第1章 专题2 正方形中的常见模型-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦四边形专题中正方形的五大常见模型，包括十字、半角、手拉手、一线三垂直及对角线模型。通过图形示例解读模型构造，结合正方形性质引导学生从已知过渡到模型应用，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以模型解读培养几何直观，通过针对训练发展推理能力，结合实例强化模型意识。如半角模型中延长线段构造全等证明EF=BE+DF，十字模型中通过垂直证线段相等。采用模型化教学方法总结结论与应用步骤，助力学生提升解题思路，也为教师提供系统教学资源。

2 第1章　四边形 专题2　正方形中的常见模型 3 模型1 十字模型 【模型解读】如图，分别连接正方形两组对边上的两点，使所得的两条线段垂直（图1中AF⊥BE，图2中AF⊥GE，图3中HF⊥GE）. 构造直角三角形（图中阴影），通过证明两个直角三角形全等可得这两条线段相等，即“若垂直，则相等”. 2 3 4 5 6 7 8 1 1. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF. 其中正确的有 （　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ D 【针对训练】 2 3 4 5 6 7 8 1 5 2. 如图，在正方形ABCD中，E是DC边的中点，FG⊥AE分别交AD，BC边于点F，G. 若AB=4，则FG的长为________. 2 2 3 4 5 6 7 8 1 6 3. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边AD，CD上的点，且AE=DF，AF和BE交于点O，P为AB的中点，则OP=________. 2 3 4 5 6 7 8 1 7 模型2 半角模型 【模型解读】 如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，正方形的边长为a. 可延长CB至G，使BG=DF，证明△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF，得到以下结论： （1）EF=BE+DF； （2）△CEF的周长为2a； （3）FA平分∠DFE，EA平分∠BEF. 2 3 4 5 6 7 8 1 4. 在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°，连接EF. （1）如图1，试判断DF，EF，BE之间的数量关系，并写出证明过程. （2）如图2，连接BD，BD与AF，AE分别 相交于点M，N，若正方形ABCD的边长为 6，BE=2，求DF的长. 【针对训练】 2 3 4 5 6 7 8 1 9 解：（1）EF=BE+DF. 证明：延长EB至G，使BG=DF，连接AG， 如图. 因为四边形ABCD为正方形，所以AB=AD，∠ABE=∠ADF= 90°，所以∠ABG=90°. 在△ADF和△ABG中，所以 △ADF≌△ABG，所以AF=AG，∠DAF=∠BAG. 因为∠EAF=45°，所以∠DAF+∠BAE=45°，所以∠BAG+∠BAE=45°，所以∠EAF=∠EAG. 在△AEF和△AEG中，所以△AEF≌△AEG，所以EF=EG. 又EG=BE+BG，所以EF=BE+DF. 2 3 4 5 6 7 8 1 （2）设DF=x，则FC=6-x. 由（1）可知，EF=x+2. 在Rt△ECF中，CE=6-2=4，由勾股定理，得 42+（6-x）2=（x+2）2，解得x=3. 所以DF=3. 2 3 4 5 6 7 8 1 模型3 手拉手模型 【模型解读】 如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，则：（1）△ADG≌△ABE；（2）DG=BE，且DG⊥BE. 2 3 4 5 6 7 8 1 5. 如图，四边形ABCD和四边形EBGF都是正方形，点A在EG上，若AE2+AG2=10，则正方形ABCD的面积为 （　　） A. 5 B. 10 C. 20 D. 50 【针对训练】 A 2 3 4 5 6 7 8 1 13 6. 如图，G是正方形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H. 若AB=3，AG=3，求EB的长. 解：因为四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，所以AB=AD，AE=AG， ∠DAB=∠EAG，所以∠EAB=∠GAD. 在△AEB和△AGD中， 所以△AEB≌△AGD，所以EB=GD. 因为四边形ABCD 是正方形，AB=3，所以BD⊥AC，AC=BD=AB=6，所以∠DOG=90°，OA=OD=3. 因为AG=3，所以OG=OA+AG=6，所以GD===3，所以EB=3. 2 3 4 5 6 7 8 1 14 模型4 一线三垂直模型 【模型解读】 如图，已知正方形ABCD，过点B，D分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E，F，则△BEC≌△CFD. 2 3 4 5 6 7 8 1 7. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G. 若AD=5，CG=4，则△AEF的面积为 （　　） A. B. C. D. 【针对训练】 C 2 3 4 5 6 7 8 1 16 模型5 对角线模型 【模型解读】 如图，P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点. （1）如图1，连接PA，PC，则PA=PC， △ABP≌△CBP，△ADP≌△CDP. （2）如图2，连接PA，过点P作PE⊥PA， 交BC于点E，则PA=PE. 2 3 4 5 6 7 8 1 8. （新趋势·动点探究题）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，DM=2，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为 （　　） A. 8 B. 8 C. 2 D. 10 【针对训练】 D 2 3 4 5 6 7 8 1 18 19 $