1.5 矩形 1.5.1-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦矩形的性质，从小学长方形认知切入，通过平行四边形与矩形的联系引出定义，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生探究矩形的角、对角线性质及对称性。 其亮点在于以“思考-探究-议一议”驱动学生主动观察与推理，如折叠实验感知轴对称，全等证明推导对角线相等，体现几何直观与推理能力。小结系统梳理知识，随堂小测强化应用，助力学生提升数学思维，也为教师提供结构化教学资源。

第1章 四边形 1.5 矩 形 1.5.1 矩形的性质 学习目标 1．理解矩形的概念，以及矩形与平行四边形的关系. 2．探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角；矩形对角线相等. 3．会用矩形的性质定理进行推理和计算. 4．理解矩形是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，过每组对边的中点的直线都是矩形的对称轴. 课时导入 我们在小学就已经认识了长方形，从直观上看，长方形与平行四边形之间有什么区别与联系？ 长方形是平行四边形，并且有一个角是直角，由此可引出下述定义： 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也称为长方形. 作为一种特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质外，是否还具有一些特殊的性质？下面我们来探索. 平行四边形 有一个角是直角 矩形 知识讲解 思考 矩形的四个角都是直角吗？矩形的两条对角线相等吗？为什么？ A B C D O 如图，四边形ABCD是矩形，∠DAB是直角， 根据矩形的定义可知，四边形ABCD是平行四边形， 于是AD//BC，且AB//DC. 因此∠ABC=∠ADC=180°-∠DAB=90°， ∠BCD=∠DAB=90°. 由此得到矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角. A B C D O 如图，四边形ABCD是矩形，于是AB=DC. 根据矩形的性质定理1得，∠ABC=∠DCB=90°. 又BC=CB， 所以△ABC≌△DCB（边角边）， 从而AC=DB. 由此可得矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等. 例1 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4 cm，∠AOB= 60°，如图所示.求BC的长. 解：因为四边形 ABCD 是矩形. 所以OA = OB =AC =2 cm. 又∠AOB = 60°， 所以△AOB 是等边三角形. 于是AB = OA =2 cm. 因为∠ABC =90°， 所以在Rt△ABC中， BC == = 2（cm）. A B C D O 矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？ 矩形是中心对称图形，对角线的交点是矩形的对称中心. 由于矩形是平行四边形，因此： O 思考 探究 画出一个矩形ABCD，把它剪下来，怎样折能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ A B C D O E F 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC，AD相交于点E，F. 由于OB=BD=AC=OC，因此△OBC是等腰三角形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线. 由于AD//BC，因此EF⊥AD. 同理，直线EF是线段AD的垂直平分线. A B C D O E F M N 因此，点B与点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而 在关于直线EF的轴对称下，矩形ABCD的像与它自身重合，故矩形ABCD是轴对称图形，EF是它的一条对称轴. 过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N. 同理可得，点M，N分是边AD，DC的中点， 直线MN是矩形ABCD的一条对称轴. 由此得到： 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴. 所以矩形的对角线不是它的对称轴. 议一议 矩形的对角线是它的对称轴吗？你的结论与同学相同吗？ 如图，矩形ABCD的对角线为AC，BD. 在关于直线AC的轴对称下，△ABC的像与△CDA不重合，故直线CD不是矩形的一条对称轴. 同理可得BD也不是它的一条对称轴. A B C D 随 堂 小 测 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O， 下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB A B C D O C A 2. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( ) A. 20° B. 40° C. 80° D. 10° C 4. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的_________. 　　　　　　　　　　　　　 5. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm． 2.5 A B C D O E F 6.如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上点，AE = AD， DF⊥AE ，垂足为 F. 求证：DF = DC. A B C D E F 证明：连接 DE，如图. 因为AD = AE，所以∠AED = ∠ADE. 因为四边形 ABCD 是矩形， 所以AD∥BC，∠C = 90°. 所以∠ADE = ∠DEC. 所以∠DEC = ∠AED. 又DF⊥AE， 所以DF = DC. 7. 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，∠DAE：∠BAE＝3∶1，求 ∠BAE 和 ∠EAO 的度数． 解：因为四边形 ABCD 是矩形， 所以∠DAB=90°，AO=AC，BO=BD，AC=BD， 所以∠BAE+∠DAE=90°，AO=BO. 所以∠OAB=∠ABE， 又∠DAE∶∠BAE=3∶1， 所以∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°. 因为AE⊥BD， 所以∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°， 所以∠OAB=∠ABE=67.5° 所以∠EAO=67.5°-22.5°=45°. 8. 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点C 落在 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD＝8，AB＝4，求△BED 的面积． 解：因为四边形 ABCD 是矩形， 所以AD∥BC，∠A＝90°，所以∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2， 所以∠1＝∠3，所以BE＝DE. 设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x. 在Rt△ABE中，AB2＋AE2 ＝ BE2， 所以 42 ＋ (8－x)2 ＝ x2，解得 x＝5， 即 DE＝5. 所以S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10. 小结 矩形的相关概念及性质 矩形的四个角都是直角，对边相等 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $