精品解析：北京市第十一中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学A卷

北京市第十一中学2024－2025学年度九年级上学期期末考试（2025.01） 数学A卷 考试时间：120分钟 满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．本试卷共4页，共三道大题，22道小题． 3．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共7小题，每小题3分） 1. 下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 康康某天放学路上，在经过校门外一交通信号灯的路口时，恰好遇到绿灯，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 3. 一元二次方程的根是（ ） A. 2 B. 0 C. ，1 D. ，0 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，是的反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 6. 掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 为了应对九年级中考体育测试，某班对学生的跳远进行了抽测，其中一名同学进行了6次测试，其跳远的数据如下（单位：厘米）：238，235，240，242，240，243，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 240，240 B. 240，239 C. 241，240 D. 240，241 二、填空题（共7小题，每小题3分） 8. 计算：______． 9. 甲、乙两名同学的5次立定跳远平均成绩都是米，他们的方差分别为，，则这两名同学5次立定跳远成绩最稳定的是___________. 10. 将反比例函数写成的形式，则的值为_____． 11. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，运动2秒时，小球的高度是_______米． 12. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_________． 13. 若是关于的二次函数，则的值为______． 14. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，若的面积为2，则该反比例函数的解析式为______． 三、解答题（共7小题，共58分） 15. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 16. 已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求x的值． 17. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）该二次函数的图象的开口向　，并判断点 　　该函数的图象上（填“在”或“不在” ）． 18. 食品安全问题已经严重影响到我们的健康．某执法部门最近就食品安全抽样调查某一家超市，从中随机抽样选取20种包装食品，并列出下表： 食品质量 优 良 合格 不合格 有害或有毒食品 数量 0 2 3 n 4 请你根据以上信息解答下列问题： （1）这次抽样调查中，“食品质量为合格以上（含合格）”的频率为多少？ （2）若这家超市经销的包装食品共有1300种，请你估计大约有多少种包装食品是“有害或有毒”的？ 19. 如图，从热气球上测得两建筑物底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为，且点在同一直线上， （1）求与，与． （2）求建筑物间的距离． 20. 如图，在中，，，的面积为． （1）证明 （2）求四边形的面积． 21. 抛物线的图象与x轴交于A，B两点，利用图象解答下列问题： （1）点A，B的坐标分别是A ，B ； （2）若函数值y>0，则x的取值范围是 ； （3）函数值y的最小值是 ； （4）若点P为抛物线上的一点，且=4，求点P的坐标． 22. 游学期间，为避免混乱和停车时间过久，游学老师要求大家下车后随便拿起一个行李就走，到车站内再进行交换．便于计算起见，假设车上只有4人：甲、乙、丙、丁，且他们各自带了一个行李． （1）下车后，甲在四人的行李中随机拿起一个就走，计算此时甲恰好拿到自己行李的概率． （2）甲随便拿了一个行李下车后，乙从剩下的行李中又随机拿了一个行李下车，求他们恰好拿到彼此行李的概率（即乙拿到了甲的行李，甲拿到了乙的行李）． （3）若甲乙丙丁顺次随机拿了一个行李下车，求他们没有人拿到自己行李的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十一中学2024－2025学年度九年级上学期期末考试（2025.01） 数学A卷 考试时间：120分钟 满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．本试卷共4页，共三道大题，22道小题． 3．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共7小题，每小题3分） 1. 下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项B中的两个图形不相似； 故选：B． 2. 康康某天放学路上，在经过校门外一交通信号灯的路口时，恰好遇到绿灯，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念，理解随机事件的概念是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念即可解答． 【详解】解：∵经过有交通信号灯的路口，可能遇见绿灯，可能遇见红灯，可能遇见黄灯， ∴经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件． 故选A． 3. 一元二次方程的根是（ ） A. 2 B. 0 C. ，1 D. ，0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：D． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线的顶点坐标，正确理解二次函数的顶点式是解题的关键．根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 5. 下列函数中，是的反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可得出答案，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是的反比例函数，故选项不符合题意； B、由，可得，是的反比例函数，故选项符合题意； C、是的反比例函数，故选项不符合题意； D、函数式不是反比例函数，故选项不符合题意； 故选：． 6. 掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．根据树状图法即可求解． 【详解】解： 根据树状图可知： 共有4种等可能的情况， 两枚硬币全部正面朝上的概率为， 故选：D 7. 为了应对九年级中考体育测试，某班对学生的跳远进行了抽测，其中一名同学进行了6次测试，其跳远的数据如下（单位：厘米）：238，235，240，242，240，243，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 240，240 B. 240，239 C. 241，240 D. 240，241 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，众数即一组数据中出现次数最多的数，根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：将跳远的数据从小到大排列为：235，238，240，240，242，243， ∴中位数为：， ∵240出现的次数最多， ∴众数为240， 故选：A． 二、填空题（共7小题，每小题3分） 8. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值计算出，再与相乘计算即可即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 甲、乙两名同学的5次立定跳远平均成绩都是米，他们的方差分别为，，则这两名同学5次立定跳远成绩最稳定的是___________. 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了利用方差判断数据的稳定性；根据方差越小，数据越稳定即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴甲的成绩最稳定； 故答案为：甲． 10. 将反比例函数写成的形式，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，由即可求得k的值． 【详解】解：∵反比例函数， ∴； 故答案为：． 11. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，运动2秒时，小球的高度是_______米． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了二次函数求值．将代入函数解析式中进行计算求解． 【详解】解：，运动2秒时， （米）． 故答案为：40． 12. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系得到． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴． 故答案为：3． 13. 若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：根据题意可知，且，所以． 故答案为： 14. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，若的面积为2，则该反比例函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】设反比例函数的解析式为，点A的坐标为，根据三角形的面积求出xy= -4，即可得出答案． 【详解】解：设反比例函数的解析式为，点A的坐标为， 点在第二象限， ，， 轴，点P在x轴上，的面积为2， ， 即， ， 反比例函数的解析式为， 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是能根据三角形的面积求出xy的值． 三、解答题（共7小题，共58分） 15. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解： ， 或， ∴，． 16. 已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设y与x的函数关系式为，将代入即可； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 将代入，得：， 解得． 17. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）该二次函数的图象的开口向　，并判断点 　　该函数的图象上（填“在”或“不在” ）． 【答案】（1） （2）上；不在． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解； （2）依据题意，由二次函数为，则，故该二次函数的图象的开口向上，又当时，，故点不在该函数的图象上，进而可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，二次函数为， 该二次函数的顶点坐标为． 【小问2详解】 由题意，二次函数为， ． 该二次函数的图象的开口向上． 又当时，， 点不在该函数的图象上． 故答案为：上；不在． 18. 食品安全问题已经严重影响到我们的健康．某执法部门最近就食品安全抽样调查某一家超市，从中随机抽样选取20种包装食品，并列出下表： 食品质量 优 良 合格 不合格 有害或有毒食品 数量 0 2 3 n 4 请你根据以上信息解答下列问题： （1）这次抽样调查中，“食品质量为合格以上（含合格）”的频率为多少？ （2）若这家超市经销的包装食品共有1300种，请你估计大约有多少种包装食品是“有害或有毒”的？ 【答案】（1）0.25 （2）260种 【解析】 【分析】（1）利用频率＝频数÷总数进行计算即可； （2）先求出样本中“有害或有毒”的频率，再利用总数×频率进行计算即可． 【小问1详解】 解：由表格知：食品质量为合格以上（含合格）的数量为：种， ∴频率； 【小问2详解】 解：由题意得：， （种）； ∴大约有260种包装食品是“有害或有毒”的． 【点睛】本题考查频率的计算，以及利用样本频率估计总体数量．熟练掌握频率的计算公式是解题的关键． 19. 如图，从热气球上测得两建筑物底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为，且点在同一直线上， （1）求与，与． （2）求建筑物间的距离． 【答案】（1）；；； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的实际应用，熟练掌握三角函数的比值关系是解题的关键． （1）利用平行线的性质可求出和的度数，再利用三角函数的比值关系求出和即可． （2）由运算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： ∴， ∵ ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 20. 如图，在中，，，的面积为． （1）证明 （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由直接判定即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 抛物线的图象与x轴交于A，B两点，利用图象解答下列问题： （1）点A，B的坐标分别是A ，B ； （2）若函数值y>0，则x的取值范围是 ； （3）函数值y的最小值是 ； （4）若点P为抛物线上的一点，且=4，求点P的坐标． 【答案】（1）(-2,0)，(2,0)；（2）x＜-2，或x＞2；（3）-4；（4）P的坐标为（,2），（-,2），，． 【解析】 【分析】（1）由图像可得A，点B与点A关于y轴对称，故可得B； （2）函数值y>0，图像在x轴上方，由图像可得x的取值范围； （3）函数值y的最小值即是图像最低点的纵坐标，由图像可得； （4）由图像可求得抛物线的解析式，设点P的纵坐标为b，由=4可求b，代入解析式可求点P的横坐标，从而点P的坐标即可求解． 【详解】解：（1）由图像可得A（-2,0）， ∵点B与点A关于y轴对称， ∴B（2,0）； 故答案为：(-2,0)，(2,0)； （2）∵函数值y>0， ∴图像在x轴上方， ∴x＜-2，或x＞2； 故答案为：x＜-2，或x＞2； （3）函数值y的最小值即是图像最低点的纵坐标， 由图像可得函数值y的最小值是-4； 故答案为：-4； （4） 由图像可得，抛物线的顶点为（-4,0）， 设抛物线的解析式为， 则， ∵A（-2,0）， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵=4，设点P的纵坐标为b， ∴， 即=2， ∴b=2，或b=-2， 当b=2时，，解得x=±， 此时点P的坐标为（,2），（-,2）， 当b=-2时，，解得x=±， 此时点P的坐标为（,-2），（-,-2）， 由上可知，点P的坐标为（,2），（-,2），，． 【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的图像和性质，利用好数形结合的思想． 22. 游学期间，为避免混乱和停车时间过久，游学老师要求大家下车后随便拿起一个行李就走，到车站内再进行交换．便于计算起见，假设车上只有4人：甲、乙、丙、丁，且他们各自带了一个行李． （1）下车后，甲在四人的行李中随机拿起一个就走，计算此时甲恰好拿到自己行李的概率． （2）甲随便拿了一个行李下车后，乙从剩下的行李中又随机拿了一个行李下车，求他们恰好拿到彼此行李的概率（即乙拿到了甲的行李，甲拿到了乙的行李）． （3）若甲乙丙丁顺次随机拿了一个行李下车，求他们没有人拿到自己行李的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接运用概率公式进行求解，即可作答． （2）理解题意，先画树状图，得一共有种等可能的结果，乙拿到了甲的行李，甲拿到了乙的行李的结果只有种，再运用概率公式进行求解，即可作答． （3）理解题意，先画树状图，得一共有24种等可能的结果，他们没有人拿到自己行李的结果有种，再运用概率公式进行求解，即可作答． 【小问1详解】 解：∵车上只有4人：甲、乙、丙、丁，且他们各自带了一个行李． ∴下车后，甲在四人的行李中随机拿起一个就走，此时甲恰好拿到自己行李的概率为； 【小问2详解】 解：把甲、乙、丙、丁的行李分别记为 依题意，画树状图，如图所示： 则一共有种等可能的结果，乙拿到了甲的行李，甲拿到了乙的行李的结果只有种， ∴乙拿到了甲的行李，甲拿到了乙的行李的概率是； 【小问3详解】 解：把甲、乙、丙、丁的行李分别记为 依题意，画树状图，如图所示： 则一共有24种等可能的结果，他们没有人拿到自己行李的结果有种， ∴他们没有人拿到自己行李的概率是； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $