精品解析：北京市第十一中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学B卷

北京市第十一中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学B卷 考试时间：120分钟 满分：100分 注意事项： 1．本试卷共3页，共四道大题，24道小题． 2．试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（共9小题，每小题3分） 1. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，设，则，根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的意义即可求出，准确计算是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A. 4 B. C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，且， ∴，且相似比为， ∴与的周长比为：， ∵的周长为8， ∴的周长为16． 故选：C． 3. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数：形如的函数，判断作答即可． 【详解】解：由题意知，不是二次函数，故A不符合要求； 不是二次函数，故B不符合要求； ，是二次函数，故C符合要求； ，不是二次函数，故D不符合要求； 故选：C． 4. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象经过二、四象限 B. 在每个象限内，y随x的增大而增大 C. 当时， D. 函数图象关于原点中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由知，函数图象经过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，函数图象关于原点成中心对称，则可对各选项进行判断，从而确定答案． 【详解】解：知，函数图象经过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，函数图象关于原点成中心对称，故选项A、B、C都错误，选项D正确； 故选：D． 5. 小董参加“吾有所爱，其名华夏”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是9分、8分、10分（每项满分为10分）．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小彩的最终比赛成绩为（ ） A. 9.3分 B. 8.9分 C. 9分 D. 9.6分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵形象、表达、内容三项得分依次按的比例确定最终成绩， ∴最终成绩为：（分）， 故选：B． 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为． ∴新抛物线为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 7. 某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图所示的是该电路中电流与电阻之间的函数关系的图象，则用电阻表示电流的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实际问题列反比例函数关系式．观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（）即可求得k的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为（）， 由图象可知，函数经过点， ∴，得 ∴反比例函数解析式为． 即用电阻R表示电流I的函数解析式为 故选D 8. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况， ∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：. 故选C. 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 如图，二次函数的图象经过点，点，交y轴于点C，给出下列结论：：b：：2：3；若，则；对于任意实数m，一定有；一元二次方程的两根为和，其中正确的结论是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线上的两点坐标可以求出y=ax2+bx+c中a、b、c之间的倍数关系，可以用含有a的代数式表示b、c，再用带入求值法判定其它选项，具体见详解. 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0）， ∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a， ∴b=﹣2a，c=﹣3a， ∴a：b：c=﹣1：2：3，故①正确； 当x=4时，y=a（x+1）（x﹣3）=a•5•1=5a，y=ax2﹣2ax﹣3a=a[（x﹣1）2﹣4]=a（x﹣1）2﹣4a， ∴当0＜x＜4时，则5a＜y＜﹣4a，所以②错误； ∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a[（x﹣1）2﹣4]=a（x﹣1）2﹣4a， ∴顶点坐标为（1，﹣4a）， ∵抛物线开口向下， c=﹣3a， ∴抛物线向下平移﹣4a个单位，则抛物线顶点为（1，0）， ∴平移后的解析式为：y′=ax2+bx+c+4a=ax2+bx﹣3a+4a=ax2+bx+a≤0，故③正确； ∵b=﹣2a，c=﹣3a， ∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0， 整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2= ，所以④正确． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，带入求值是解答关键.. 二、填空题（共8小题，每小题3分） 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解题关键是熟练掌握相关计算法则． 将特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂的运算法则即可得解． 【详解】解：原式， ． 故答案为：． 11. 如图，已知，若添加一个条件使得与相似，则可添加一个条件：____．（只填写一个） 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：（或或）（答案不唯一）． 12. 如图，是反比例函数的图象上任意两点，且轴于点，轴于点，和面积之和为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，设，，用含的式子表示出和面积之和，即可求解，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意两点， ∴设，， ∵轴于点，轴于点， ∴ ，，，， ∵和面积之和， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知是锐角，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数关系可得，即可求解． 【详解】解：根据三角函数关系可得 又∵ ∴ 故答案为 【点睛】本题考查的知识点是锐角三角形的三角函数值，解题关键是熟记三角函数关系． 14. 一抛物线以为顶点，且经过x轴上一点，则该抛物线与y轴交点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与坐标轴的坐标等知识点，利用顶点式求二次函数解析式成为解题的关键． 设抛物线解析式为，然后将代入求得a的值即可确定函数解析式，然后令求得y的值即可解答． 【详解】解：设抛物线解析式为， 将代入可得：，解得， ∴抛物线解析式为， 令，则， ∴抛物线与y轴交点为． 故答案为． 15. 小天想要计算一组数据92，90，94，99，85的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，9，，记这组新数据的方差为，则 _____．（填“”，“”或””） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的性质．根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案． 【详解】一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变， ． 故答案为：． 16. 已知二次函数，当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据的范围得出时，求得函 数的最大值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，的最小值为， ∵， ∴时，取得最大值，最大值为， ∴当时，的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 17. 已知，，，，求的最小值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及二次函数的最值，利用根与系数的关系找出是解题的关键．由题意可知m、n是关于x的方程的两个根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】∵，，且， ∴m、n是关于x的方程的两个根， ∴、， ∴ ∵， ∴当时，取最小值， ∴的最小值． 故答案为6． 三、解答题（共6小题，共49分，解答题需写出详细的解题步骤） 18. 计算： （1）计算：； （2）已知，且，求的值； （3）解方程：． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，比例的性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1） 把特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）根据题意设，得到，，，然后代入求出，然后代入求解即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解：∵， ∴设， ∴，，， ∵ ∴ ∴ ∴ ； 小问3详解】 解： 解得，． 19. 如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长． （2）求塔高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】（1）的长为 （2）塔的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，，， ∴, ∴的长为． 【小问2详解】 解：由题意得，在中，，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为． 20. 某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：)，数据整理如下： a．12名学生的身高∶ 160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171， b．12名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.3 （1）写出表中，的值； （2）现将12 名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 (填“甲组”或“乙组”)； 甲组学生的身高 165 167 167 168 168 171 乙组学生的身高 160 164 164 166 167 169 （3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ． 【答案】（1）， （2）甲组 （3）、 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的求法是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可得出答案； （2）分别计算出甲组、乙组学生身高的方差，进行比较即可得出答案； （3）先计算出已经选择的4名学生的身高的平均数，结合题意分析即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：中位数， 众数； 【小问2详解】 解：甲组学生身高的平均值是， 甲组学生身高的方差是， 乙组学生身高的平均值是， 乙组学生身高的方差是， ∵， ∴舞台呈现效果更好的是甲组； 【小问3详解】 解：∵， ∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和． 21. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线一个交点为，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为． （1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式； （2）当时，根据函数图象，求自变量的取值范围； （3）若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为；反比例函数解析式为； （2）或 （3） 【解析】 【分析】此题考查一次函数和反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与几何综合问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）联立反比例函数与一次函数解析式求得交点坐标，进而根据函数图象，写出一次函数在反比例函数图象下方的自变量取值范围，即可求解； （3）过点作轴于点，通过三角形的面积计算，即可求出，即可求出点坐标． 【小问1详解】 解：∵在双曲线上， ∴， ∴反比例函数解析式为； 将，代入， ∴ 解得： ∴一次函数解析式为 【小问2详解】 解：联立 解得：或 ∴一次函数解析式为与反比例函数解析式为在第三象限的交点坐标为， 根据函数图象可得，当时，或 【小问3详解】 过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∵，当时，，即， ∴ 22. 如图，在中，是上的高，且，矩形的顶点F、G在边上，顶点E、H分别在边上． （1）设，矩形的周长为y，求y关于x的函数解析式； （2）当为正方形时，求正方形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、一次函数的关系式，正方形的性质．解题的关键是掌握三角形相似． （1）根据，得，再根据相似三角形的性质即可； （2）根据正方形的性质，得即可． 【小问1详解】 解：设交于点， 矩形， ，， ， ， 关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当四边形为正方形时， ， 由（1）得：，， ， ， ， 即． 正方形的面积. 23. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点． （1）将写成的形式； （2）若，比较，的大小，并说明理由； （3）若，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式即可求解； （2）当时，确定函数解析式，根据点A，点B到对称轴的距离即可判断，的大小； （3）先求出抛物线的对称轴，根据可知点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，解不等式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 若，则抛物线的解析式为，，， 对称轴为， ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ， ； 【小问3详解】 解：的图象开口向上，对称轴为， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ， ， 或， 或． 【点睛】本题考查二次函数的顶点式，利用函数图象判断函数值的大小，解一元一次不等式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 四、附加题（10分） 24. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． （1）若“友好二次函数”的图象与直线的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （2）若二次函数是“友好二次函数”，点，，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 【答案】（1）这个“友好二次函数”的表达式为：或 （2）① ②当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，或 【解析】 【分析】（1）根据“友好二次函数”的定义求解即可； （2）首先根据“友好二次函数”的定义求解二次函数的解析式，①当时，，，即可得到，设出可以表示出与的长度，进而利用分为和两种情况分别求解即可；②首先利用“友好二次函数”的定义求解顶点坐标，再利用在直线上运动，当时，与抛物线只有一个交点，当运动到点的上方但在点的下方时，与抛物线只有一个交点，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是“友好二次函数”，且顶点坐标为， ∴，得：， ∵的图象与直线的交点是“友好点”，且交点为， ∴，得：， 联立，解得：或， ∴这个“友好二次函数”的表达式为：或； 【小问2详解】 解：二次函数是“友好二次函数”，且顶点坐标为， ∴，解得：， ∴该二次函数的表达式为：， ①当时，，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 如图，当时，； 如图，当时，； 综上所述，； ②二次函数的表达式为：， ∴顶点坐标为， 如图，在直线上运动，当时，与抛物线只有一个交点，当运动到点的上方但在点的下方时，与抛物线只有一个交点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，或． 【点睛】本题主要考查“友好二次函数”的定义、二次函数的综合、图形的平移，正确的理解“友好二次函数”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十一中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学B卷 考试时间：120分钟 满分：100分 注意事项： 1．本试卷共3页，共四道大题，24道小题． 2．试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（共9小题，每小题3分） 1. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A. 4 B. C. 16 D. 32 3. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象经过二、四象限 B. 在每个象限内，y随x的增大而增大 C. 当时， D. 函数图象关于原点中心对称 5. 小董参加“吾有所爱，其名华夏”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是9分、8分、10分（每项满分为10分）．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小彩的最终比赛成绩为（ ） A. 9.3分 B. 8.9分 C. 9分 D. 9.6分 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 7. 某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图所示的是该电路中电流与电阻之间的函数关系的图象，则用电阻表示电流的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 在一个不透明口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象经过点，点，交y轴于点C，给出下列结论：：b：：2：3；若，则；对于任意实数m，一定有；一元二次方程的两根为和，其中正确的结论是　　 A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分） 10. 计算：______． 11. 如图，已知，若添加一个条件使得与相似，则可添加一个条件：____．（只填写一个） 12. 如图，是反比例函数的图象上任意两点，且轴于点，轴于点，和面积之和为，则的值为______． 13. 已知是锐角，且，则_____． 14. 一抛物线以为顶点，且经过x轴上一点，则该抛物线与y轴交点坐标为_________． 15. 小天想要计算一组数据92，90，94，99，85的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，9，，记这组新数据的方差为，则 _____．（填“”，“”或””） 16. 已知二次函数，当时，的取值范围是______． 17. 已知，，，，求的最小值是_____． 三、解答题（共6小题，共49分，解答题需写出详细的解题步骤） 18. 计算： （1）计算：； （2）已知，且，求的值； （3）解方程：． 19. 如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长． （2）求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 20. 某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：)，数据整理如下： a．12名学生的身高∶ 160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171， b．12名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.3 （1）写出表中，的值； （2）现将12 名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 (填“甲组”或“乙组”)； 甲组学生的身高 165 167 167 168 168 171 乙组学生的身高 160 164 164 166 167 169 （3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ． 21. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点为，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为． （1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式； （2）当时，根据函数图象，求自变量的取值范围； （3）若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 22. 如图，在中，是上高，且，矩形的顶点F、G在边上，顶点E、H分别在边上． （1）设，矩形周长为y，求y关于x的函数解析式； （2）当为正方形时，求正方形的面积． 23. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点． （1）将写成形式； （2）若，比较，的大小，并说明理由； （3）若，直接写出取值范围． 四、附加题（10分） 24. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． （1）若“友好二次函数”的图象与直线的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （2）若二次函数是“友好二次函数”，点，，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $