7.2.1三角函数的定义（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

第1课时 三角函数的定义 7.2 任意角的三角函数 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 理解任意角的正弦、余弦、正切的坐标定义，明确 的几何意义，并能计算已知坐标的三角函数值. 熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号规律，能快速判断给定角的三角函数值符号 借助图形分析三角函数的概念，理解符号与象限的关系，培养抽象概括能力和逻辑推理能力. 新课导入 初中的时候我们学过，在一个直角三角形中，如果锐角的对边为，邻边为，斜边为. 则对应的三角函数值为： 当是一个锐角时，上述正弦、余弦与正切，能否通过终边上的点的坐标来定义呢？这种定义的方式能否推广到任意角？ 新知探究 探究一：任意角的正弦、余弦与正切的定义 当是锐角时，它的终边在第一象限内. 在终边上任取一个不同于坐标原点的点，作垂直轴于点，记，则是一个直角三角形. 且 由此可知 . 新知探究 任意角的正弦、余弦与正切可以用类似的方式定义. 在终边上任意取异于原点的点无论是第几象限角或终边在坐标轴上，恒为正数. 问题：如果在终边上换另一个点三角函数值会变吗？ 结合三角形相似知识，易得出： 、、（时） 故三角函数值不会改变 知识小结 任意角的三角函数的定义 设 是任意角 终边上异于原点的任意一点，记 (即点P到原点O的距离，恒有 ,则： 正弦: 余弦: 正切: 即时训练 1．已知角的终边经过点，则_________，________,________． 【分析】根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】由已知得 所以 例题讲解 例1 已知角的终边经过点求和 解:设，则r===． 于是 【 例题讲解 例2 求下列各角的正弦、余弦和正切. 【分析】紧扣任意角三角函数的定义进行解答. (1) 0; (2) π; (3) . 解 ：(1) 角0的终边在x轴正半轴上，在轴的正半轴上取点(1, 0) 所以==1，因此 (2) 角π的终边在x轴负半轴上，在轴的负半轴上取点(-1, 0) 所以==1，因此 例题讲解 （3）角的终边在轴负半轴上，在y轴的负半轴上取点 所以==1，因此 要求，即角的终边不能在轴上。当（）时，无定义. 对于 例题讲解 例3 求的正弦、余弦和正切. 解：如图所示，在的终边上取点P，使得. 作，则在Rt中， 因此，，从而可知P的坐标为，因此 新知探究 探究二：正弦、余弦与正切在各象限的符号 尝试与发现 ②: 由于 ， 的符号与 坐标相同 ③: 的符号由 和 的符号共同决定 如果 是 终边上异于原点的任意一点, ,则： ①: 由于 ， 的符号与 坐标相同 由此我们可以总结出任意角三角函数值在各个象限的正负如下： 新知探究 一、二象限为正 正弦（） 余弦（） 一、四象限为正 正切（） 一、三象限为正 简记口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 知识小结 正弦、余弦与正切在各象限的符号 一全正，二正弦，三正切，四余弦. ①第一象限全为正； ②第二象限只有正弦为正； ③第三象限只有正切为正； ④第四象限只有余弦为正。 即时训练 1．确定下列各三角函数值的符号： (1)； (2)； 【分析】首先确定角所在象限，再根据三角函数的符号规律逐个判断即可． 【详解】（1）因为为第三象限角，可得为负； （2）因为，而为第三象限角， 所以为第三象限角，可得为负. 例题讲解 例4 确定下列各值的符号. （;（; （;（. 解 ：（1） 因为 是第三象限角, 所以 . （2）因为 是第四象限角, 所以 . （3）由 , 可知 是第一象限角, 所以 . （4）由 , 可知 是第三象限角, 所以 . 【分析】先确定角在那个象限，再根据在该象限内三角函数的正负来解答. 例题讲解 例5 设 且 , 确定 是第几象限角. 解：因为 , 所以 的终边在第三、四象限, 或 轴负半轴上; 又因为 , 所以 的终边在第一、三象限. 因此满足 且 的 是第三象限角. 【分析】先确定三角函数的正负，再找出满足这两个三角函数正负的象限即可. 即时训练 1．下列叙述正确的是（ ） A．的角是第二象限的角 B．第二象限的角必大于第一象限的角 C．终边相同的角必相等 D．终边相同的角的同一个三角函数的值相等 【分析】ABC可举出反例，D选项，根据三角函数定义得到D正确. 【详解】A选项，的角是轴线角，不是象限角，A错误； B选项，是第一象限角，是第二象限角，显然，B错误； C选项，与是终边相同的角，说明C错误； D选项，由三角函数定义可知可判断正确. D 巩固提升 2.若是第二象限角，为其终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据三角函数定义相关知识求解. 【详解】因为是第二象限角，为其终边上一点， 所以，， 解得（舍去）或， 所以. B 巩固提升 3．设角的终边经过下列各点，求角的正弦函数值、余弦函数值： （ （ 【分析】根据任意角三角函数的定义：求解 解：（1） ①正弦值: ②余弦值: ③正切值: （= ①正弦值: ②余弦值: ③正切值: 巩固提升 4.确定下列各三角函数值的符号： (1)； (2)； 【分析】首先确定角所在象限，再根据三角函数的符号规律逐个判断即可． 解：（1）因为，而为第四象限角， 所以为第四象限角，可得为负； （2）因为，而为第一象限角， 所以为第一象限角，所以为正. 巩固提升 5．已知角的终边落在直线上，求，，的值. 【分析】分角的终边在第二象限和第四象限两种情况，结合三角函数定义进行求解. 解：直线过第二，第四象限 取直线在第二象限上一点 则，， 取直线在第四象限上一点 则，，. 课堂总结 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 三角函数 人教B版 必修三 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 Designed for Mathematics 任意角的三角函数定义 核心定义 · 符号法则 · 基本关系 1. 一般定义（终边上任意一点） 设角 α 终边上任意一点 P(x, y)，它与原点的距离为 r (r = √x2 + y2 > 0)，则： 正弦 sin α = y r 余弦 cos α = x r 正切 tan α = y x 2. 符号法则（口诀） 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 注：第一象限全为正；第二象限仅sin为正；第三象限仅tan为正；第四象限仅cos为正。 All + sin + tan + cos + 易错点警示 避开陷阱 · 规范表达 1. 忽略定义域 在使用 tan α 时，务必注意 x ≠ 0，即 α ≠ kπ + π2 (k ∈ Z)。 2. 混淆坐标与距离 定义中的 x, y 是终边上点的坐标，可正可负；而 r 是距离，永远为正 (r > 0)。计算时切勿将 r 算成负数。 3. 象限角的符号判断 当角 α 落在坐标轴上时（界限角），某些三角函数值可能为 0 或不存在，不能简单套用象限符号口诀。 解题技巧 方法总结 · 思维模型 01 知一求二（定义法 vs 公式法） 已知 sin α, cos α, tan α 中的一个，求另外两个。 思路：利用同角三角函数关系式。 1. 平方关系：sin2α + cos2α = 1 2. 商数关系：tan α = sin αcos α ⚠️ 注意：开方时要根据角所在的象限判断符号！若象限不明确，需分类讨论。 02 终边相同的角 处理大角或负角问题。 模型：β = α + 2kπ (k ∈ Z) 终边相同的角，其三角函数值相等。即： f(α + 2kπ) = f(α) 用途：将任意角的三角函数转化为 0 到 2π 范围内的角的三角函数。 03 数形结合（单位圆法） 利用单位圆中的三角函数线解决不等式或范围问题。 在单位圆中： sin α 对应点的纵坐标 y cos α 对应点的横坐标 x 当题目涉及 sin α > cos α 这类不等式时，画出单位圆观察终边位置最为直观。 $