第1章 四边形（单元自测卷）数学新教材湘教版八年级下册

第一章 四边形 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 3．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 4．风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，，点为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比为（    ） A． B． C． D． 7．如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，E在同一直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 10．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 二、填空题：本题共3小题，每小题8分，共计24分. 11．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 ． 12．如图，是菱形的对角线，在上截取，使得，连接，若，则的度数为 ． 13．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为 米． 14．如图，正方形的边长为，，将绕点顺时针旋转得到若，则 ． 15．如图，在矩形中，，，E为边上的一点，将沿翻折，点B恰好落在边上的点F处，则 ． 16．如图，在菱形中，，，点是边上一点，连接，延长交的延长线于点，点是的中点，连接、，则的面积为 ． 17．如图，在菱形中，若，，则的周长是 ． 18．如图，直线，在直线上方作等边，点B，C在直线上，延长AC交直线于点D，在上方作等边，点F在直线上且在点D右边．动点M，N分别在直线，上，且，若，则的最小值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共计66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（6分）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 20．（6分）如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 21．（6分）如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在上，连接，，求证：． 22．（6分）如图，四边形为正方形，点在正方形内部，连接，，是等边三角形，过点作于点，若，求的长． 23．（8分）如图，四边形是正方形，是边上任意一点，于点，且交于点． (1)求证：； (2)连接，，探究线段与的关系并证明． 24．（8分）如图，在中，点为边的中点，．下面是两同学的对话： (1)请选择一位同学的说法，并证明； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．（结果保留根号） 25．（12分）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第103—104页的部分内容． 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半． 下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． 【定理证明】小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、…， 结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】如图②，在中，点是边上的一点，连接．点、点分别是边、的中点．若，则的长为__________． 【拓展提高】如图③，在中，，是的中线，过点作于点，且．若，则的大小是__________度． 26．（14分）在中，，，将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当，时，求的长度； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，线段交线段于点． ①求的度数；（用含的式子表示） ②如图3，当，过点作于点，过点作于点．探究与之间的数量关系是否随变化而变化．若不变，证明与的数量关系；若改变，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章四边形单元自测卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1 2 3 4 5 7 8 9 10 D A B A B C B D 二、填空题：本题共3小题，每小题8分，共计24分. .10273°13,8414.122.415.20.6162317.1218.493 5 四、解答题：本题共8小题，共计66分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19.【详解】证明：，E为AD的中点， ∴.AD=2DE, .1分 .AD=2BC, .DE=BC,… 2分 .AD BC, .四边形BCDE是平行四边形， 3分 ,∠ABD=90°，E为AD的中点， .BE=DE-TAD. 4分 .四边形BCDE是菱形. 6分 20.【详解】证明：：DE‖OC,DO‖EC .四边形DOCE是平行四边形， 2分 ,四边形ABCD是菱形， .DB⊥AC, .3分 .∠DOC=90°， 4分 .四边形DOCE是矩形，… .5分 ∴.OE=DC.… .6分 2L.【详解】证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AC=BD,∠AOE=∠DOF=90°， 1分 .AO=AC=1BD=DO. 2分 在Rt△OAE和Rt△ODF中，AO=DO,AE=DF,3分 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .Rt△OAE≌Rt△ODF HL, .5 .∠AEO=∠DFO.… 6分 22.【详解】解：，四边形ABCD为正方形， .AD=AB=4,∠DAB=900;1分 又△ADE为等边三角形， ∴.AE=AD=4,∠DAE=60, 2分 .∠FAE=30°，… 3分 EF⊥AB, .EF=]AE=2. .4分 ∴.AF=7AE2-EF2=42-2=23, 5分 ..BF=AB-AF=4-23. 6分 23.【详解】(1)证明：，DE⊥AG,BF‖DE, ∴.BF⊥AG ∴.∠AED=∠BFA=90°. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=∠ADC=90°. .∴.∠BAF+∠EAD=90°. ,∠EAD+∠ADE=90, .∴.∠BAF=∠ADE. .∴.△AFB≌△DEA AAS. 2分 .AE=BF.… 3分 (2)DF=CE且DF⊥CE. 4分 证明：，∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°， ∴.∠FAD=∠EDC .△AFB≌△DEA, .'AF=DE. 又，四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD .△FfAD≌△EDC SAS.5分 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DF=CE,∠ADF=∠DCE. 6分 .∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°， ∴.∠DCE+∠CDF=90°， ..DF⊥CE. 7分 综上所述，DF=CE且DF⊥CE。8分 24.【详解】(1)解：选择小星的说法，证明如下： .CMI AB, ∴.CF‖BE,∠FCD=∠EBD,∠CFD=∠BED, ,点D为BC边的中点， .BD=CD ∴.△CDF≌△BDE AAS, 2分 .'.CF=BE, 又，CF‖BE, ∴四边形CEBF为平行四边形， 3分 ,EF⊥BC, ∴四边形CEBF为菱形； …4分 选择小红的说法，证明如下： 'CM‖AB, ∴.CF‖BE,∠FCD=∠EBD,∠CFD=∠BED, 点D为BC边的中点， ..BD=CD .△CDF2△BDE AAS,2分 ∴.CF=BE, 又，CF‖BE, .四边形CEBF为平行四边形，.3分 .CB平分∠MCE, ∴.∠MCB=∠ECB, .CM‖BA, ∴.∠CBE=∠BCF, .∠CBE=∠ECB, 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CE=BE, ∴.四边形CEBF为菱形； …4分 (2)解：四边形CEBF为菱形， ∴EF⊥BC,EF=2DE,BD=BC=3, 5分 :∠ABC=30°， DE-BE,BD-V3DE-Y3. 6分 .DE=1, ∴.EF=2, 芝形CEBF的面秘号F6C=×2×23=23. 8分 25.【详解】[定理证明]证明：延长CD至点E,使DE=CD,连接BE、AE, 则CD三2CE, l分 CD是斜边AB上的中线， .AD=BD-,AB. 2分 又DE=CD,AB与AE相交于点D, ∴.四边形AEBC是平行四边形， 3分 又△ABC是直角三角形， ∠ACB=90 ∴.四边形AEBC是矩形， 4分 ∴.CE=AB, 5分 .D=AB 6分 [定理应用]连接AF, ,AD=AB,点F是BD的中点， 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF⊥BD 又点E是边AC的中点，AC=9 EF=号AC=x9=9 224 9分 [拓展提高]取AB的中点G,连接DG,EG, B :AE⊥BD, AB,BG=EG. ∴.∠B=∠BEG, 又∠BAE=54°， ∴.∠B=90°-∠BAE=36, ∴.∠BEG=∠B=36°， 又AB=2DE .EG=DE, .∠EGD=∠GDE, 又∠BEG是△GED的一个外角， ∴.∠BEG=∠EGD+∠GDE=2∠GDE, 又BD是△ABC的中线， .DG是△ABC的中位线， ..DG BC, .∠DBC=∠GDE, ∴.∠BEG=2∠DBC, 4 DBC=14 BEG=18012分 2 26.【详解】(1)解：由旋转的性质得，∠ACD=a=30°，CD=AC=4, .∠DCB=LACB-∠ACD=900-30°=60°，1分 .AC=BC, 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'CD=BC, .△DCB是等边三角形，2分 .DB=CD=4;3分 (2)解：①由旋转的性质得，∠ACE=B,AC=CE, .∠BCE=∠ACB+∠ACE, ..∠BCE=900+B,4分 .AC=BC, ∴.BC=CE, .∠CEB=LCBE,… 5分 .'∠BCE+∠CEB+∠CBE=180°， 、∠CEB=180°-∠BCE=180°-90+B=450- 2 2 2 6分 ∠BFC=LCEB+LACE=450-B+B=45°+2 7分 ②不变，PQ=号AE, 8分 证明如下： 作CG⊥DQ交DQ的延长线于G,作CI⊥AE于I,如图， 9分 D 4 D F G .·∠DHF=+∠BFC, 6∠DH证=45°+45+=90+ .:∠DHF=∠DQH+∠DQP, 又.∠DQH=90°， k0DH=号 ,AC=CE,CI⊥AE, 6/7 6 学科网好课 单元速记：巧练 www.zxxk.com WWW ZXXKCOM 知识归纳梳理，测试巩固提升 &∠1ICE=∠ACE=号EI=AE, .∠ICE=∠QDH, '∠CIE=∠DGC=90°，CE=AC=DC, ..△DGC2△CIEAAS,1l分 ∴.CG=EI, ∴CG=AE, CP⊥BE,DQ⊥BE, ∴.∠QPC=∠GQP=90°， 又.∠DGC=90, ∴.四边形GQPC为矩形， 13分 ∴.PQ=CG, .PQ-7AE. 14分 命 7/7 第一章 四边形 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项错误； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项错误； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项错误； D.是轴对称图形，是中心对称图形，该选项正确； 故选：D． 2．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 3．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【答案】B 【详解】解：∵矩形的对角线互相平分，菱形的对角线互相平分，正方形的对角线互相平分， ∴三者都具有对角线互相平分的性质． 故选：B． 4．风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：确定旋转对称的角度，图案由三个相同的叶片组成，将平均分成三份，每份对应的中心角为，，旋转、、都能使图案和原图案重合． ， ， ， 不是的整数倍，因此旋转后，图案不会和原图案重合． 故选． 5．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．如图，在矩形中，，，，点为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图所示． ∵， ∴和的面积相等； ∵， ∴和的面积相等； ∵， ∴和的面积相等； ∴空白部分和阴影部分的面积相等， ∴阴影部分面积和矩形的面积的比是． 故选：C． 7．如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 【答案】C 【详解】解：线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段， ， 四边形是矩形，且当时，四边形是正方形， ， 当旋转角度不确定时，不能推出， 故A、B、D结论正确，不符合题意，C结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，E在同一直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知， 则， 所以， ， ． 故选：C． 9．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 10．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：取的中点G，连接．在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 作点B关于的对称点F，连接，交于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，，， ∵， ∴， ∴， 当点Q与点G重合时，，的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 二、填空题：本题共3小题，每小题8分，共计24分. 11．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】10 【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得： ， 解得， 故答案为：10． 12．如图，是菱形的对角线，在上截取，使得，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/73度 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为 米． 【答案】84 【详解】解：∵M、N是、的中点， ∴， 又米， ∴米， 即A、B间的距离约为84米， 故答案为：84． 14．如图，正方形的边长为，，将绕点顺时针旋转得到若，则 ． 【答案】 【详解】解：由旋转可知，， ，，，． 又四边形是正方形， ，， ， 则． 在和中， ， ， ． 令， 则，，． 在中， ， 即， 解得， 即． 故答案为：． 15．如图，在矩形中，，，E为边上的一点，将沿翻折，点B恰好落在边上的点F处，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．如图，在菱形中，，，点是边上一点，连接，延长交的延长线于点，点是的中点，连接、，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接、、过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是的中点 ∴，， ∴， 故答案为：． 17．如图，在菱形中，若，，则的周长是 ． 【答案】 【详解】解：∵在菱形中， ∴，，则， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长是， 故答案为：． 18．如图，直线，在直线上方作等边，点B，C在直线上，延长AC交直线于点D，在上方作等边，点F在直线上且在点D右边．动点M，N分别在直线，上，且，若，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ， ∴， 如图，将沿直线翻折得到，则， ∴， ∴三点共线， 过点作于点连接，过点D作于点G，过点N作于点H， ， ， ， ， ∵，， ∴，， ， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， 的最小值为：， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共计66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（6分）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 【详解】证明：∵E为的中点， ∴， 1分 ∵， ∴， 2分 ∵， ∴四边形是平行四边形， 3分 ∵，E为的中点， ∴， 4分 ∴四边形是菱形． 6分 20．（6分）如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 2分 ∵四边形是菱形， ∴， 3分 ∴， 4分 ∴四边形是矩形， 5分 ∴． 6分 21．（6分）如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在上，连接，，求证：． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， 1分 ∴， 2分 在和中，，， 3分 ∴， 5分 ∴． 6分 22．（6分）如图，四边形为正方形，点在正方形内部，连接，，是等边三角形，过点作于点，若，求的长． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，； 1分 又为等边三角形， ∴，， 2分 ∴， 3分 ∵， ∴， 4分 ∴， 5分 ∴． 6分 23．（8分）如图，四边形是正方形，是边上任意一点，于点，且交于点． (1)求证：； (2)连接，，探究线段与的关系并证明． 【详解】（1）证明：，， ． ． ∵四边形是正方形， ，． ． ， ． ． 2分 ． 3分 （2）且． 4分 证明：，， ． ， ． 又∵四边形是正方形， ． ． 5分 ，． 6分 ， ． ． 7分 综上所述，且． 8分 24．（8分）如图，在中，点为边的中点，．下面是两同学的对话： (1)请选择一位同学的说法，并证明； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．（结果保留根号） 【详解】（1）解：选择小星的说法，证明如下： ∵， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， 2分 ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 3分 ∵， ∴四边形为菱形； 4分 选择小红的说法，证明如下： ∵， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， 2分 ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 3分 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 4分 （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， 5分 ∵， ∴， 6分 ∴， ∴， ∴菱形的面积． 8分 25．（12分）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第103—104页的部分内容． 如图1，画并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半． 下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． 【定理证明】小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、…， 结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】如图②，在中，点是边上的一点，连接．点、点分别是边、的中点．若，则的长为__________． 【拓展提高】如图③，在中，，是的中线，过点作于点，且．若，则的大小是__________度． 【详解】[定理证明]证明：延长至点，使，连接、， 则， 1分 ∵是斜边上的中线， ∴， 2分 又，与相交于点， ∴四边形是平行四边形， 3分 又是直角三角形， ∴四边形是矩形， 4分 ∴， 5分 ∴； 6分 [定理应用]连接， ∵，点是的中点， ∴， 又点是边的中点，， ∴， 9分 [拓展提高]取的中点G，连接，， ∵， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又是的一个外角， ∴， 又是的中线， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴. 12分 26．（14分）在中，，，将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当，时，求的长度； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，线段交线段于点． ①求的度数；（用含的式子表示） ②如图3，当，过点作于点，过点作于点．探究与之间的数量关系是否随变化而变化．若不变，证明与的数量关系；若改变，请说明理由． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，，， ， 1分 ， ， 是等边三角形， 2分 ； 3分 （2）解：①由旋转的性质得，，， ， ， 4分 ， ， ， 5分 ， ， 6分 ； 7分 ②不变，， 8分 证明如下： 作交的延长线于，作于，如图， 9分 ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ，， ， 11分 ， ， ，， ， 又， 四边形为矩形， 13分 ， ． 14分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $