第4章 平行四边形 能力评价 2025-2026学年数学浙教版八年级下册

第4章 平行四边形 能力评价 (满分：120分　时间：120分钟)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 一、 选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.下列图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，其中属于中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 2.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件中，不能判定其为平行四边形的是(　　) A.AB=CD，AD=BC B.AB∥CD，AB=CD C.OA=OC，OB=OD D.AB∥CD，AD=BC 3.如图，顺次连结图中六个点，得到所示图形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为(　　) A.180° B.270° C.360° D.720° 　　　 4.如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC的中点，BD平分∠ABC，交EF于点D。若AE=3，BC=8，则边DF的长为(　　) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 5.如图，在▱ABCD中，AB⊥AC。若AB=8，AC=12，则BD的长是(　　) A.14 B.16 C.18 D.20 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形。若A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)，则▱ABCO的周长为(　　) A. B. C.4 D.6＋2 7.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点。若∠DAC=20°，∠ACB=66°，则∠FEG的度数为(　　) A.18° B.21° C.22° D.23° 8.已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾， ②因此假设不成立，∴∠B＜90°， ③假设在△ABC中，∠B≥90°， ④由AB=AC，得∠B=∠C＞90°，即∠B＋∠C＞180°， 这四个步骤正确的顺序应是(　　) A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 9.如图，P为▱ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形各边于E，F，G，H四点。若S四边形AHPE=3，S四边形PFCG=5，则S△DPB=(　　) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 10.如图，BD为▱ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，有下列结论：①CE=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；⑤BH2＋BG2=AG2。其中正确的是(　　) A. ①②④ B.②③⑤ C. ①⑤ D.③④ 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)若一个九边形的8个外角的和为200°，则它的第9个外角的度数为°。  12.(3分)如图，在▱ABCD中，点F，E分别在边AD，BC上，若要使AE=CF，则需添加的条件是(填一个即可)。  13.(3分)用反证法证明命题“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应先假设。  14.(3分)如图，在▱ABCD中，若AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为。  15.(3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，B(1，1)。若平移点B到点D，使四边形OADB是平行四边形，则点D的坐标为。  16.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AC=5，点D在边BC上。若以AD，CD为边，AC为对角线，作▱ADCE，则对角线DE的长的最小值为。  三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE至点F，使EF=2DE，连结FC。求证：四边形BCFE是平行四边形。 18.(8分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在CD，CB的延长线上，直线EF与对角线BD平行，并交AD于点H，交AB于点G。求证：EG=FH。 19.(8分)如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，O均在格点上。 (1)(3分)在图1中，作一个各顶点均在格点上的▱ABCD，使得O为对角线交点。 (2)(5分)在图2中，作一个各顶点均在格点上的▱A1B1C1D1，使其面积等于8，且该平行四边形的一条边长等于其一条对角线长；并求出此时该平行四边形的周长。 20.(8分)数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的。 小红同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD=OB，连结AD，CD(如图)，并写出了如下尚不完整的已知和求证。 已知：如图，在四边形ABCD中，OD=OB，OA=。  求证：四边形ABCD是四边形。  (1)(2分)补全已知和求证(在方框中填空)。 (2)(6分)小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程(可以用小红的思路，也可以用其他方法)。 21.(8分)如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，交CD于点M，延长CF，交AB于点N。 (1)(4分)求证：四边形CMAN是平行四边形。 (2)(4分)已知DE=4，FN=3，求BN的长。 22.(10分)如图，在▱ABCD中，M，N是对角线BD的三等分点。 (1)(5分)求证：四边形AMCN是平行四边形。 (2)(5分)若AM⊥BD，AD=13，BD=18，求CD 的长。 23.(10分)如图，在△ABC的边BC的同侧分别作等边三角形ABD，BCF和ACE。 (1)(4分)求证：△ABC≌△DBF。 (2)(4分)求证：四边形AEFD是平行四边形。 (3)(2分)若AB=3，AC=4，BC=5，则∠DFE的度数为°。  24.(12分)已知在▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1 cm的速度从点A向点D运动。 (1)(3分)如图1，在运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB=BP，求∠ABC的度数。 (2)(3分)如图2，在(1)的条件下，连结CP并延长，与BA的延长线相交于点F，连结DF。若CD=2 cm，直接写出：△DPF的面积为cm2。  (3)(6分)如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时，点Q也停止，设运动时间为t(t＞0)秒。若AD=12 cm，则当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 平行四边形 能力评价 (满分：120分　时间：120分钟)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 一、 选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.下列图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，其中属于中心对称图形的是(　B　) A. B. C. D. 2.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件中，不能判定其为平行四边形的是(　D　) A.AB=CD，AD=BC B.AB∥CD，AB=CD C.OA=OC，OB=OD D.AB∥CD，AD=BC 3.如图，顺次连结图中六个点，得到所示图形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为(　C　) A.180° B.270° C.360° D.720° 　　　 第3题答图 【解析】 如答图，连结AD，设AF与DE相交于点G。 ∵∠E＋∠F＋∠EGF=180°，∠DAG＋∠ADG＋∠AGD=180°， ∴∠E＋∠F＋∠EGF =∠DAG＋∠ADG＋∠AGD。 又∵∠EGF=∠AGD，∴∠E＋∠F=∠DAG ＋∠ADG， ∴∠GAB＋∠B＋∠C＋∠CDG＋∠E＋∠F=∠GAB＋∠B＋∠C＋∠CDG＋∠DAG＋∠ADG=∠DAB＋∠B＋∠C＋∠CDA=360°。 4.如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC的中点，BD平分∠ABC，交EF于点D。若AE=3，BC=8，则边DF的长为(　B　) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 【解析】 ∵E是AB的中点，AE=3， ∴AE=BE=3。 ∵E，F分别是AB和AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EF=BC=4， ∴∠EDB=∠DBC。 ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=ED=3。 ∴DF=EF－ED=4－3=1。 5.如图，在▱ABCD中，AB⊥AC。若AB=8，AC=12，则BD的长是(　D　) A.14 B.16 C.18 D.20 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12， ∴OA=AC=6，BD=2OB。 ∵AB⊥AC，AB=8， ∴OB==10， ∴BD=2OB=20。 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形。若A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)，则▱ABCO的周长为(　D　) A. B. C.4 D.6＋2 【解析】 ∵A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)， ∴OC=，OA=3， ∴▱ABCO的周长=2×(3)=6＋2。 7.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点。若∠DAC=20°，∠ACB=66°，则∠FEG的度数为(　D　) A.18° B.21° C.22° D.23° 【解析】 ∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点， ∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线， ∴GF綊AD，GE綊BC， ∴∠FGC=∠DAC=20°， ∠EGC=180°－∠ACB=114°， ∴∠FGE=∠FGC＋∠EGC=134°。 ∵AD=BC，∴GF=GE， ∴∠FEG=(180°－∠FGE)=23°。 8.已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾， ②因此假设不成立，∴∠B＜90°， ③假设在△ABC中，∠B≥90°， ④由AB=AC，得∠B=∠C＞90°，即∠B＋∠C＞180°， 这四个步骤正确的顺序应是(　D　) A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 9.如图，P为▱ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形各边于E，F，G，H四点。若S四边形AHPE=3，S四边形PFCG=5，则S△DPB=(　B　) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 【解析】 显然四边形EPGD，GPFC，AHPE，PHBF均为平行四边形， ∴S△DEP=S△DGP=S▱DEPG， ∴S△PHB=S△PBF=S▱PHBF。 又∵S△ADB=S△EPD＋S▱AHPE＋S△PHB＋S△DPB，① S△BCD=S△PDG＋S▱PFCG＋S△PFB－S△DPB。② ①－②，得0=S▱AHPE－S▱PFCG＋2S△DPB， 即2S△DPB=5－3=2， ∴S△DPB=1。 10.如图，BD为▱ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，有下列结论：①CE=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；⑤BH2＋BG2=AG2。其中正确的是(　B　) A. ①②④ B.②③⑤ C. ①⑤ D.③④ 【解析】 ∵∠DBC=45°，DE⊥BC， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴BE=DE。 ∵BF⊥CD，∴∠C＋∠CBF=90°。 又∵∠BHE＋∠CBF=90°， ∴∠BHE=∠C。 ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，②正确。 在△BEH和△DEC中， ∵ ∴△BEH≌△DEC(AAS)， ∴BH=DC，HE=CE。 ∵现有条件无法证明H是DE的中点， ∴不能确定CE=BE，①错误。 ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD，∴AB=BH，③正确。 ∵∠BHD=90°＋∠EBH，∠BDG=90°＋∠BDE，∠BDE=∠DBE＞∠EBH， ∴∠BDG＞∠BHD，④错误。 ∵BF⊥CD，AB∥CD， ∴∠ABG=90°， ∴在Rt△ABG中，AB2＋BG2=AG2。 又∵AB=BH， ∴BH2＋BG2=AG2，⑤正确。 综上所述，正确的是②③⑤。 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)若一个九边形的8个外角的和为200°，则它的第9个外角的度数为　160　°。  12.(3分)如图，在▱ABCD中，点F，E分别在边AD，BC上，若要使AE=CF，则需添加的条件是　BE=DF(答案不唯一)　(填一个即可)。  13.(3分)用反证法证明命题“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应先假设　a，b都不能被5整除　。  14.(3分)如图，在▱ABCD中，若AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为　10　。  【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB=4，AD=BC=6。 ∵AC的垂直平分线交AD于点E， ∴EA=EC， ∴DE＋EC=DE＋EA=AD=6， ∴△CDE的周长=DE＋EC＋DC=10。 15.(3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，B(1，1)。若平移点B到点D，使四边形OADB是平行四边形，则点D的坐标为　(1，1)　。  【解析】 ∵点A(，0)， ∴OA=。 又∵四边形OADB是平行四边形， ∴BD=OA=，BD∥OA。 又∵点B(1，1)， ∴点D(1，1)。 16.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AC=5，点D在边BC上。若以AD，CD为边，AC为对角线，作▱ADCE，则对角线DE的长的最小值为　3　。  【解析】 ∵∠B=90°，BC=4，AC=5，∴AB=3。 ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴OD=OE，CD∥AE， ∴当OD的长取最小值时，线段DE的长取最小值，易知当OD⊥BC时，OD的长最小。 ∵CD∥AE，∠B=90°， ∴此时DE=AB=3。 三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE至点F，使EF=2DE，连结FC。求证：四边形BCFE是平行四边形。 证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE=BC，DE∥BC， 即EF∥BC。 又∵EF=2DE，∴EF=BC， ∴四边形BCFE是平行四边形。 18.(8分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在CD，CB的延长线上，直线EF与对角线BD平行，并交AD于点H，交AB于点G。求证：EG=FH。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD。 又∵EF∥BD， ∴四边形FBDH为平行四边形， ∴FH=BD。 ∵EF∥BD，AB∥DC， ∴四边形BDEG是平行四边形， ∴BD=EG，∴EG=FH。 19.(8分)如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，O均在格点上。 (1)(3分)在图1中，作一个各顶点均在格点上的▱ABCD，使得O为对角线交点。 (2)(5分)在图2中，作一个各顶点均在格点上的▱A1B1C1D1，使其面积等于8，且该平行四边形的一条边长等于其一条对角线长；并求出此时该平行四边形的周长。 解：(1)如答图1，连结BO并延长到格点D，使OB=OD，连结AO并延长到格点C，使OA=OC，连结BC，CD，AD，则四边形ABCD即为所求。 第19题答图1 (2)如答图2，▱A1B1C1D1即为所求。 第19题答图2 由勾股定理得，A1D1==2， ∴该平行四边形的周长为2(A1D1＋A1B1)=2×(4＋2)=8＋4。 20.(8分)数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的。 小红同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD=OB，连结AD，CD(如图)，并写出了如下尚不完整的已知和求证。 已知：如图，在四边形ABCD中，OD=OB，OA=　OC　。  求证：四边形ABCD是　平行　四边形。  (1)(2分)补全已知和求证(在方框中填空)。 (2)(6分)小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程(可以用小红的思路，也可以用其他方法)。 解：(2)在△ABO与△CDO中， ∵ ∴△ABO≌△CDO(SAS)， ∴AB=CD，∠BAO=∠DCO， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形。 21.(8分)如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，交CD于点M，延长CF，交AB于点N。 (1)(4分)求证：四边形CMAN是平行四边形。 (2)(4分)已知DE=4，FN=3，求BN的长。 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，∴CM∥AN。 ∵AM⊥BD，CN⊥BD， ∴AM∥CN， ∴四边形AMCN是平行四边形。 (2)∵四边形AMCN是平行四边形， ∴CM=AN。 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，CD∥AB， ∴DM=BN，∠MDE=∠NBF。 在△MDE和△NBF中， ∵ ∴△MDE≌△NBF(AAS)， ∴BF=DE=4。 在Rt△BNF中，BN==5。 22.(10分)如图，在▱ABCD中，M，N是对角线BD的三等分点。 (1)(5分)求证：四边形AMCN是平行四边形。 (2)(5分)若AM⊥BD，AD=13，BD=18，求CD 的长。 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABM=∠CDN。 ∵M，N是对角线BD的三等分点， ∴BM=MN=DN， ∴△АBM≌CDN(SAS)， ∴AM=CN。 同理可证明AN=CM， ∴四边形AMCN是平行四边形。 (2)∵M，N是对角线BD的三等分点， ∴BM=MN=DN=BD=6， ∴DM=MN＋DN=12。 ∵AM⊥BD，AD=13， ∴在Rt△ADM中，由勾股定理得AM==5， ∴在Rt△ABM中，由勾股定理得AB=。 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=。 23.(10分)如图，在△ABC的边BC的同侧分别作等边三角形ABD，BCF和ACE。 (1)(4分)求证：△ABC≌△DBF。 (2)(4分)求证：四边形AEFD是平行四边形。 (3)(2分)若AB=3，AC=4，BC=5，则∠DFE的度数为　150　°。  解：(1)∵△ABD，△BCF是等边三角形， ∴AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠CBF=∠ABD=∠BCF=∠ACE=60°， ∴∠CBA=60°－∠ABF=∠FBD。 在△ABC和△DBF中， ∵ ∴△ABC≌△DBF(SAS)。 (2)∵△ABC≌△DBF， ∴DF=AC。 ∵△ACE是等边三角形， ∴AC=AE，∴DF=AE。 同(1)可得∠ACB=60°－∠ACF=∠ECF。 在△ABC和△EFC中， ∵ ∴△ABC≌△EFC(SAS)， ∴EF=AB=AD， ∴四边形AEFD是平行四边形。 (3)∵AB=3，AC=4，BC=5， ∴BC2=AB2＋AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。 ∵△ABD，△ACE是等边三角形， ∴∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠DAE=360°－∠BAC－∠BAD－∠CAE=150°。 又∵四边形AEFD是平行四边形， ∴∠DFE=∠DAE=150°。 24.(12分)已知在▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1 cm的速度从点A向点D运动。 (1)(3分)如图1，在运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB=BP，求∠ABC的度数。 (2)(3分)如图2，在(1)的条件下，连结CP并延长，与BA的延长线相交于点F，连结DF。若CD=2 cm，直接写出：△DPF的面积为　3　cm2。  (3)(6分)如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时，点Q也停止，设运动时间为t(t＞0)秒。若AD=12 cm，则当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值。 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠APB=∠CBP。 ∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP， ∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP。 ∵AB=BP，∴AB=BP=AP， ∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP=60°， ∴∠ABC=120°。 (2)如答图，设▱ABCD边CD上的高为h1，边BC上的高为h2。 第24题答图 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△CDF=h1·CD=S▱ABCD， S△PBC=h2·BC=S▱ABCD， ∴S△PCD＋S△DPF=S△PAB＋S△PCD=S▱ABCD， ∴S△DPF=S△PAB。 ∵△ABP是等边三角形， ∴S△DPF=S△PAB=×(2)2=3(cm2)。 (3)∵PD∥BQ， ∴当PD=BQ时，四边形PDBQ是平行四边形。 ∵=12(s)，∴0＜t＜12。分情况讨论： ①当0＜t≤3时， 12－t=12－4t，解得t=0(不合题意，舍去)； ②当3＜t≤6时， 12－t=4t－12，解得t=4.8； ③当6＜t≤9时， 12－t=36－4t，解得t=8； ④当9＜t＜12时，12－t=4t－36，解得t=9.6。 综上所述，t为4.8秒或8秒或9.6秒。 学科网（北京）股份有限公司 $