1.7 正方形-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(湘教版·新教材)

该教案聚焦正方形的定义、性质及判定，通过长方形纸片对折剪裁感知正方形与矩形的关系，结合菱形演示器操作建立与菱形的联系，搭建从特殊平行四边形到正方形的知识支架。 以探究式教学为特色，剪纸与模型演示培养几何直观和空间观念，小组讨论定义性质发展推理意识，例题变式训练提升应用意识。助力学生主动构建知识体系，教师可直接沿用，高效突破重难点。

课题 第1章 1.7 正方形 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能 1．能说出正方形的定义和性质. 2．会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算. 二、过程与方法 1．经历探究正方形性质的过程，进一步发展学生的合理论证能力. 2．通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系. 3．探索并掌握正方形的性质. 三、情感、态度与价值观 1．在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激发学生学习数学的热情. 2．进一步加深对“特殊与一般”的认识. 教学重点、 难点 教学重点：掌握正方形的概念、性质，并会运用；掌握正方形的判定条件. 教学难点：理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；合理地利用正方形的判定进行有关的论证和计算． 教学准备 多媒体课件、三角尺、长方形纸片、 剪刀、菱形演示器 教学过程 1.情境导入 如图，我们将一张长方形的纸片如图对折，让较短的一条边与一条较长的边重合，然后沿图中的虚线剪下、打开，得到图形你发现是一个什么样的图形呢？ 在动手过程中学生对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系：正方形是邻边相等的矩形. 正方形，它是最完美的四边形，美观大方，它集平行四边形、矩形、菱形三者的优点于一身，那么今天就让我们一起走进这个方方正正的世界，一起来研究和探索正方形中所蕴含的数学知识. 2.讲授新课 1．正方形的定义： 探究1：由前面的剪纸我们可以体会到：正方形是具有菱形特征的矩形. 邻边 相等 总结：矩形+（菱形）=正方形 探究2：利用可以活动的菱形模型变成一个正方形，由此我们可以体会到：正方形是具有矩形特征的菱形. 总结：菱形+（矩形）=正方形 启发思考：正方形是什么样的平行四边形呢？（小组讨论交流） （矩形）+（菱形）+平行四边形=正方形. 由此，仿照矩形、菱形定义的方法给正方形下定义： 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 2．正方形的性质： 从前面探究中的问题中，我们可以看出正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，那么由此我们可以得出： 正方形的性质=矩形性质+菱形性质. 从而可以归纳得： (1)从边方面：正方形的四条边都相等. (2)从角方面：正方形的四个角都是直角. (3)从对角线方面：正方形的对角线相等，且互相垂直平分. (4)从对称性方面：正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 列表：正方形的性质 正方形性质 边 角 对角线 对称性 图形语言 (1)正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 (2)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴 文字语言 对边平行 四边相等 四个角等，都是直角 两条对角线相等且互相垂直平分 符号语言 AB//CD，BC//AD； AB=BC= CD=AD ∠A=∠B= ∠C=∠D= 90O OA=OC=AC= BD=OB=OC， AC⊥BD 例1：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE=DF. 证明：因为四边形ABCD为正方形， 所以AD=CD，∠A=∠DCF=90°. 因为DF⊥DE，所以∠EDF=90°，即∠1+∠3=90°， 又因为∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2， 所以△AED≌△CFD(角边角)，所以DE=DF. 3．正方形的判定： 讨论：正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？ （1） （2） 矩形 菱形 正方形 平行四边形 引导、归纳、总结正方形的判定方法： (1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等. (2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角. 例2：如图，已知点A'，B'，C'，D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'.求证：四边形A'B'C'D'是正方形. 证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AB=BC. 又因为AA'=BB'，所以A'B=B'C， 又因为∠B=∠C=90°，BB'=CC'， 所以△BB'A'≌△CC'B'（边角边）， 从而B'A'=C'B'. 同理可证，△AA'D'≌△DD'C'，△AA'D'≌△BB'A'. 于是A'D'=D'C'=C'B'=B'A'. 因此四边形A'B'C'D'是菱形. 又因为∠1=∠3，∠1+∠2=90°，所以∠2+∠3=90°， 所以∠D'A'B'=90°，因此四边形A'B'C'D'是正方形. 3.课堂练习 1．如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是______cm. 解析：因为四边形AFCE是正方形， 所以AF=AE，∠E=∠AFC=∠AFB=90°. 在Rt△AED和Rt△AFB中， 所以Rt△AED≌Rt△AFB(HL)，所以S△AED=S△AFB. 因为S四边形ABCD=24cm2，所以S正方形AFCE=24cm2， 所以AE=EC=2cm. 根据勾股定理得AC==4(cm)． 故答案为4. 方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题． 2．如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F. (1)求证：BE=CF； (2)求BE的长． 解：(1)因为四边形ABCD为正方形，所以∠B=90°. 因为EF⊥AC，所以∠EFA=90°. 因为AE平分∠BAC，所以BE=EF， 又因为AC是正方形ABCD的对角线， 所以AC平分∠BCD， 所以∠ACB=45°，所以∠FEC=∠FCE=45°， 所以EF=FC，所以BE=CF. (2)设BE=x，则EF=CF=x，CE=1-x. 在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE=x， 所以 x=1-x，解得x=-1，即BE的长为-1. 方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决． 3．如图，在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF的中点．连接BE、CE、AE. (1)求证：△AEB≌△DEC； (2)当EB=BC时，求∠AFD的度数． 解：(1)在正方形ABCD中，AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°. 因为点E为DF中点，所以AE=EF=DE=DF， 所以∠EAD=∠EDA. 因为∠BAE=∠BAD-∠EAD，∠CDE=∠ADC-∠EDA， 所以∠BAE=∠CDE. 在△AEB和△DEC中， 所以 △AEB≌△DEC(SAS). (2)因为△AEB≌△DEC，所以EB=EC. 因为EB=BC，所以EB=BC=EC， 所以△BCE是等边三角形， 所以∠EBC=60°，所以∠ABE=90°-60°=30°. 因为EB=BC=AB，所以∠BAE=×(180°-30°)=75°， 又因为AE=EF，所以∠AFD=∠BAE=75°. 方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等． 4．如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF. (1)求证：∠ECF=90°； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由； (3)在(2)的条件下，△ABC应该满足条件：_______________________，则四边形AECF为正方形． (直接添加条件，无需证明) (1)证明：因为CE平分∠BCO，CF平分∠GCO， 所以∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF， 所以∠ECF=×180°=90°； (2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： 因为MN∥BC，所以∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF， 又因为CE平分∠BCO，CF平分∠GCO， 所以∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF， 所以∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC， 所以EO=CO，FO=CO，所以OE=OF. 又因为当点O运动到AC的中点时，AO=CO， 所以四边形AECF是平行四边形. 因为∠ECF=90°，所以四边形AECF是矩形； (3)解：当点O运动到AC的中点时，且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．因为由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，即AC⊥EF，所以四边形AECF是正方形． 故答案为：∠ACB为直角． 方法总结：此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO＝FO，确定(2)(3)的条件． 5．如图，AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O.求证： (1)BE=BF； (2)OF=CE. 证明：(1)因为四边形ABCD是正方形， 所以AC⊥BD， 所以∠ABE=∠AOF=90°. 因为∠CAE=∠BAE，所以∠AFO=∠AEB， 又因为∠AFO=∠BFE，所以∠BFE=∠AEB， 所以BE=BF. (2)连接O和AE的中点G. 因为AO=CO，AG=EG， 所以OG∥BC，OG=CE，所以∠OGF=∠FEB. 因为∠AFO=∠AEB，所以∠OGF=∠AFO， 所以OG=OF，所以OF=CE. 方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决． 4.课堂小结 1．正方形及其性质 正方形（既是矩形，又是菱形） 基本图形 定 义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 性质定理 四个角都是直角，四条边都相等. 即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°， AD=BC=AB=CD 对角线相等且互相垂直平分. 即AC=BD，AO=BO=CO=DO，AC⊥BD 2．正方形的判定 3．解题策略 正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，且一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决． 5.板书设计 1．正方形的性质 对边平行，四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角 2．正方形的判定方法 一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 教学设计 反思 本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手动脑的机会，变被动学习为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯. 学科网（北京）股份有限公司 $