 【小问2详解】 解：关于x轴对称的图形，如图1即为所求； 19. 如图，在中，是的角平分线，． （1）尺规作图：作的平分线与相交于点E；（作图要求：保留作图痕迹，不用写出做法） （2）直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）依据角平分线的尺规作图方法，即可作出的角平分线与相交于点； （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线定义可得，再由三角形内角和为即可得到的度数． 【小问1详解】 解：的平分线，如下所示： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的角平分线，是的的角平分线， ∴， ∴． 20. 如图，在中，D为边上一点，，．求证： （1）． （2）平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，可得，即可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且，， ∴（）； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 21. 如今新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需95万元；购进4辆型新能源汽车、1辆型新能源汽车共需110万元． （1）求，两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆型汽车可获利1.5万元，销售1辆型汽车可获利0.7万元，假如这些新能源汽车全部售出，则该4S店共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【答案】（1）、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元 （2）该店共有3种购买方案，最大利润为万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设A种型号的新能源汽车每辆进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆进价为y万元，根据“购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆A种型号的新能源汽车，n辆B种型号的新能源汽车，利用总价=单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出该公司共有四种购买方案，再求出各方案可获得的利润，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型号的新能源汽车每辆进价为万元，型号的新能源汽车每辆进价为万元， 由题意可得： ， 解得， 答：、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元． 【小问2详解】 解：设购买型号的新能源汽车辆，型号的新能源汽车辆，由题意可得，且，为正整数， 解得：，，， 所以该4S店共有3种购买方案． 当，时，获得的利润为（万元）， 当，时，获得的利润为（万元） 当，时，获得的利润为（万元）， 综上所述，最大利润为13.5万元． 22. 如图1，已知和都是等腰三角形，且，，，点D在边上． （1）求证：； （2）如图2，当时，求的度数； （3）如图3，当，且时，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定； （1）由可得，再加上，，即可证明； （2）当时，和都是等边三角形，得出，由（1）得，得到，最后由即可得出结果； （3）过点A作于点F，当时，和都是等腰直角三角形，同理可得出，推出，进而得出，再根据，求出即可. 【小问1详解】 证明：， ， 即， 在和中， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点A作于点F． ，，且， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中 ∴， ∴ ∴ ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，，则的面积为______； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 【答案】（1）50；（2）①点的坐标为；②的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据得到，，再利用计算即可； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且，过点B作轴于．先求出点A、点C的坐标，再证明，得到，，即可求出点B的坐标； ②由题意设点P的坐标为，设点Q的坐标为．再根据为等腰直角三角形分情况讨论，构造“K形图”求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ， 故答案为：50； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且； 如图，过点作轴于． 当时，则， 点的坐标为，即： 当时，则， 解得， 点的坐标为，即， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为； ②由题意设点的坐标为，设点的坐标为． 分以下三种情况讨论： 情况1．如图，当，时， 过点作轴，过点作轴交于，过点作轴交于，则， 则点的坐标为，点的坐标为， ， ， ，， ， 解得，， 此时点的坐标为； 情况2．如图，当，时，过点作轴于点，过点作轴于点，则， 则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ，， ，， 解得， 此时点的坐标为， 情况3．如图5，当，时，过点作轴于点，过点作于点，则， 则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ，， ，， 解得，， 此时点的坐标为． 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $