第1章 相交线与平行线（复习讲义）数学新教材浙教版七年级下册

第1章 相交线与平行线（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述相交线、对顶角、邻补角的概念，会识别图形中的对顶角和邻补角，并能计算对顶角的度数 2. 能复述垂线、垂足、点到直线的距离的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线 3. 能复述平行线的概念，会用符号表示两条直线平行，能识别图形中的平行线 4. 能复述同位角、内错角、同旁内角的概念，会在简单图形中识别出这三类角 5. 能复述平行公理及其推论，会根据平行公理推论判断两条直线是否平行 二、进阶目标 1. 理解并应用对顶角的性质，能运用对顶角相等解决简单的角度计算问题 2. 理解并应用垂线的性质，能运用“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”解决相关问题 3. 会推导平行线的判定方法（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行），并能运用这些判定方法判断两条直线是否平行 4. 会推导平行线的性质（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补），并能运用这些性质解决角度计算问题 5. 能综合运用平行线的判定和性质解决简单的几何证明题和角度计算问题，如已知两直线平行，求相关角的度数；已知角的关系，证明两直线平行 三、拓展目标 1. 理解并应用“垂线段最短”的性质，能解决与点到直线距离相关的实际问题，如测量跳远成绩、确定最短路线等 2. 会运用平移的性质解决图形平移问题，能根据平移前后的图形，确定平移的方向和距离，会画出平移后的图形 3. 能运用相交线与平行线的知识解决稍复杂的几何综合题，如结合角平分线、垂直平分线等知识进行角度计算和证明 4. 能从实际生活中发现并提出与相交线、平行线相关的数学问题，并运用所学知识进行分析和解决，如解决建筑图纸中的平行线设计、道路交叉路口的角度计算等问题 5. 会对相交线与平行线的知识进行梳理和总结，形成知识网络，能运用数学语言清晰、有条理地表达自己的思考过程和解题思路 类别 具体内容 完整分析 常见结论 对顶角相等 当两条直线相交时，会形成两对对顶角。对顶角的本质特征是它们的两边互为反向延长线，这种位置关系决定了它们的角度大小必然相等。这一结论是相交线部分的基础，可直接用于角度的计算和证明，例如已知一个角的度数，能快速得出其对顶角的度数。 邻补角互补 两条直线相交形成的四个角中，相邻的两个角互为邻补角。“邻”指位置相邻，有一条公共边；“补”指数量关系上互补，即两角之和为180°。邻补角不仅在相交线中常见，在后续学习平行线的性质与判定时，也常与其他角的关系结合使用，是角之间数量转换的重要依据。 垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 这里的“一点”包括直线上一点和直线外一点两种情况。“有且只有”体现了垂线的存在性和唯一性，这一性质保证了在平面内，给定一点和一条直线后，能确定唯一的垂线，为后续学习点到直线的距离等知识奠定基础。 垂线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段的长度是最短的。这条性质揭示了点到直线距离的本质，即点到直线的垂线段的长度，在解决最短路径等实际问题中有着广泛的应用。 同位角相等，两直线平行 当两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。同位角是位置相同的角（在截线同侧，被截线同一方向），这一结论是判断两条直线平行的重要方法之一，是从角的关系推出线平行的关键依据。 内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行。内错角位于截线两侧，被截线之间，呈“Z”字形。该结论同样是平行线判定的重要定理，通过识别内错角并证明其相等，可得出线平行的结论。 同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补（两角之和为180°）时，两直线平行。同旁内角在截线同侧，被截线之间，呈“U”字形。此判定方法与前两种类似，都是通过角的数量关系来判定直线的位置关系。 两直线平行，同位角相等 如果两条直线平行，那么它们被第三条直线所截得的同位角相等。这是平行线的一条基本性质，是由线平行推出角相等，与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理，在角度计算和证明中经常交替使用。 两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。该性质与平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”互为逆定理，是平行线性质体系中的重要组成部分，用于由平行关系得出内错角的数量关系。 两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。此性质与“同旁内角互补，两直线平行”互为逆定理，揭示了平行线被截后同旁内角之间的数量关系，即它们的和为180°。 平行于同一条直线的两条直线互相平行 如果直线a平行于直线b，直线c也平行于直线b，那么直线a平行于直线c。这一结论体现了平行线的传递性，它可以将多条直线的平行关系联系起来，简化复杂图形中的平行判定。 易错点 对顶角、邻补角的概念混淆 对顶角是“相对”的角，两边互为反向延长线，数量关系是相等；邻补角是“相邻”的角，有一条公共边，另一边互为反向延长线，数量关系是互补。学生容易误认为相邻的角就是对顶角，或者对顶角一定互补，需要通过图形对比和实例辨析来区分。 忽略垂直的前提条件 在运用“垂线段最短”时，容易忽略“垂线段”这一前提，误将连接点与直线的任意线段都当作最短距离。实际上，只有当线段与已知直线垂直时，其长度才是最短的，其他斜线段都比垂线段长。 混淆平行线的判定与性质 判定是“由角定线”，即根据角的相等或互补关系判断两条直线是否平行；性质是“由线定角”，即已知两条直线平行，得出角的相等或互补关系。学生常出现用性质去判定，或用判定去推性质的逻辑错误，需要明确题目的已知条件和求证目标来区分使用。 对“三线八角”中角的位置关系判断错误 在复杂图形中，难以准确辨认同位角、内错角、同旁内角。关键在于找到截线和被截线：同位角在截线同侧，被截线同一方；内错角在截线两侧，被截线之间；同旁内角在截线同侧，被截线之间。学生容易因找错截线或被截线而导致角的类型判断失误。 认为“相等的角就是同位角（或内错角），互补的角就是同旁内角” 相等或互补的角不一定就是具有特定位置关系的同位角、内错角或同旁内角。这些角的定义不仅包含数量关系，更重要的是位置关系。例如，两个直角相等，但它们不一定是同位角，需要结合它们在图形中的位置来判断。 运用平行公理的推论时出错 平行公理的推论是“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，这里强调的是“都平行于第三条直线”。学生可能会错误地推广到“如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行”，在平面内这是正确的，但在空间中不一定成立，而七年级下册主要研究平面几何，需注意前提是在同一平面内（虽然教材可能默认，但思维上需严谨）。 画图时不规范，导致判断失误 在解决几何问题时，学生如果画图不标准，线条不平行、角度不准确，可能会直观上误判角的关系或直线的位置关系。例如，将不平行的直线画成平行，或把相等的角画得不等，从而影响后续的推理和计算，培养规范作图习惯很重要。 忽略“在同一平面内”的条件 在学习“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”以及“平行公理”时，教材中通常默认是在同一平面内。但学生容易忽略这一重要前提，实际上在空间中，过一点与已知直线垂直的直线有无数条，不相交的直线也不一定平行（可能异面）。虽然现阶段主要学习平面几何，但需让学生知道这些结论的适用范围。 题型一 对顶角的概念与性质 【例1】下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的知识，掌握对顶角的定义是解题关键．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据此定义进行判断即可. 【详解】解：A、和是对顶角，故本选项符合题意； B、和不是对顶角，故本选项不符合题意； C、和不是对顶角，故本选项不符合题意； D、和不是对顶角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】如图，直线，被直线所截，且，则的对顶角与的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查补角、对顶角，解题的关键是掌握：对顶角相等、如果两个角的和等于，则这两个角互为补角．据此解答即可． 【详解】解：如图，设的对顶角为， ∴， ∵， ∴， ∴与的关系是互补， 即的对顶角与的关系是互补． 故选：B． 【变式1-2】如图，直线、相交于点，，垂足为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角度的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键． 由于对顶角相等，得出，结合，进行角度的和差计算，得出的度数即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 同位角、内错角、同旁内角 【例2】下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：A、是内错角，正确； B、不是内错角，错误； C、不是内错角，错误； D、不是内错角，错误； 故选：A． 【变式2-1】如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可． 【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意， 故选：A． 【变式2-2】如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义、三线八角的定义，由定义得，∠3的同位角等于，∠3的内错角等于，∠3的同旁内角等于，即可求解． 【详解】解：， ∠3的同位角等于， ∠3的内错角等于， ∠3的同旁内角等于， 故答案为：，，，． 题型三 图形的平移 【例3】下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】A 【分析】本题考查了平移的定义，理解平移的定义：物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变是解题的关键． 根据平移的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：∵平移的定义是物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变. 选项A：升降电梯从一楼升到五楼，是沿直线移动，电梯本身形状不变，符合平移； 选项B：卫星绕地球运动，是圆周运动，方向不断变化，不符合平移； 选项C：树叶从树上随风飘落，运动轨迹不规则，且常有旋转，不符合平移； 选项D：纸张沿着中线对折，是对称折叠，形状改变，不符合平移. ∴属于平移的是A， 故选：A． 【变式3-1】如图所示的是某公司徽标图案．在下列选项中，能由此徽标通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移后图形的形状、大小、方向均不改变，仅位置变化是解题的关键． 本题根据平移的性质，逐个判断选项中的图形是否与原徽标保持一致的形状、大小和方向． 【详解】解： A、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； B、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； C、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； D、图形的形状、大小、方向均与原徽标一致，仅位置改变，符合平移的性质，符合题意． 故选：D． 【变式3-2】如图，是由沿射线方向平移得到的，若的周长为，则四边形的周长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，可得出等于的长度，则四边形的周长可转化为的周长与和的长度和，据此可解决问题． 【详解】解：由平移可知， ，， 的周长为16cm， ， ， 即四边形的周长为． 故答案为：． 题型四 基本事实 【例4】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短这一基本事实在生活中的应用，解题的关键是理解每个生活、生产现象背后的数学原理，并判断是否符合“垂线段最短”． 依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释． 【详解】A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合； C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合． 故选：D． 【变式4-1】下列生活，生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（  ） A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上． B．测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直． C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程． D．利用圆规可以比较两条线段的大小关系． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是对“两点之间，线段最短”，“两点确定一条直线”以及“垂线段最短”的理解．根据“两点之间，线段最短”，“两点确定一条直线”以及“垂线段最短”进行分析，即可得出结果． 【详解】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上根据的是“两点确定一条直线”，故A选项错误； 测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直根据的是“垂线段最短”，故B选项错误； 把弯曲的公路改直，就能缩短路程根据的是“两点之间，线段最短”，故C选项正确； 利用圆规可以比较两条线段的大小关系根据的是线段的和差，故D选项错误； 故选：C． 【变式4-2】小明在复习《第3章图形的初步认识》和《第4章相交线和平行线》时，总结的这两章的基本事实如下：①两点确定一条直线；②两点之间直线最短；③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等，两直线平行．他总结的正确的基本事实的序号为 ． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查直线，线段，垂直的性质，平行公理和平行线的判定，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【详解】解：①两点确定一条直线，正确； ②两点之间直线最短，错误，应为两点之间线段最短； ③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ④过一点有且只有一条直线与这条直线平行，错误，应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤同位角相等，两直线平行，正确． 故答案为：①③⑤ 题型五 相交线的计算 【例5】如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式5-1】如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，邻补角，正确求出的度数是解题的关键． 先根据垂直的定义得到，再结合已知条件求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线定义的理解，余角的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键． （1）根据及平分，可求出的度数，进而求出的度数，再根据平分，求出的度数，最后根据解答即可； （2）根据，表示出，再结合平分可表示出、，从而表示，根据平分，表示出，最后根据解答即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ． 题型六 平行线的性质 【例6】含角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线与三角尺的一直角边所在直线相交，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 先根据“两直线平行内错角相等”得，进而求出，再根据三角形内角和定理求出，即可求出，接下来求出，然后根据“两直线平行同位角相等”得出答案． 【详解】解：如图所示，根据题意可知， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 【变式6-1】修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，水渠从C村继续沿方向修建，此时保持与的方向一致，则图中度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查方向角以及平行线的性质，得出角度关系是解题的关键． 首先根据方向角得到平行线关系，再根据同位角相等得到，即可求解得到的度数． 【详解】解：如图，由题可知：，， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】【操作】在白纸上画一个，把一块含有角的直角三角板的直角顶点放在的顶点O上． (1)如图①，当、在的内部时，求与的度数之和； (2)如图②，把直角三角板绕点O旋转，当在的内部，在的外部时，请完成下表，判断与的数量关系，并说明理由； 的度数 的度数 (3)如图③，当、在的外部时，直接写出与的数量关系； (4)作平分，在直角三角板绕点O旋转的过程中，当所在的直线与所在的直线互相平行时，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)，；，理由见解析 (3) (4)或 【分析】本题考查三角板的角度的计算问题，角平分线和平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角度的和差计算即可； （2）利用角度的和差计算即可； （3）利用角度的和差计算即可； （4）分当在内部时和当在内部时，利用角平分线的定义、平行线的性质、角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 表格如下： 的度数 的度数 ，理由如下： ，， ， 即． （3）解：，， ， ， ， ， 即与的数量关系为：； （4）解：①如图，当在内部时， 平分，， ， ，， ， ， ②如图，当在内部时， 平分，， ， ，， ， ， ， 综上，或． 题型七 平移的实际问题 【例7】如图，长方形花园中，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，代数式表示，解题的关键在于将不规则图形面积经过平移形成规则图形面积． 结合图形将不规则图形面积经过平移形成规则图形面积，再结合长方形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：长方形花园中，， 将可绿化部分平移到一起， 可得绿化部分的面积为， 故选：C． 【变式7-1】如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 【答案】176 【分析】本题考查平移的实际应用，掌握通过平移将曲折线段的长度转化为规则线段的长度进行计算是解题的关键． 观察小路的曲折路线，通过平移线段的方法，将横向线段的总长度转化为长方形的长，纵向线段的总长度等于，再将两部分长度相加得到总路线长． 【详解】解：利用平移的方法：路线中横向线段平移后，总长度等于长方形的长； 路线中纵向线段平移后，总长度等于； 因此，总路线长为． 故答案为：176． 【变式7-2】小红的爸爸打算在院子里种上蔬菜，已知院落为东西长，南北宽为的长方形，为了行走方便，要修筑三条道路，东西方向两条，南北方向一条，南北方向道路垂直于东西方向道路（如图a），余下的部分要种上西红柿，设道路的宽为，爸爸打算让小红算一下，用于种菜的面积是多少？小红经过分析后，考虑可以直接求出用于种菜部分的面积，若从平移的角度看，只需把道路均平移到边上去（如图b）不难发现图b中的空白的面积． (1)请你帮小红求出空白部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求种菜的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查长方形的面积公式，整式的混合运算，关键在于平移的性质推出b图中道路的宽和长． （1）如图b，根据平移的性质，东西方向的道路的长为，宽为，则面积为，南北方向道路的面积为，院子的面积为，则空白部分的面积为，然后计算即可； （2）根据（1）所推出的结论，把代入（1）所求出的表达式，即可推出结果． 【详解】（1）∵院落为东西长，南北宽为的长方形， ∴， ∵道路的宽为， ∴东西方向的道路的长为，宽为， ∴面积为， ∴南北方向道路的面积为， ∴空白部分的面积 ． （2）∵空白部分的面积为， ∴当时，空白部分的面积 =． 题型八 平行线与垂线作图 【例8】如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的性质，线段的垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，作直线交于点D，直线即为所求； （2）取格点E，F，作直线即可； （3）取格点G，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 理由：，， ， ， ． 【变式8-1】如图，所有小正方形的边长都为，点均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点______到直线______的距离； (4)比较线段的大小： ______，理由：______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) (4)，垂线段最短 【分析】本题考查了平行线的画法，垂线的画法，线段长的比较，解题的关键是理解有关垂线段的性质及能进行简单的基本作图． ()根据网格的特点直接作平行线即可； ()根据网格的特点直接作垂线即可； ()根据点到直线距离的定义求解； ()根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （4）由垂线段最短可知：． 故答案为：，垂线段最短． 【变式8-2】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．格点P是的边上的一点，仅用无刻度的直尺完成下列各题： (1)过点P画边的垂线，垂足为H； (2)在图中，线段的长度是点P到直线______的距离； (3)在边上任取一点C（不与点H重合），连接，则______（填“”“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离的定义即可求解； （3）根据垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）线段的长度是点P到直线的距离， 故答案为：； （3）如图：， 故答案为：． 题型九 平移作图 【例9】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，线段端点和点P均在格点上． (1)将线段向上平移1格，再向右平移2格，请在图甲中作出经上述两次平移后所得的线段． (2)请在图乙中找一格点E，连结，，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质以及平行线的性质，根据题意结合网格特点画出图形是解题关键． （1）根据平移的性质得出C和D点的位置，作图即可； （2）过点P作，即可得． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，点E即为所求． 【变式9-1】如图，在网格中，已知，请按下列要求画格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）． (1)在图中，将平移，使点落在的边（不包括点和点）上； (2)在图中，将平移，使点落在的内部． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）要将平移，使点落在边（不包括、）上，需确定平移的方向和距离，使得平移后的位置符合要求． （2）要将平移，使点落在内部，同样需确定合适的平移方向和距离来实现． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， 【变式9-2】如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，平行线的性质： （1）根据所给平移方式作图即可； （2）根据平移的性质即可得答案； （3）根据平移的性质得到，则，得到，则，由平移可知，，则，即可得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）图中与既平行又相等的线段有，图中与相等的角有． 故答案为：； （3）由平移可知，， ∴， ∴， ∴， 由平移可知，， ∴， ∴ 题型十 平行线的判定 【例10】完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【变式10-1】如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，余角和补角及垂线的定义，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． （1）根据平分，平分可知，，据此可得出结论； （2）由（1）知，故可得出，再由可知，故可得出结论． 【详解】（1）证明： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ， ． 【变式10-2】如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 题型十一 平行线中的折线模型 【例11】已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式11-1】数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线，，再将三角板放在黑板上，与直线相交于点，改变三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点在直线上，，求的度数； (2)如图2，若点在直线，之间，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查余角的性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）设三角板与直线b的交点为N，根据平行线的性质得到，进而得到，据此求解即可； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：设三角板与直线b的交点为N，如图： ； （2）证明：过点B作，如图： 、 、 ． 【变式11-2】如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：． (2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可； （2）①由（1）得，，然后结合，，求出，然后结合平角的定义求解即可； ②同①的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴； ②由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴． 题型十二 平行线中的角平分线 【例12】在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键 ． （1）由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，推出； （2）过M作，得到，由平行线的性质推得到，同理，由角平分线定义得到，即可求出； （3）由角平分线定义得到，而，得到． 【详解】（1）解：（1）如图1，直线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（2）的证明可得：， ∴． 故答案为：． 【变式12-1】已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）直接根据平行线的判定和性质证明即可； （2）①过点作，可得，由，可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，求解即可； ②如图，过点作．可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得方程组，求解即可． （3）过点作，过点作．设，，同理可知，，进而可得，根据规律可得答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图，过点作， ∴． 由题意可知：， 故可设，则． ∴，，． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，解得：， ∴，． ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作． 由题意可设，则． ∵，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴， 即，解得：， ∴． （3）过点作，过点作． 设，， 同理（2）可得：，， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点， ∴，， 由（2）得， ∴. ∵的角平分线和的角平分线相交于点。 同理可得： ∴， ∴， ∴ 【变式12-2】已知直线，E、F分别为直线上的点，P为直线上方一点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，的角平分线的反向延长线与的角平分线交于点N，试说明：．（不能利用三角形的内角和） (3)如图3，若的角平分线与的角平分线交于点H，的角平分线与的角平分线交于点G，当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)．见解析 【分析】（1）过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求得，再证明，利用两直线平行，内错相等求得，据此即可求解； （2）过点P作，过点N作，推出，由平分，平分，设，，求得，，据此即可证明结论； （2）过点H作，过点P作，过点G作，推出，由平分，设，同（2）用表示相关的角，计算角的和差即可求解． 【详解】（1）解：过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点P作，过点N作， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 而， ∴； （3）解：．理由如下， 过点H作，过点P作，过点G作， ∵， ∴， ∵平分， ∴设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，解题的关键是学会利用参数表示各个角之间的关系解决问题． 题型十三 平行线中的动点求t 【例13】在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 【答案】（1）；（2）40或100；（3）15 或105 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理． （1）先由平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到； （2）当在上方时，延长交于T，先由平行线的性质得到，则，当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有，据此求解即可； （3）分解析中两种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分以下两种情况： 如图所示，当在上方时，延长交于T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有， ∴； 综上所述，当旋转到时，t的值是40或100； （3）分以下两种情况： 如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，设直线分别交、于P、T， 此时，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 综上：所有满足条件的t的值为15 或105． 【变式13-1】将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值是20或； (3)或． 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，一元一次方程的应用等知识，也体现了数形结合的思想，读懂题，熟悉条件，理解题意是解题的关键． （1）根据角的和与差即可解答； （2）分两种情况：在的左边和右边，根据列方程即可解答； （3）分情况画出图形，根据两直线平行内错角相等列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图①，，， 如图②，当时，；    故答案为：，； （2）解：分两种情况： ①如图1，当在的左边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在的右边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； 综上，t的值是20或； （3）解：如图，由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图：由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，或． 【变式13-2】如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出与平行时的值． 【答案】(1) (2)①在旋转过程中，若边，的值为或；②的值为或或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、三角板中角度的计算、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出的度数，再由角平分线的定义可得，再由两直线平行，同旁内角互补求出，最后再由，计算即可得解； （2）①分两种情况：当在上方时；当在下方时；分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解；②分情况讨论，分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，当在上方时， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒， ∴， 解得：； 如图，当在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒， ∴此时旋转了， ∴， 解得：； 综上所述，在旋转过程中，若边，的值为或； ②如图，延长与交于点， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图，过点作， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：； 如图，延长与交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，的值为或或． 基础巩固通关测 1．下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项A． 故选：A． 2．下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了几何的基本概念，包括垂线、平行线、点到直线的距离和两点之间距离的定义．掌握以上相关的定义是解题的关键．通过相关定义逐项分析即可． 【详解】A、在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，强调在同一平面内，选项A不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但过直线上一点没有直线与已知直线平行（重合不算平行），选项B不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，而垂线段是图形，选项C不符合题意； D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，选项D符合题意． 故选：D． 3．如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段的长度相等是解题的关键． 根据平移的性质确定平移线段的长度，再将拆分为三段，通过相加计算出的长度． 【详解】解：将三角形沿方向平移得到对应的三角形， ． ， ． 故选：C． 4．如图，，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平角的定义和角平分线的定义可求出的度数，再根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，补角的定义，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可推出，则可证明，得到，再证明，可得到；根据，，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不互补，故③错误； 故选：C． 6． 如图，，，则与的数量关系是 ． 【答案】相等 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与的数量关系是相等． 故答案为：相等． 7．平移10cm得到，如果，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质， 根据平移的性质，图形平移后，对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：52°． 8．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．如图；直线分别与直线相交于点G、H，已知，平分，交直线于点M，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，先由同位角相等，两直线平行得到，再由平行线的性质得到，据此求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，直线分别与直线，相交于点N，M，平分，交直线于点G，若，射线于点G，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算问题，角平分线的有关计算，平行线的判定和性质等知识，根据题意分两种情况，当射线在直线上方时和当射线在直线下方时，画出图形分别求解即可． 【详解】解：根据题意分两种情况： 当射线在直线上方时： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当射线在直线下方时： 同理可得出，， ∴ 综上：的度数为或． 故答案为：或． 11．五彩缤纷的世界之所以美丽，是由于多姿多彩的图形的和谐组合．日常生活中，线条的合理布局为美丽的世界和日常生活增添了亮丽的色彩，如图1、图2． (1)观察图1，你能从图中抽象出一些直线来，并说明它们之间的位置关系吗？从图2中能看到直线与直线之间的什么位置关系，并且说明包含了哪种图形运动． (2)在你生活的周围，你能发现这样美妙的线条组合吗？请以摄影或绘画的形式把它们记录下来，与同学们一起交流，看谁能在平常的生活中发现美丽的数学． 【答案】(1)图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移 (2)答案不唯一，见解析 【分析】本题主要考查垂直的定义和平行线的定义，熟练判断直线位置关系是解题的关键． （1）根据垂直的定义和平行线的定义可直接得出结论； （2）想象生活中的场景，属于垂直或平行关系即可． 【详解】（1）解：图1中支撑桥梁结构的直线与桥梁直线是垂直关系； 图2中楼梯的台阶边缘直线相互平行，电梯的上下运行可看作是平移运动； 故答案为：图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移； （2）生活中这样的线条组合很多，例如：桌角的两条直线属于垂直，铁轨等属于平行，答案不唯一，符合垂直关系或平行关系的直线均可． 12．推理，填空．如图： (1)若，则________________；（内错角相等，两直线平行） (2)若时，则；（两直线平行，同旁内角互补） (3)若时，则．理由：____________________ 【答案】(1) (2) (3)两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键． （1）由利用“内错角相等，两直线平行”，即可得出； （2）由利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可得出； （3）由利用“两直线平行，同位角相等”，即可得出． 【详解】（1）解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：； （2）解：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：； （3）解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：两直线平行，同位角相等． 13．如图，直线、相交于，平分，于点，． (1)求、的度数； (2)写出的补角有________． 【答案】(1)、 (2) 【分析】本题考查余角，补角及角平分线的定义： （1）利用余角和对顶角的性质，即可求出的度数，利用角平分线及补角的性质又可求出的度数． （2）根据补角的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵于点， ∵与是对顶角， ∵平分， ∴、的度数分别为、； （2）解：如图为各个角的度数： ，则其补角为， 故其补角有：． 故答案为：． 14．如图，直线l与直线a、b分别交于点A、B，点E在直线a上，点C和点D在直线b上，连接．若，，则与平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， ________（邻补角的定义）， ________（________）， ________（________________）． ________（________________）． （已知）， ________（等量代换）． （________________）． 【答案】；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了邻补角互补，平行线的性质与判定，先根据以及邻补角互补的性质，证明，再结合平行线的性质，以及，得出，即可得． 【详解】解：（已知）， （邻补角的定义）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 15．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用补角的性质求，即可由平行线的判定定理得出结论； （2）先由得，再结合，得，则，由平行线的性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 能力提升进阶练 1．将一副三角板按如图所示摆放，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质等知识，利用平行线的性质以及三角形的性质求解即可． 【详解】解：由图可知，， ∵， ∴， ， 故选：A． 2．下列说法中正确的个数为（    ） ①直线外一点到这条直线的垂线段的长度是该点到这条直线的距离； ②同位角相等； ③一条直线的中垂线有无数条； ④两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥任意两条直线的位置关系不是相交就是平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据点到这条直线的距离的定义、同位角的定义、线段垂直平分线的定义、对顶角、平行公理、两直线的位置关系逐一判断各说法正误． 【详解】解：∵ ①点到直线的距离定义为垂线段的长度，正确； ∵ ②同位角相等需两直线平行，否则不一定成立，错误； ∵ ③中垂线针对线段，直线无中点，故无中垂线，错误； ∵ ④对顶角需公共顶点且两边互为反向延长线，条件不充分，错误； ∵ ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误； ∵ ⑥在同一平面内，任意两条直线位置关系只有相交或平行，错误； ∴ 正确的个数为1． 故选：A． 3．如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中阴影部分的面积等于长方形的面积，再用长方形的面积减去阴影部分的面积即可得图中空白部分的面积． 【详解】解：根据题意可得：，扇形的面积扇形的面积， 又扇形的面积阴影部分的面积扇形的面积长方形的面积， 故阴影部分的面积长方形的面积， 所以图中空白部分的面积为． 故选：C． 4．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 5．如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用折叠的性质得到相等的角，结合长方形的直角和已知角的度数，求出折叠后相关角的度数；再根据折叠后线段的平行关系，利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠前后对应角相等、两直线平行时同旁内角互补是解题的关键． 6．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射，光线与平面镜的夹角相等．若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，得到，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：两个平面镜是平行的， ， ， ． 故答案为：． 7．如图，，，，则的度数为 . 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（平行于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等），结合角的和差关系求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ，且 ． ，， ． ，， ． 由图可知， 将、代入， 可得， 故答案为：． 【点睛】本题关键在于通过作辅助线，利用平行线的传递性和内错角相等的性质，将已知角与所求角建立联系，进而通过角的和差计算得出结果． 8．如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了平移，理解平移的性质是解题的关键．根据平移能够得到，求得即可求得 【详解】解：由平移，得， ， 可以看作向右平移得到，可以看作向左平移得到， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 【答案】 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短。此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当时，最短． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质和三角形面积公式的应用，解题关键是利用 “垂线段最短” 确定的最短位置，再通过面积法建立等式求解长度． 10．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转的过程中使的的值有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，根据时，分类讨论角度之间的关系列方程是解此题的关键．分四种情况：，，，，，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：设旋转时间为秒后，， 如图1，， ∴， 解得：； 如图2，， 由图得：， 解得：； 如图3，， ∴， 解得：； 如图4，， ∴， 解得：； 如图5，， ∴， 解得：； 综上所述：的值有个． 故答案为：． 11．如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：平分 、 ． 12．如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查网格中计算三角形的面积、作垂线、垂线段最短，解决本题的关键是根据网格准确作图． （1）利用割补法求解可得的面积； （2）根据线的定义，结合网格作图即可得； （3）根据垂线段最短即可完成填空． 【详解】（1）解：． （2）解：如图所示． （3）解：， （垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 13．如图，在的正方形网格中，三角形的三个顶点均在方格图中的格点上，按下列要求画图． (1)在图①中，经过点画出线段的垂线； (2)在图②中，画，使； (3)在图③中，点也在格点上，在线段上找到点，使的长度最小． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（）取格点，作直线即可； （）利用平行线的性质画图即可； （）连接交于点，点即为所求； 本题考查了作图应用与设计作图，掌握相关知识解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①所示，直线即为所求； （2）解：如图②所示，即为所求； （3）解：如图③所示，点即为所求． 14．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，转至后停止旋转；射线绕点逆时针旋转至后停止旋转．若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直？ (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为，则这两个非负数均等于． （1）依据，即可得到,的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直， 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， 解得， 故至少旋转秒时，射线、射线互相垂直； （3）设射线转动秒时，射线、射线互相平行， 如图，射线绕点顺时针先转动秒后，转动至的位置，， ①当到达前，，， ， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当到达后，，，， ， ， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行． 15．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）． (1)若，则______； (2)若点E在的上方，设，则______（用含的式子表示）； (3)当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合． ①当（如图2）时，直接写出______； ②当时，直接写出______； (4)在（3）的条件下，当且点E在直线的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时所有可能的角度数值为______，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①② (4)或或 【分析】（1）根据两角互余，可得与的关系，根据角的和差，可得答案； （2）根据同角的余角相等可得与，可得与的关系，根据互余的两角的关系，可得与的关系； （3）①根据两直线平行，内错角相等可得答案；②根据两直线平行，内错角相等得，根据角的和差可得答案； （4）分当时，当时，当时，三种情况进行解答． 【详解】（1）解： ∵， ∴, ． 故答案为：． （2）解： ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解： ①当时， ∵， ∴， 故答案为：； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （4）解： ①当时， ∵， ∴， ∴； ②当时， ∴； ③当时， 过点C作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的是直角三角板有关计算．熟练掌握直角三角板性质，平行线的判定与性质，互为余角、互为补角的性质，角的和差计算，是解题的关键． 2 / 79 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 相交线与平行线（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述相交线、对顶角、邻补角的概念，会识别图形中的对顶角和邻补角，并能计算对顶角的度数 2. 能复述垂线、垂足、点到直线的距离的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线 3. 能复述平行线的概念，会用符号表示两条直线平行，能识别图形中的平行线 4. 能复述同位角、内错角、同旁内角的概念，会在简单图形中识别出这三类角 5. 能复述平行公理及其推论，会根据平行公理推论判断两条直线是否平行 二、进阶目标 1. 理解并应用对顶角的性质，能运用对顶角相等解决简单的角度计算问题 2. 理解并应用垂线的性质，能运用“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”解决相关问题 3. 会推导平行线的判定方法（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行），并能运用这些判定方法判断两条直线是否平行 4. 会推导平行线的性质（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补），并能运用这些性质解决角度计算问题 5. 能综合运用平行线的判定和性质解决简单的几何证明题和角度计算问题，如已知两直线平行，求相关角的度数；已知角的关系，证明两直线平行 三、拓展目标 1. 理解并应用“垂线段最短”的性质，能解决与点到直线距离相关的实际问题，如测量跳远成绩、确定最短路线等 2. 会运用平移的性质解决图形平移问题，能根据平移前后的图形，确定平移的方向和距离，会画出平移后的图形 3. 能运用相交线与平行线的知识解决稍复杂的几何综合题，如结合角平分线、垂直平分线等知识进行角度计算和证明 4. 能从实际生活中发现并提出与相交线、平行线相关的数学问题，并运用所学知识进行分析和解决，如解决建筑图纸中的平行线设计、道路交叉路口的角度计算等问题 5. 会对相交线与平行线的知识进行梳理和总结，形成知识网络，能运用数学语言清晰、有条理地表达自己的思考过程和解题思路 类别 具体内容 完整分析 常见结论 对顶角相等 当两条直线相交时，会形成两对对顶角。对顶角的本质特征是它们的两边互为反向延长线，这种位置关系决定了它们的角度大小必然相等。这一结论是相交线部分的基础，可直接用于角度的计算和证明，例如已知一个角的度数，能快速得出其对顶角的度数。 邻补角互补 两条直线相交形成的四个角中，相邻的两个角互为邻补角。“邻”指位置相邻，有一条公共边；“补”指数量关系上互补，即两角之和为180°。邻补角不仅在相交线中常见，在后续学习平行线的性质与判定时，也常与其他角的关系结合使用，是角之间数量转换的重要依据。 垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 这里的“一点”包括直线上一点和直线外一点两种情况。“有且只有”体现了垂线的存在性和唯一性，这一性质保证了在平面内，给定一点和一条直线后，能确定唯一的垂线，为后续学习点到直线的距离等知识奠定基础。 垂线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段的长度是最短的。这条性质揭示了点到直线距离的本质，即点到直线的垂线段的长度，在解决最短路径等实际问题中有着广泛的应用。 同位角相等，两直线平行 当两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。同位角是位置相同的角（在截线同侧，被截线同一方向），这一结论是判断两条直线平行的重要方法之一，是从角的关系推出线平行的关键依据。 内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行。内错角位于截线两侧，被截线之间，呈“Z”字形。该结论同样是平行线判定的重要定理，通过识别内错角并证明其相等，可得出线平行的结论。 同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补（两角之和为180°）时，两直线平行。同旁内角在截线同侧，被截线之间，呈“U”字形。此判定方法与前两种类似，都是通过角的数量关系来判定直线的位置关系。 两直线平行，同位角相等 如果两条直线平行，那么它们被第三条直线所截得的同位角相等。这是平行线的一条基本性质，是由线平行推出角相等，与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理，在角度计算和证明中经常交替使用。 两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。该性质与平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”互为逆定理，是平行线性质体系中的重要组成部分，用于由平行关系得出内错角的数量关系。 两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。此性质与“同旁内角互补，两直线平行”互为逆定理，揭示了平行线被截后同旁内角之间的数量关系，即它们的和为180°。 平行于同一条直线的两条直线互相平行 如果直线a平行于直线b，直线c也平行于直线b，那么直线a平行于直线c。这一结论体现了平行线的传递性，它可以将多条直线的平行关系联系起来，简化复杂图形中的平行判定。 易错点 对顶角、邻补角的概念混淆 对顶角是“相对”的角，两边互为反向延长线，数量关系是相等；邻补角是“相邻”的角，有一条公共边，另一边互为反向延长线，数量关系是互补。学生容易误认为相邻的角就是对顶角，或者对顶角一定互补，需要通过图形对比和实例辨析来区分。 忽略垂直的前提条件 在运用“垂线段最短”时，容易忽略“垂线段”这一前提，误将连接点与直线的任意线段都当作最短距离。实际上，只有当线段与已知直线垂直时，其长度才是最短的，其他斜线段都比垂线段长。 混淆平行线的判定与性质 判定是“由角定线”，即根据角的相等或互补关系判断两条直线是否平行；性质是“由线定角”，即已知两条直线平行，得出角的相等或互补关系。学生常出现用性质去判定，或用判定去推性质的逻辑错误，需要明确题目的已知条件和求证目标来区分使用。 对“三线八角”中角的位置关系判断错误 在复杂图形中，难以准确辨认同位角、内错角、同旁内角。关键在于找到截线和被截线：同位角在截线同侧，被截线同一方；内错角在截线两侧，被截线之间；同旁内角在截线同侧，被截线之间。学生容易因找错截线或被截线而导致角的类型判断失误。 认为“相等的角就是同位角（或内错角），互补的角就是同旁内角” 相等或互补的角不一定就是具有特定位置关系的同位角、内错角或同旁内角。这些角的定义不仅包含数量关系，更重要的是位置关系。例如，两个直角相等，但它们不一定是同位角，需要结合它们在图形中的位置来判断。 运用平行公理的推论时出错 平行公理的推论是“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，这里强调的是“都平行于第三条直线”。学生可能会错误地推广到“如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行”，在平面内这是正确的，但在空间中不一定成立，而七年级下册主要研究平面几何，需注意前提是在同一平面内（虽然教材可能默认，但思维上需严谨）。 画图时不规范，导致判断失误 在解决几何问题时，学生如果画图不标准，线条不平行、角度不准确，可能会直观上误判角的关系或直线的位置关系。例如，将不平行的直线画成平行，或把相等的角画得不等，从而影响后续的推理和计算，培养规范作图习惯很重要。 忽略“在同一平面内”的条件 在学习“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”以及“平行公理”时，教材中通常默认是在同一平面内。但学生容易忽略这一重要前提，实际上在空间中，过一点与已知直线垂直的直线有无数条，不相交的直线也不一定平行（可能异面）。虽然现阶段主要学习平面几何，但需让学生知道这些结论的适用范围。 题型一 对顶角的概念与性质 【例1】下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，直线，被直线所截，且，则的对顶角与的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【变式1-2】如图，直线、相交于点，，垂足为，若，则 ． 题型二 同位角、内错角、同旁内角 【例2】下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 题型三 图形的平移 【例3】下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【变式3-1】如图所示的是某公司徽标图案．在下列选项中，能由此徽标通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，是由沿射线方向平移得到的，若的周长为，则四边形的周长为 ．    题型四 基本事实 【例4】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 【变式4-1】下列生活，生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（  ） A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上． B．测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直． C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程． D．利用圆规可以比较两条线段的大小关系． 【变式4-2】小明在复习《第3章图形的初步认识》和《第4章相交线和平行线》时，总结的这两章的基本事实如下：①两点确定一条直线；②两点之间直线最短；③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤同位角相等，两直线平行．他总结的正确的基本事实的序号为 ． 题型五 相交线的计算 【例5】如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 【变式5-2】点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 题型六 平行线的性质 【例6】含角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线与三角尺的一直角边所在直线相交，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，水渠从C村继续沿方向修建，此时保持与的方向一致，则图中度数为 ． 【变式6-2】【操作】在白纸上画一个，把一块含有角的直角三角板的直角顶点放在的顶点O上． (1)如图①，当、在的内部时，求与的度数之和； (2)如图②，把直角三角板绕点O旋转，当在的内部，在的外部时，请完成下表，判断与的数量关系，并说明理由； 的度数 的度数 (3)如图③，当、在的外部时，直接写出与的数量关系； (4)作平分，在直角三角板绕点O旋转的过程中，当所在的直线与所在的直线互相平行时，直接写出的大小． 题型七 平移的实际问题 【例7】如图，长方形花园中，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 【变式7-2】小红的爸爸打算在院子里种上蔬菜，已知院落为东西长，南北宽为的长方形，为了行走方便，要修筑三条道路，东西方向两条，南北方向一条，南北方向道路垂直于东西方向道路（如图a），余下的部分要种上西红柿，设道路的宽为，爸爸打算让小红算一下，用于种菜的面积是多少？小红经过分析后，考虑可以直接求出用于种菜部分的面积，若从平移的角度看，只需把道路均平移到边上去（如图b）不难发现图b中的空白的面积． (1)请你帮小红求出空白部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求种菜的面积． 题型八 平行线与垂线作图 【例8】如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【变式8-1】如图，所有小正方形的边长都为，点均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点______到直线______的距离； (4)比较线段的大小： ______，理由：______． 【变式8-2】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．格点P是的边上的一点，仅用无刻度的直尺完成下列各题： (1)过点P画边的垂线，垂足为H； (2)在图中，线段的长度是点P到直线______的距离； (3)在边上任取一点C（不与点H重合），连接，则______（填“”“”或“”）． 题型九 平移作图 【例9】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，线段端点和点P均在格点上． (1)将线段向上平移1格，再向右平移2格，请在图甲中作出经上述两次平移后所得的线段． (2)请在图乙中找一格点E，连结，，使得． 【变式9-1】如图，在网格中，已知，请按下列要求画格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）． (1)在图中，将平移，使点落在的边（不包括点和点）上； (2)在图中，将平移，使点落在的内部． 【变式9-2】如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 题型十 平行线的判定 【例10】完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【变式10-1】如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 【变式10-2】如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型十一 平行线中的折线模型 【例11】已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【变式11-1】数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线，，再将三角板放在黑板上，与直线相交于点，改变三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点在直线上，，求的度数； (2)如图2，若点在直线，之间，求证：． 【变式11-2】如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：． (2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 题型十二 平行线中的角平分线 【例12】在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 【变式12-1】已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 【变式12-2】已知直线，E、F分别为直线上的点，P为直线上方一点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，的角平分线的反向延长线与的角平分线交于点N，试说明：．（不能利用三角形的内角和） (3)如图3，若的角平分线与的角平分线交于点H，的角平分线与的角平分线交于点G，当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 题型十三 平行线中的动点求t 【例13】在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 【变式13-1】将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【变式13-2】如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出与平行时的值． 基础巩固通关测 1．下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 3．如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6． 如图，，，则与的数量关系是 ． 7．平移10cm得到，如果，那么的度数是 ． 8．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 9．如图；直线分别与直线相交于点G、H，已知，平分，交直线于点M，则的大小为 ． 10．如图，直线分别与直线，相交于点N，M，平分，交直线于点G，若，射线于点G，则的度数为 ． 11．五彩缤纷的世界之所以美丽，是由于多姿多彩的图形的和谐组合．日常生活中，线条的合理布局为美丽的世界和日常生活增添了亮丽的色彩，如图1、图2． (1)观察图1，你能从图中抽象出一些直线来，并说明它们之间的位置关系吗？从图2中能看到直线与直线之间的什么位置关系，并且说明包含了哪种图形运动． (2)在你生活的周围，你能发现这样美妙的线条组合吗？请以摄影或绘画的形式把它们记录下来，与同学们一起交流，看谁能在平常的生活中发现美丽的数学． 12．推理，填空．如图： (1)若，则________________；（内错角相等，两直线平行） (2)若时，则；（两直线平行，同旁内角互补） (3)若时，则．理由：____________________ 13．如图，直线、相交于，平分，于点，． (1)求、的度数； (2)写出的补角有________． 14．如图，直线l与直线a、b分别交于点A、B，点E在直线a上，点C和点D在直线b上，连接．若，，则与平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， ________（邻补角的定义）， ________（________）， ________（________________）． ________（________________）． （已知）， ________（等量代换）． （________________）． 15．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 能力提升进阶练 1．将一副三角板按如图所示摆放，点在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的个数为（    ） ①直线外一点到这条直线的垂线段的长度是该点到这条直线的距离； ②同位角相等； ③一条直线的中垂线有无数条； ④两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥任意两条直线的位置关系不是相交就是平行． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射，光线与平面镜的夹角相等．若，则的度数为 ． 7．如图，，，，则的度数为 . 8．如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么 cm． 9．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 10．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转的过程中使的的值有 个． 11．如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 12．如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 13．如图，在的正方形网格中，三角形的三个顶点均在方格图中的格点上，按下列要求画图． (1)在图①中，经过点画出线段的垂线； (2)在图②中，画，使； (3)在图③中，点也在格点上，在线段上找到点，使的长度最小． 14．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，转至后停止旋转；射线绕点逆时针旋转至后停止旋转．若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直？ (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 15．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）． (1)若，则______； (2)若点E在的上方，设，则______（用含的式子表示）； (3)当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合． ①当（如图2）时，直接写出______； ②当时，直接写出______； (4)在（3）的条件下，当且点E在直线的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时所有可能的角度数值为______，若不存在，请说明理由． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $