第2章 二元一次方程组（复习讲义）数学新教材浙教版七年级下册

该初中数学二元一次方程组复习讲义通过基础、进阶、拓展三级目标构建知识体系，用表格系统梳理二元一次方程（组）的定义、解的性质等常见结论及7类易错点，清晰呈现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于13类题型的梯度设计，涵盖古代问题（如《孙子算经》“多人共车”）、行程问题等实际应用，培养模型意识与应用意识，通过整体思想、整数解等题型提升运算能力与推理意识。分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学。

第2章 二元一次方程组（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的定义，能判断一个方程是否为二元一次方程，能判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 2. 会用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组（方程中未知数的系数为整数且绝对值较小） 3. 能根据实际问题中的数量关系，设两个未知数，列出二元一次方程组（如行程问题、工程问题、商品销售问题等基础模型） 4. 能检验二元一次方程组的解是否符合实际问题的意义 二、进阶目标 1. 会推导代入消元法和加减消元法的基本原理，能根据方程组的特点选择恰当的消元方法（如未知数系数有倍数关系时优先用加减法，某未知数系数为1或-1时优先用代入法） 2. 理解并应用二元一次方程组解决稍复杂的实际问题，如含参数的问题（已知方程组的解满足某个条件，求参数的值）、方案设计问题（根据不同条件列出方程组并比较最优方案） 3. 能解决含有三个未知数但可转化为二元一次方程组的简单问题（如通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解） 4. 会用二元一次方程组解决几何问题（如与三角形边长、面积相关的计算，根据图形中的等量关系列方程组） 三、拓展目标 1. 理解并应用二元一次方程组解决跨学科问题，如结合物理中的力学（力的平衡、运动学公式）、化学中的物质反应（根据化学方程式列方程组求物质的量）等 2. 会推导二元一次方程组解的情况（唯一解、无解、无数解）的条件，并能根据系数关系判断方程组解的情况 3. 能运用二元一次方程组解决含多个等量关系的复杂实际问题，如分段计费问题、利润最大化问题（结合函数思想分析） 4. 会用二元一次方程组解决古代数学问题（如《九章算术》中的鸡兔同笼、方程问题等，理解古代数学文化与现代方程思想的联系） 类型 具体内容 完整分析 常见结论 1. 二元一次方程的解具有无穷多个 对于一个二元一次方程ax + by = c（a、b不同时为0），给定一个x的值，通常可以求出一个对应的y值，反之亦然，因此它有无数多组解。这些解在平面直角坐标系中表现为一条直线上的所有点的坐标。 2. 二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的一对未知数的值 二元一次方程组由两个二元一次方程组成，其解必须同时满足这两个方程。从几何意义上讲，就是这两个方程所代表的两条直线的交点坐标（当两直线相交时，有唯一解；平行时无解；重合时无数解）。 3. 代入消元法的核心是“消元”，即把二元转化为一元 代入消元法通过将一个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，从而消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。其关键在于选择系数较简单的方程进行变形，以便于代入和计算。 4. 加减消元法的核心是通过加减运算消去一个未知数 当方程组中某一个未知数的系数相等或互为相反数时，直接将两个方程相加或相减，即可消去这个未知数；若系数既不相等也不互为相反数，则需找出这两个系数的最小公倍数，通过方程两边同乘适当的数，使该未知数的系数相等或互为相反数后，再进行加减消元。 5. 解二元一次方程组的基本思想是“消元”，最终转化为一元一次方程求解 无论是代入消元法还是加减消元法，都是为了消除一个未知数，将原方程组简化为一个一元一次方程，解出这个未知数后，再将其代入原方程组中的某个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。 6. 若二元一次方程组中两个方程对应未知数的系数成比例，但常数项不成比例，则方程组无解 例如方程组，若，则两条直线平行，没有交点，所以方程组无解。 7. 若二元一次方程组中两个方程对应未知数的系数及常数项都成比例，则方程组有无数多解 即时，两个方程代表同一条直线，直线上的所有点都是方程组的解，因此有无数多组解。 易错点 1. 忽略二元一次方程定义中的“含有两个未知数”或“未知数的最高次数是1” 例如，方程不是二元一次方程，因为x的次数是2；方程是一元一次方程，因为只含有一个未知数。在判断或构造二元一次方程时，容易忘记这两个关键条件。 2. 解二元一次方程组时，代入或加减后计算出错 在代入消元时，将用含一个未知数的代数式表示另一个未知数代入方程后，去括号、移项、合并同类项等步骤容易出现符号错误或计算失误；加减消元时，若系数不相等或互为相反数，在方程两边同乘一个数时，容易漏乘常数项，导致后续计算错误。 3. 对“方程组的解”理解不透彻，只满足一个方程就认为是解 方程组的解必须同时满足方程组中的所有方程。有些同学在求解后，只将解代入一个方程进行检验，忽略了另一个方程，可能导致得到错误的解。例如，解方程组后，应将x、y的值分别代入两个方程，看左右两边是否都相等。 4. 用加减消元法时，符号处理错误 当两个方程中某个未知数的系数互为相反数时，应将两个方程相加消元；若系数相等，则应相减消元。如果混淆了加减运算，会导致消元错误。例如，方程组，应将两个方程相加消去x，若错误地相减，则无法正确消元。 5. 应用题中，设未知数不明确或等量关系找错 在列二元一次方程组解决实际问题时，有些同学设未知数时没有明确单位，或者没有清晰地表示出两个未知数所代表的量；更常见的错误是不能准确找出题目中的等量关系，导致列出的方程组与实际问题不符，从而无法正确求解。例如，行程问题中，路程、速度、时间的关系混淆，或者工程问题中工作量、工作效率、工作时间的关系找错。 6. 忽略实际问题中未知数的取值范围 二元一次方程组的解在数学上可能是任意实数，但在实际应用题中，未知数往往有特定的取值范围，如人数必须是非负整数，物品数量为正整数等。有些同学求出解后，没有考虑这些实际限制，导致得到不符合实际意义的答案。 7. 解方程组后，忘记写出完整的解 二元一次方程组的解是一对未知数的值，应写成的形式。有些同学在求解过程中，只求出了一个未知数的值，或者虽然两个未知数都求出来了，但没有规范地写出方程组的解，这是不完整的。 题型一 二元一次方程（组）的定义与解 【例1】下列四组数值中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知是方程组的解，则的值是 ． 题型二 三元一次方程（组）的定义与解 【例2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】 小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式2-2】若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 题型三 列二元一次方程组 【例3】李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】某水果种植户今年计划收获苹果和桃子共吨，实际收获了17吨，其中苹果超产，桃子超产．该种植户今年实际收获苹果和桃子各多少吨？设该种植户今年实际收获苹果x吨，桃子y吨，根据题意列方程组得（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】我国民间流传着一道《周瑜寿属》的诗歌形式的数学题，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十比个位正小三，个位六倍与寿符，哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？设个位数字为，十位数字为，根据诗歌内容，则可列方程组为 ． 题型四 二元一次方程组的相反（同）解 【例4】方程组的解满足互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值 ． 【变式4-2】若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 题型五 二元一次方程组的应用—和差倍分问题 【例5】703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【变式5-1】一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是 岁． 【变式5-2】“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 题型六 二元一次方程组的应用—古代问题 【例6】我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，则井深为 尺． 【变式6-2】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 题型七 二元一次方程组的应用—行程问题 【例7】 A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线要，则飞机在无风时的平均速度是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路．如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡每小时行10km，下坡每小时行18km，那么从甲地到乙地需29min，从乙地到甲地需25min．从甲地到乙地的路程是 km． 【变式7-2】男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 题型八 二元一次方程组的应用—工程问题 【例8】“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【变式8-1】甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是 小时． 【变式8-2】汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 题型九 二元一次方程组的应用—销售问题 【例9】某班学生去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么购买甲种票、乙种票的张数分别是（   ） A．17和18 B．20和15 C．18和17 D．15和20 【变式9-1】泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为 ． 【变式9-2】某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖，普通版每套售价12元，手绘版每套售价20元．已知每套普通版的成本比每套手绘版的成本低5元，5套普通版的成本与4套手绘版的成本共110元． (1)求出每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； (2)5套普通版和4套手绘版的总利润为_____元． 题型十 二元一次方程组的整数解 【例10】已知关于的二元一次方程组，给出下列3个结论：①当时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程的解，则；③无论整数取何值，此方程组一定无整数解（均为整数），其中正确的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式10-1】如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为 ； 【变式10-2】已知关于，的方程组 (1)直接写出方程的所有正整数解． (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解． (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 题型十一 解二（三）元一次方程组 【例11】解方程 (1) (2) 【变式11-1】解方程组 (1) (2) 【变式11-2】解下列方程组： (1) (2) 题型十二 二元一次方程组的整体思想 【例12】阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【变式12-1】下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 …… 任务： (1)类比“例1”的方法，解方程组． (2)已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出的值． (3)已知，类比“例2”的方法，求的值． 【变式12-2】【教材呈现】 小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为元、元、元．不难列出方程组： 消去．得 ③ 显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，我们可以在上式中“分离”出，即 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组，将③整体代入④可得，即，所以．像这样将当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问题． 【解决问题】 (1)①请直接写出方程组的解 ②已知当时，代数式，试求当时，代数式的值． (2)已知关于的方程组，试说明无论取何值，的值均不变． (3)已知，则___________． 题型十三 二元一次方程组的新定义 【例13】对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【变式13-1】对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【变式13-2】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，设两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 基础巩固通关测 1．在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若关于，的二元一次方程有一个解是，．则的值为（） A．5 B．4 C．3 D．2 3．已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 4．一列火车以的速度通过一座大桥，从车头开上桥到车尾离开桥一共用了，火车全部在桥上的时间是．设大桥的长度为x米，火车的长度为y米，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于x，y二元一次方程组的解满足，则的值为（  ） A．0 B．2 C．-2 D． 6．已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解： ．（只写一个） 7．已知，用含x的代数式表示y，则 ． 8．如果实数，满足方程组那么 ． 9．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，的值为 ． 10．已知方程组则的值为 ． 11．解下列二元一次方程组： (1) (2) 12．某科技体验馆为升级体验项目，采购虚拟现实（）相关设备．已知采购1个头盔和1副手柄共需花费1000元；采购6个头盔和3副手柄，共花费4200元．请求出头盔和手柄的单价． 13．某一天，水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，随后到水果市场去卖，已知猕猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示： 品名 猕猴桃 芒果 批发价（元/千克） 20 40 零售价（元/千克） 26 50 (1)他购进的猕猴桃和芒果各多少千克？ (2)如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱？ 14．已知关于的方程组和的解相同，求的值． 15．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 能力提升进阶练 1．已知方程组则等于（   ） A．1 B．0 C． D．2 2．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车；二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则总人数为（    ） A．15人 B．39人 C．41人 D．20人 4．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31.5元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需42元，则购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（    ） A．12元 B．10.5元 C．9.5元 D．9元 5．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 6．写出一个解为的二元一次方程组： ． 7．设，当时，；当时，．当时，求的值是 . 8．若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是 ． 9．若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为 ． 10．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，在三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 11．解下列方程组： (1)； (2)． 12．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元． (1)求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售共20台，其中甲型微波炉a台，甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润率为．为了促销，公司决定甲型微波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金m元，若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关．则m的值应为多少？ 13．为落实城乡供应链协同改革，某电商平台搭建“乡村直供”通道，助力农产品进城．现有两种规格的农产品礼盒：甲礼盒包含4斤优质苹果和2斤红枣，乙礼盒包含3斤优质苹果和5斤红枣． (1)若打包6个甲礼盒和8个乙礼盒，一共需要优质苹果和红枣各多少斤？ (2)该平台从乡村合作社收购优质苹果共110斤，红枣共90斤，恰好全部用于打包这两种礼盒，求甲、乙两种礼盒各打包了多少个？ 14．已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用5辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货31 吨，某物流公司现有35 吨货物，计划同时租用A型车 a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 15．如图1，已知甲、乙两个圆柱形量筒（量筒厚度忽略不计）的底面半径分别为和，高均为，并都装有一定量的水，甲的水位高，乙的水位高．现从甲倒一部分水到乙，甲的水位降低． (1)若，倒水后甲、乙的水位高度相等，则倒水后甲的水位高多少？ (2)如图2，倒水后将乙放入甲的底部． ①当倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，乙放入甲之后，两量筒内的水位高度恰好相等，求x的值． ②若要使乙放入甲之后，甲、乙水位的高度之比为，且均为整数，求h的值． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 二元一次方程组（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的定义，能判断一个方程是否为二元一次方程，能判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 2. 会用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组（方程中未知数的系数为整数且绝对值较小） 3. 能根据实际问题中的数量关系，设两个未知数，列出二元一次方程组（如行程问题、工程问题、商品销售问题等基础模型） 4. 能检验二元一次方程组的解是否符合实际问题的意义 二、进阶目标 1. 会推导代入消元法和加减消元法的基本原理，能根据方程组的特点选择恰当的消元方法（如未知数系数有倍数关系时优先用加减法，某未知数系数为1或-1时优先用代入法） 2. 理解并应用二元一次方程组解决稍复杂的实际问题，如含参数的问题（已知方程组的解满足某个条件，求参数的值）、方案设计问题（根据不同条件列出方程组并比较最优方案） 3. 能解决含有三个未知数但可转化为二元一次方程组的简单问题（如通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解） 4. 会用二元一次方程组解决几何问题（如与三角形边长、面积相关的计算，根据图形中的等量关系列方程组） 三、拓展目标 1. 理解并应用二元一次方程组解决跨学科问题，如结合物理中的力学（力的平衡、运动学公式）、化学中的物质反应（根据化学方程式列方程组求物质的量）等 2. 会推导二元一次方程组解的情况（唯一解、无解、无数解）的条件，并能根据系数关系判断方程组解的情况 3. 能运用二元一次方程组解决含多个等量关系的复杂实际问题，如分段计费问题、利润最大化问题（结合函数思想分析） 4. 会用二元一次方程组解决古代数学问题（如《九章算术》中的鸡兔同笼、方程问题等，理解古代数学文化与现代方程思想的联系） 类型 具体内容 完整分析 常见结论 1. 二元一次方程的解具有无穷多个 对于一个二元一次方程ax + by = c（a、b不同时为0），给定一个x的值，通常可以求出一个对应的y值，反之亦然，因此它有无数多组解。这些解在平面直角坐标系中表现为一条直线上的所有点的坐标。 2. 二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的一对未知数的值 二元一次方程组由两个二元一次方程组成，其解必须同时满足这两个方程。从几何意义上讲，就是这两个方程所代表的两条直线的交点坐标（当两直线相交时，有唯一解；平行时无解；重合时无数解）。 3. 代入消元法的核心是“消元”，即把二元转化为一元 代入消元法通过将一个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，从而消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。其关键在于选择系数较简单的方程进行变形，以便于代入和计算。 4. 加减消元法的核心是通过加减运算消去一个未知数 当方程组中某一个未知数的系数相等或互为相反数时，直接将两个方程相加或相减，即可消去这个未知数；若系数既不相等也不互为相反数，则需找出这两个系数的最小公倍数，通过方程两边同乘适当的数，使该未知数的系数相等或互为相反数后，再进行加减消元。 5. 解二元一次方程组的基本思想是“消元”，最终转化为一元一次方程求解 无论是代入消元法还是加减消元法，都是为了消除一个未知数，将原方程组简化为一个一元一次方程，解出这个未知数后，再将其代入原方程组中的某个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。 6. 若二元一次方程组中两个方程对应未知数的系数成比例，但常数项不成比例，则方程组无解 例如方程组，若，则两条直线平行，没有交点，所以方程组无解。 7. 若二元一次方程组中两个方程对应未知数的系数及常数项都成比例，则方程组有无数多解 即时，两个方程代表同一条直线，直线上的所有点都是方程组的解，因此有无数多组解。 易错点 1. 忽略二元一次方程定义中的“含有两个未知数”或“未知数的最高次数是1” 例如，方程不是二元一次方程，因为x的次数是2；方程是一元一次方程，因为只含有一个未知数。在判断或构造二元一次方程时，容易忘记这两个关键条件。 2. 解二元一次方程组时，代入或加减后计算出错 在代入消元时，将用含一个未知数的代数式表示另一个未知数代入方程后，去括号、移项、合并同类项等步骤容易出现符号错误或计算失误；加减消元时，若系数不相等或互为相反数，在方程两边同乘一个数时，容易漏乘常数项，导致后续计算错误。 3. 对“方程组的解”理解不透彻，只满足一个方程就认为是解 方程组的解必须同时满足方程组中的所有方程。有些同学在求解后，只将解代入一个方程进行检验，忽略了另一个方程，可能导致得到错误的解。例如，解方程组后，应将x、y的值分别代入两个方程，看左右两边是否都相等。 4. 用加减消元法时，符号处理错误 当两个方程中某个未知数的系数互为相反数时，应将两个方程相加消元；若系数相等，则应相减消元。如果混淆了加减运算，会导致消元错误。例如，方程组，应将两个方程相加消去x，若错误地相减，则无法正确消元。 5. 应用题中，设未知数不明确或等量关系找错 在列二元一次方程组解决实际问题时，有些同学设未知数时没有明确单位，或者没有清晰地表示出两个未知数所代表的量；更常见的错误是不能准确找出题目中的等量关系，导致列出的方程组与实际问题不符，从而无法正确求解。例如，行程问题中，路程、速度、时间的关系混淆，或者工程问题中工作量、工作效率、工作时间的关系找错。 6. 忽略实际问题中未知数的取值范围 二元一次方程组的解在数学上可能是任意实数，但在实际应用题中，未知数往往有特定的取值范围，如人数必须是非负整数，物品数量为正整数等。有些同学求出解后，没有考虑这些实际限制，导致得到不符合实际意义的答案。 7. 解方程组后，忘记写出完整的解 二元一次方程组的解是一对未知数的值，应写成的形式。有些同学在求解过程中，只求出了一个未知数的值，或者虽然两个未知数都求出来了，但没有规范地写出方程组的解，这是不完整的。 题型一 二元一次方程（组）的定义与解 【例1】下列四组数值中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每个选项的和的值代入方程验证是否成立即可；本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：选项A：， ，代入方程得，不满足方程， ∴选项A不符合题意． 选项B：， ，代入方程得，不满足方程， ∴选项B不符合题意． 选项C：， ，代入方程得，不满足方程， ∴选项C不符合题意． 选项D：， ，代入方程得，满足方程， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【变式1-1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”判断即可． 【详解】解：A．中，不是整式方程，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； B．符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意； C．含有三个未知数，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； D．未知数的次数是2，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】已知是方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把代入，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 三元一次方程（组）的定义与解 【例2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 【变式2-1】 小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的解，根据方程解的概念将方程的解代入未抄错的方程中得出关于c的方程和得出关于a、b的方程组是解此题的关键．根据方程组的解的定义得到关于a、b、c的方程组，再进一步运用加减消元法求解，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意把代入原方程组，得， 把代入，得， 可组成方程组， 解得， 则． 故选：D． 【变式2-2】若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 题型三 列二元一次方程组 【例3】李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 由题意得：， 解得：， ∴10个碗叠成一列高度为， 即将10个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有． 故选：C． 【变式3-1】某水果种植户今年计划收获苹果和桃子共吨，实际收获了17吨，其中苹果超产，桃子超产．该种植户今年实际收获苹果和桃子各多少吨？设该种植户今年实际收获苹果x吨，桃子y吨，根据题意列方程组得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 实际收获苹果吨和桃子吨，总和为吨；计划收获总量为吨，通过超产百分比反推计划产量，得到第二个方程．根据实际收获总量和超产百分比列出方程组． 【详解】解：设实际收获苹果吨，桃子吨， 故选：D． 【变式3-2】我国民间流传着一道《周瑜寿属》的诗歌形式的数学题，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十比个位正小三，个位六倍与寿符，哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？设个位数字为，十位数字为，根据诗歌内容，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组． 根据诗歌内容，“十比个位正小三”表示十位数字比个位数字小3，即；“个位六倍与寿符”表示个位数字的六倍等于年龄，年龄是两位数即，所以； 进而列二元一次方程组即可． 【详解】解：由“十比个位正小三”得； 由“个位六倍与寿符”得； 故方程组为． 故答案为：． 题型四 二元一次方程组的相反（同）解 【例4】方程组的解满足互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，相反数的定义． 根据相反数的定义得到，两方程相加得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】∵互为相反数， ∴， ， 得，即， ∴， 解得， 故选：A． 【变式4-1】已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由与互为相反数，得，代入原方程组，得到关于和的方程，解出的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 将代入方程组得： 化简得： ， 得：， 解得： 故答案为． 【变式4-2】若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组方法是解题关键． （1）由题意得出并解出即可； （2）把代入方程组求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：与的解相同， ， 解得， 两个方程组的相同解为． （2）解：把代入方程组， 得， 解得， ． 题型五 二元一次方程组的应用—和差倍分问题 【例5】703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，根据“女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人， 依题意，得：，解得：． 故选：B． 【变式5-1】一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是 岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据题意得，解方程即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小雅爷爷是岁，小雅是岁， 依题意得， 解得， ∴小雅的年龄是岁， 故答案为：． 【变式5-2】“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【答案】每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元，根据3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元，2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 题型六 二元一次方程组的应用—古代问题 【例6】我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；根据题意，每3人坐一车有2辆空车，可得；每2人坐一车有9人步行，可得，据此对照选项即可． 【详解】解：设共有x人，y辆车， 由题意得：， 故选：C． 【变式6-1】以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，则井深为 尺． 【答案】11 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设井深x尺，绳总长为y尺，根据将绳三折测之，绳多五尺；将绳四折测之，绳多一尺建立方程组求解即可． 【详解】解：设井深x尺，绳总长为y尺， 由题意得， ， 解得， ∴井深为11尺， 故答案为：11． 【变式6-2】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】有5人，物价为28钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设有x人，物价为y钱，根据“每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱”列出方程组并求解． 【详解】解：设有x人，物价为y钱， 由题意可得，， 解得． 答：有5人，物价为28钱． 题型七 二元一次方程组的应用—行程问题 【例7】 A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线要，则飞机在无风时的平均速度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速是解题的关键．设飞机无风时的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，根据飞机顺风速度时间路程，飞机逆风速度时间路程，列方程组进行求解． 【详解】解：设飞机无风时的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时， 由题意得，， 解得，， 答：飞机无风时的平均速度为765千米/时， 故选：C． 【变式7-1】从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路．如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡每小时行10km，下坡每小时行18km，那么从甲地到乙地需29min，从乙地到甲地需25min．从甲地到乙地的路程是 km． 【答案】6.5 【分析】设单程在平路上用的时间是，依据题意，从甲地到乙地的上坡路程与从乙地到甲地的下坡路程相等，可得出等量关系，进而列出方程，从而解出方程并得出结论． 【详解】解：设单程在平路上用的时间是，则从甲地到乙地在上坡路上用的时间是，从乙地到甲地在下坡路上用的时间是． 根据题意，得， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的运算是解题的关键． 【变式7-2】男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程、一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法及时间相同，路程比等于速度比． ()设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为米，由等量关系列出方程组，即可得解； （）由()知男运动员的速度是女运动员速度的倍，可设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈，利用男运动员追上女运动员时多跑圈，由等量关系列出方程组，即可得解． 【详解】（1）解：（1）设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为． 由题意，得 ， 解得 ， ∴男运动员的速度是女运动员的倍． （2）设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈， 根据题意，得 ， 解得． ∴男运动员追上女运动员时，女运动员跑了圈． 题型八 二元一次方程组的应用—工程问题 【例8】“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建，雨天每天修建，他们连续修建了，平均每天修建，那么这几天中有几天雨天（    ） A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天， 根据题意得， 解得 ∴这几天中有8天雨天． 故选：C． 【变式8-1】甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是 小时． 【答案】9 【分析】考查二元一次方程组的应用，得到两个工作量1的等量关系是解决本题的关键．设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，等量关系为：甲用型机器的工作量用型机器的工作量；乙用型机器的工作量用型机器的工作量，把相关数值代入求得两个时间，相加即为完成任务需要时间． 【详解】解：甲用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件； 乙用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件， 设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，则由题意可得： ， 解得， 甲完成任务所用的时间是9小时， 故答案为：9． 【变式8-2】汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【答案】(1) (2)原计划42天完成，废铜总数为5400吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、 列出方程组是解题的关键． （1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：设原计划天完成，这批废铜共有吨， 由每天处理150吨，可提前6天完成，则；每天处理120吨，将延误3天完成，则； 所以． （2）解：， 可得：，解得：， 将代入①可得：吨． 答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 题型九 二元一次方程组的应用—销售问题 【例9】某班学生去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么购买甲种票、乙种票的张数分别是（   ） A．17和18 B．20和15 C．18和17 D．15和20 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确审题，根据题目条件，找出合适的等量关系是解题的关键． 设甲、乙两种票各买张，张，根据“35名学生购票恰好用去了750元”，作为等量关系列方程组即可求解． 【详解】解：设甲种票买张，乙种票买张， 由题意，得：， 解得：． 所以设甲种票买20张，乙种票买15张． 故选：B ． 【变式9-1】泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为 ． 【答案】100元、150元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元，根据第一次和第二次购进的费用列出二元一次方程组，通过消元法求解． 【详解】解：设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元， 根据题意，得方程组： 解得： 故第一次购进A种茶每盒100元，B种茶每盒150元， 故答案为：元，元． 【变式9-2】某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖，普通版每套售价12元，手绘版每套售价20元．已知每套普通版的成本比每套手绘版的成本低5元，5套普通版的成本与4套手绘版的成本共110元． (1)求出每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； (2)5套普通版和4套手绘版的总利润为_____元． 【答案】(1)每套普通版明信片的成本价是10元，每套手绘版明信片的成本价是15元 (2)30 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，正确理解题意列出方程组和算式是解题的关键． （1）设每套普通版明信片的成本价为x元，每套手绘版明信片的成本价为y元，根据每套普通版的成本比每套手绘版的成本低5元，5套普通版的成本与4套手绘版的成本共110元建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求求出两种明信片的总售价，再用总售价减去总成本价即可得到总利润． 【详解】（1）解：设每套普通版明信片的成本价为x元，每套手绘版明信片的成本价为y元， 由题意得，， 解得， 答：每套普通版明信片的成本价为10元，每套手绘版明信片的成本价为15元； （2）解：， ∴5套普通版和4套手绘版的总利润为30元． 题型十 二元一次方程组的整数解 【例10】已知关于的二元一次方程组，给出下列3个结论：①当时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程的解，则；③无论整数取何值，此方程组一定无整数解（均为整数），其中正确的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与解法，掌握二元一次方程组的解法是解题关键． 根据二元一次方程组的解法逐个判断即可． 【详解】解：结论①：当时， 方程组变为， 两方程矛盾，无解，故①正确． 结论②：原方程组的解需满足． 解原方程组：，得： ． 将代入，化简得： ， 解得，故②正确． 结论③：∵，且均为整数， ∴为4的因数，即， ∴对应的整数值为， 此时没有k的值满足为整数． 因此无论取何整数，方程组均无整数解，故③正确． 综上，①②③均正确，即正确的有3个． 故选A． 【变式10-1】如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为 ； 【答案】，，， 【分析】利用加减消元法消去x表示出y，根据y为整数，确定出整数m的值即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 由y为整数，得到，，，， ∵m为整数， ∴，，，， 故答案为：4，，，． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 【变式10-2】已知关于，的方程组 (1)直接写出方程的所有正整数解． (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解． (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解； （2）当含项为零时，取，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， ∴， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：，． （2）解：， ， ∴当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴是的约数， ∴或， 故或． 【点睛】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． 题型十一 解二（三）元一次方程组 【例11】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先化简，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：，得③ ，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组化简，得 ，得， 解得． 把代入③， 解得， ∴原方程组的解为： 【变式11-1】解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组． （1）先将第二个方程去分母简化，然后使用加减消元法求解； （2）通过加减消元先求出，得到关于和的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 将第二个方程乘以2，得 ，即 方程组化为 用第一个方程减去第二个方程，得 ，解得 将 代入 ，得 ，解得 ∴原方程组的解为 （2）解： ①+②，得 将④代入③，得 ，解得 将 代入①，得 将 代入②，得 ⑥-⑤，得 将 代入⑤，得 ∴原方程组的解为 【变式11-2】解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）先化简方程组，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得：③ 得： 解得， 将 代入 得：，即 解得 ∴原方程组的解为； （2）解：     原方程组可变形为：， 得： 解得， 将 代入 得：， 解得 ∴原方程组的解为 ． 题型十二 二元一次方程组的整体思想 【例12】阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【详解】（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 【变式12-1】下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 …… 任务： (1)类比“例1”的方法，解方程组． (2)已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出的值． (3)已知，类比“例2”的方法，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）类比于“例1”的方法可进行求解； （2）将方程①变形为，然后代入②可进行求解； （3）将方程①变形为，然后可得，，进而问题可求解 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得． 把代入②，得． 所以原方程组的解为； （2）解：， 将方程①变形为③， 把②代入③，得， 得． （3）解：， 将方程①变形为③， 将②代入③，得， 解得． 把代入②，得． 所以． 【变式12-2】【教材呈现】 小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为元、元、元．不难列出方程组： 消去．得 ③ 显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，我们可以在上式中“分离”出，即 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组，将③整体代入④可得，即，所以．像这样将当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问题． 【解决问题】 (1)①请直接写出方程组的解 ②已知当时，代数式，试求当时，代数式的值． (2)已知关于的方程组，试说明无论取何值，的值均不变． (3)已知，则___________． 【答案】(1)①；② (2)详见解析 (3)27 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，整体代入是解题的关键． （1）①根据整体代入法即可求解； ②根据已知条件，将代入代数式，可得，再将代入代数式，可得，再根据即可求解； （2）根据加减消元法，即可求解； （3）通过对已知的两个方程进行适当的乘法运算后相减，构造出与相关的式子，进而求解． 【详解】（1）解：①将整体代入，可得，解得， 将代入，可得， ∴方程组的解为； ②将代入代数式，可得， ∴， 将代入代数式，可得， ∵， ∴； （2）解：， 可，得， ∴无论取何值，的值均不变． （3）解：设：⑨，⑩， 给，得， 给，得， ， ， ， ． 题型十三 二元一次方程组的新定义 【例13】对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 【变式13-1】对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 【变式13-2】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，设两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 【答案】(1)25 (2)或 (3)2 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用． （1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于的二元一次方程组，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“关联方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得； （2）解：根据题意，可得或， 解两个二元一次方程组，可得或， ∴的值为或； （3）解：解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程和是“关联方程”， ∴， 解得． 基础巩固通关测 1．在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的定义；根据二元一次方程组的定义，需满足：①共含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成解答即可． 【详解】解：∵方程组含有两个未知数，且每个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组中，第一个方程不是整式方程，未知数次数不为1，不是二元一次方程组； 方程组含有两个未知数，且每个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组； 方程组中，第一个方程为二次方程，不是一次方程，不是二元一次方程组； ∴二元一次方程组有2个． 故选：A． 2．若关于，的二元一次方程有一个解是，．则的值为（） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握将方程的解代入方程可得到关于未知参数的方程是解题的关键． 将方程的解代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：是方程的解， ， 解得， 故选：A． 3．已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程，将方程进行正确的变形是解答本题的关键． 将方程通过移项和除法变形为用表示的形式． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 4．一列火车以的速度通过一座大桥，从车头开上桥到车尾离开桥一共用了，火车全部在桥上的时间是．设大桥的长度为x米，火车的长度为y米，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，从车头开上桥到车尾离开桥的路程为大桥的长度加上火车的长度，即米，火车全部在桥上的路程为大桥的长度减去火车的长度，即为米，再根据路程等于速度乘以时间列出方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 5．已知关于x，y二元一次方程组的解满足，则的值为（  ） A．0 B．2 C．-2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．由①②得，故，进而推断出，再求解即可． 【详解】解：． ①②，得． ． 又关于，的二元一次方程组的解满足， ． ． 故选：B． 6．已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解： ．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的整数解，求出时的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得， ∴二元一次方程的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一） 7．已知，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数，然后利用等式的性质求解． 【详解】解：由移项，得． 故答案为：． 8．如果实数，满足方程组那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． 通过解方程组求出和的值，再计算的值，最后求其次幂即可． 【详解】解：解方程组 两式相加得 ，解得； 将代入 得； ； ． 故答案为：． 9．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及负整数指数幂的运算，将方程组的解代入方程求出a和b，再计算的值． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入得：， 解得：，即， 将，代入得：， 即， ∴． 故答案为：． 10．已知方程组则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解答的关键是结合方程的特点，看出可整体求出其值． 将方程组中的两个方程相加，即可直接求出的值. 【详解】解：给定方程组： 将两个方程相加，得：， 化简，得：， 两边同时除以，得：， 故答案为：． 11．解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． （1）根据代入消元法，将②变形为：代入①即可求得，再将代入①，即可求解； （2）根据代入消元法，将②变形为：代入①即可求得，再将代入③，即可求解． 【详解】（1）解：由②，得， 把代入①，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解是 （2）由②，得，③ 把②代入①，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 12．某科技体验馆为升级体验项目，采购虚拟现实（）相关设备．已知采购1个头盔和1副手柄共需花费1000元；采购6个头盔和3副手柄，共花费4200元．请求出头盔和手柄的单价． 【答案】VR头盔单价为400元，VR手柄单价为600元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程组求解．设VR头盔单价为x元，VR手柄单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设VR头盔单价为x元，VR手柄单价为y元，则由题意，得 ，解得， 答：VR头盔单价为400元，VR手柄单价为600元． 13．某一天，水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，随后到水果市场去卖，已知猕猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示： 品名 猕猴桃 芒果 批发价（元/千克） 20 40 零售价（元/千克） 26 50 (1)他购进的猕猴桃和芒果各多少千克？ (2)如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱？ 【答案】(1)购进猕猴桃20千克，购进芒果30千克 (2)能赚420元钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设购进猕猴桃x千克，购进芒果y千克，由总价单价数量结合老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据利润销售收入成本，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购进猕猴桃千克，购进芒果千克， 根据题意得：， 解得：， 答：购进猕猴桃20千克，购进芒果30千克． （2）解：（元）． 答：如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚 420 元钱． 14．已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组和的解相同， 得出这两个方程组的解也是方程组的解，然后解方程组，得出，将代入原方程组得出，求出a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：因为方程组和的解相同， 所以这两个方程组的解也是方程组的解． 解得， 将代入方程组得， 解得， 所以． 15．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的错解复原问题，根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此求出a、b的值，再利用加减消元法解原方程组即可得到答案． 【详解】解：甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得， ，． ，． ∴原方程组为 得 ， 解得， 把代入得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 能力提升进阶练 1．已知方程组则等于（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体思想，掌握通过方程组中方程的直接相减，快速得到目标式子的值是解题的关键． 通过两方程相减可直接得到的值． 【详解】解：∵方程组， ∴， 即． 故选：D． 2．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁 ∵ 今年子女年龄和， 两年后爸爸年龄为岁， 且， 化简得：， 联立方程： ， ② − ①得：， ， 代入①得：. 故原方程组的解为 ∴ 哥哥岁，妹妹岁； 故选：B. 3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车；二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则总人数为（    ） A．15人 B．39人 C．41人 D．20人 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设有辆车，乘车人数为人，根据今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设有辆车，总人数为人， 依题意得：， 解得：， 即总人数为39人， 故选：B． 4．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31.5元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需42元，则购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（    ） A．12元 B．10.5元 C．9.5元 D．9元 【答案】B 【分析】设铅笔、练习本、圆珠笔的单价分别为、、元，根据题意列出方程组，求出的值． 【详解】解：设铅笔每支元，练习本每本元，圆珠笔每支元． 根据“购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元”， 可得：①； 根据“购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元”， 可得：②． 用②①可得： 即：． 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设出未知数，列出方程组，再通过方程组的变形求出所需的结果． 5．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 6．写出一个解为的二元一次方程组： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据给定的解，构造两个二元一次方程，使得解满足方程即可． 【详解】解：计算，得到方程； 计算，得到方程． 因此，方程组为． 故答案为（答案不唯一） 7．设，当时，；当时，．当时，求的值是 . 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把x与y的两对值代入等式列出方程组，求出方程组的解即可得到k与b的值．再代入求y的值． 【详解】解：把时，；当时，代入等式得： ， 解得：，． 即， 当时，． 故答案为：． 8．若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和二元一次方程的解的应用，将方程组的解代入方程是解题的关键． 通过解二元一次方程组，用k表示x和y，再将解代入二元一次方程中求解k的值即可． 【详解】解：解方程组得． 将解代入得，即， ， 解得． 故答案为2． 9．若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为 ． 【答案】－10 【分析】本题考查了解三元一次方程组，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据新定义运算，列出关于a，b，c的方程组，通过消元法求解a，b，c的值，再代入计算5△7的值． 【详解】解：由题意，得 ，得④， ，得，即⑤， ，得，解得， 将代入④，得，解得， 将，代入①，得，解得， ∴方程组的解为 因此，． 故答案为：． 10．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，在三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，列出二元一次方程，由此求解即可． 【详解】解：由题意得：， ． 故答案为：0． 11．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： 把②代入①可得：， 解得：， 把代入②得：， 原方程组的解为； （2）解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为 12．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元． (1)求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售共20台，其中甲型微波炉a台，甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润率为．为了促销，公司决定甲型微波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金m元，若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关．则m的值应为多少？ 【答案】(1)甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元 (2)100 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、整式加减的应用，理解题意是解题的关键． （1）设甲型号微波炉每台进价为元，乙型号微波炉每台进价为元，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）设全部售出购进的微波炉所获得的利润为元，则，再根据与a无关，得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲型号微波炉每台进价为元，乙型号微波炉每台进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元； （2）解：设全部售出购进的微波炉所获得的利润为元， 则 ， 由题意得，与a无关， ∴， 解得， ∴m的值应为100． 13．为落实城乡供应链协同改革，某电商平台搭建“乡村直供”通道，助力农产品进城．现有两种规格的农产品礼盒：甲礼盒包含4斤优质苹果和2斤红枣，乙礼盒包含3斤优质苹果和5斤红枣． (1)若打包6个甲礼盒和8个乙礼盒，一共需要优质苹果和红枣各多少斤？ (2)该平台从乡村合作社收购优质苹果共110斤，红枣共90斤，恰好全部用于打包这两种礼盒，求甲、乙两种礼盒各打包了多少个？ 【答案】(1)优质苹果48斤，红枣52斤 (2)甲礼盒20个，乙礼盒10个 【分析】此题考查了有理数混合运算的实际应用，二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确找到题目中等量关系． （1）根据题意列式求解即可； （2）设甲礼盒个，乙礼盒个，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：优质苹果：（斤）， 红枣：（斤）， 答：需要优质苹果48斤，红枣52斤； （2）解：设甲礼盒个，乙礼盒个， 得   解得 答：甲礼盒20个，乙礼盒10个． 14．已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用5辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货31 吨，某物流公司现有35 吨货物，计划同时租用A型车 a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A车运3吨，1辆B车运4吨 (2)租用1辆A，8辆B或租用5辆A，5辆B或租用9辆A，2辆B (3)租用1辆 A，8辆B，最少租车费为2120元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设1辆A车运x吨，1辆B车运y吨，根据题意列方程组，然后解方程组即可解答； （2）根据题意，租用a辆 A，b辆B，满足：，结合a、b值为非负整数确定a、b值即可； （3）分别求出每个方案的租车费用，比较大小后可得答案． 【详解】（1）解：设1辆A车运x吨，1辆B车运y吨， 根据题意，列方程组： 解得， 答：1辆A车运3吨，1辆B车运4吨； （2）解：根据题意，租用a辆 A，b辆B，满足：， ∵a、b为非负整数， ∴或或， 故有三种租车方案：租用1辆A，8辆B或租用5辆A，5辆B或租用9辆A，2辆B； （3）解：租金：A：200元/次，B：240元/次， 计算各方案费用： 租用1辆A，8辆B费用为（元）， 租用5辆A，5辆B费用为（元）， 租用9辆A，2辆B费用为（元）， ∴最省钱方案为租用1辆 A，8辆B，最少租车费为2120元． 15．如图1，已知甲、乙两个圆柱形量筒（量筒厚度忽略不计）的底面半径分别为和，高均为，并都装有一定量的水，甲的水位高，乙的水位高．现从甲倒一部分水到乙，甲的水位降低． (1)若，倒水后甲、乙的水位高度相等，则倒水后甲的水位高多少？ (2)如图2，倒水后将乙放入甲的底部． ①当倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，乙放入甲之后，两量筒内的水位高度恰好相等，求x的值． ②若要使乙放入甲之后，甲、乙水位的高度之比为，且均为整数，求h的值． 【答案】(1) (2)①；②12 【分析】本题考查圆柱的体积，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用及二元一次方程的正整数解，掌握利用方程的思想解决实际问题是解题的关键． （1）先计算甲的水位降低时倒出的水的体积，再计算乙的底面积，林用倒出的水的体积除以乙的底面积可得答案；得出甲的水位为：，乙的水位为：，再由甲，乙的水位高相等建立方程，解方程可得答案； （2）①由题意可得：倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，则，可得乙的水位的高度为，再利用甲的高度也是，列方程，再解方程可得答案；②由乙的水位高为，放入甲后甲的水位高为：，再利用乙放入甲之后，甲、乙水位的高度之比为，列方程，利用二元一次方程的正整数解可得答案． 【详解】（1）解：∵甲的底面半径为，甲的水位降低， ∴倒出的水的体积为：， ∵乙的底面半径， ∴乙的水位增加：， ∴甲的水位为：，乙的水位为：， ， ， ， ， 即甲的水位高为：． （2）解：①由题意可得：倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，则，可得乙的水位的高度为， ， ， ， ． ②由题意得：乙的水位高为，放入甲后甲的水位高为：， ， ， ， ∵为正整数， ∴时，．而时，不合题意舍去， ∴的值为： 12 ． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $