精品解析：河北省廊坊市广阳区2025-2026学年上学期九年级数学期末试题

2025－2026学年度第一学期期末质量评价 九年级数学试卷 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下软件的是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若半径为的与直线没有公共点，则圆心到直线的距离可以是（） A. B. C. D. 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 一元一次方程的解为 B. 几个单项式相加的和为一个单项式 C. 一个奇数加一个偶数的和为偶数 D. 一个三项式加一个单项式的和是一个单项式 5. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 6. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是（ ） A B. C. D. 9. 如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本大题4个小题，共12分） 13. 已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为________． 14. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击的次数 20 40 100 200 400 1000 2000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 322 801 1596 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为________（结果保留一位小数）． 15. 如图，，若 ，，，，则 的长为 ________________ 16. ①若方程两根为和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无实数解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 以上命题正确的序号是：________． 三、解答题（本大题共8题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． （1）摸到黄球是______（从“随机事件”，“必然事件”，或“不可能事件”中选一个填空）； （2）求盒中黑球个数； （3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 19. 如图所示，直角坐标系内，A(－4，3)，B（－2，0），C（－1，2），请你在图中画出△ABC关于原点O的对称的图形即△A′B′C′,并写出A′、B′、C′的坐标，求出△A′B′C′的面积. 20. 一辆客车从地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． （1）求与的函数关系式； （2）客车上午点从地出发，客车需在当天点至点分（含点与点分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． 21. 某品牌毛衣平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受气温影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件毛衣每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果该商场要使每天销售该品牌毛衣的盈利为700元，且每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，求每件该品牌毛衣应降价多少元？ 22. 如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，交于点，且平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 23. 【发现问题】 投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，淇淇发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 淇淇利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：m）与竖直高度（单位：m）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，淇淇发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 （1）在淇淇投掷过程中，出手时实心球竖直高度是______m，实心球在空中最大高度是______m； （2）求满足条件的二次函数的解析式； （3）根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于8m时，即可得满分10分，淇淇在此次考试中能否得到满分，请说明理由． 24. 综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末质量评价 九年级数学试卷 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下软件是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形．将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它是中心对称图形； C、它不是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：B． 2. 在下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，注意掌握判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断.根据反比例函数的定义，（为常数，）进行判断． 【详解】解：∵ 反比例函数的形式为（为常数，）， A、，符合定义，故此选项符合题意； B、，是一次函数，故此选项不符合题意； C、，是正比例函数，故此选项不符合题意； D、，分母不是，不是反比例函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 若半径为的与直线没有公共点，则圆心到直线的距离可以是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆无公共点时，两者相离，圆心到直线的距离大于半径是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系求解即可． 详解】解：∵与直线l无公共点， ∴直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离半径， 选项中只有，即选项A符合题意． 故选：A． 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 一元一次方程的解为 B. 几个单项式相加的和为一个单项式 C. 一个奇数加一个偶数的和为偶数 D. 一个三项式加一个单项式的和是一个单项式 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，掌握随机事件是可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 根据随机事件是可能发生也可能不发生的事件这一定义，逐一分析每个选项对应的事件类型，找出符合随机事件特征的选项． 【详解】A、一元一次方程 （）的解总是 ，是必然事件，不是随机事件，不符合题意； B、几个单项式相加，如果它们是同类项，则和为单项式，否则为多项式，因此可能发生也可能不发生，是随机事件，符合题意； C、奇数加偶数的和总是奇数，不可能是偶数，是不可能事件，不是随机事件，不符合题意； D、一个三项式加一个单项式，和至少有两个项，不可能是单项式，是不可能事件，不是随机事件，不符合题意． 故选：B． 5. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得出图象的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，且 ∴图象的开口向上， 故A选项不符合题意； 由得对称轴为直线，顶点坐标为， 故B选项符合题意，C选项不符合题意； ∵图象的开口向上，直线， ∴当时，随的增大而增大， 故D选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的周长之比等于位似比即可得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， 又∵的周长为， ． 故选：C． 7. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大， 点关于直线的对称点为， ， ． 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征，根据关于原点对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为． 故选：D． 9. 如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质；反比例函数图象的分布取决于系数的符号，当系数小于0时，图象在第二、四象限. 【详解】解：∵函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴ ， 故选：A. 11. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 12. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 求出点，可得直线为，再求出抛物线的顶点坐标为，可得点关于直线的对称点为，再根据直线和新图象恰好有3个交点，可得直线过点，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴点， ∵直线轴， ∴直线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变， ∴点关于直线的对称点为， ∵直线和新图象恰好有3个交点， ∴直线过点， ∴， ∴，符合题意． 故选：B 二、填空题（本大题4个小题，共12分） 13. 已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】画出符合题意图形，先求解正六边形的中心角 证明是等边三角形，求解 从而可得答案． 【详解】解：如图，由题意得： 正六边形 是等边三角形， 正六边形的周长是 故答案为： 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的关系，正多边形的中心角，正多边形的半径，等边三角形的判定与性质，掌握正多边形中的基本概念的含义是解题的关键． 14. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击的次数 20 40 100 200 400 1000 2000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 322 801 1596 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为________（结果保留一位小数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解题意是解决本题的关键． 根据表格进行求解即可． 【详解】解：从表格数据可以看出，随着射击次数的增加，“射中9环以上”的频率逐渐稳定在附近， ∴估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为． 故答案为：． 15. 如图，，若 ，，，，则 的长为 ________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅助线构造平行四边形，熟练运用相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 过点作交于点，交于点，则四边形、、都是平行四边形，则，则，由，则有，可求出，则可求出． 【详解】解：过点作交于点，交于点，如图， ∵， ∴四边形、、都是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 16. ①若方程两根为和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无实数解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 以上命题正确的序号是：________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查命题的定义，此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键． ①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得，即可判断；③由，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断． 【详解】①若方程两根为和2， 则，则，即；故此选项符合题意； ②∵， ∴或， ∴， ∴；此选项符合题意； ③∵， ∴方程一定无实数解，故此选项符合题意； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0， ∴两根之积为0，两根之和不为0， 那么，故此选项符合题意； 故所有命题均正确， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共8题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得． 18. 盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． （1）摸到黄球是______（从“随机事件”，“必然事件”，或“不可能事件”中选一个填空）； （2）求盒中黑球的个数； （3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 【答案】（1）不可能事件； （2）盒中黑球个数为7； （3）往盒中再加入4个红球． 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，随机事件的概率等知识点，熟知：概率所求情况数与总情况数之比，是解本题的关键． （1）根据“一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件”，据此解答即可； （2）设盒中黑球的个数为，列出方程并求解即可； （3）设往盒中再加入个红球，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：∵盒子中没有黄球， ∴不可能摸到黄球， ∴摸到黄球是不可能事件， 故答案为：不可能事件； 【小问2详解】 设盒中黑球的个数为，则 解得． 答：盒中黑球个数7； 【小问3详解】 设往盒中再加入个红球，则 解得． 答：往盒中再加入4个红球． 19. 如图所示，直角坐标系内，A(－4，3)，B（－2，0），C（－1，2），请你在图中画出△ABC关于原点O的对称的图形即△A′B′C′,并写出A′、B′、C′的坐标，求出△A′B′C′的面积. 【答案】作图见解析,A′(4,-3)、B′(2,0)、C′(1,-2),. 【解析】 【详解】试题分析： 试题解析：作图如下: A′(4,-3)、B′(2,0)、C′(1,-2). △A′B′C′的面积=3×3-×1×2-×1×3-×2×3=. 考点：1.作图-中心对称变换；2.转换思想的应用. 20. 一辆客车从地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． （1）求与的函数关系式； （2）客车上午点从地出发，客车需在当天点至点分（含点与点分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由题意得到，根据取值范围和反比例函数的增减性即可得到答案； 此题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可知与的函数关系是反比例函数， 设与的函数关系式为， 把点代入得，， 解得， ∴与的函数关系式是； 【小问2详解】 解：由题意得，， 当时，， 当时，， ∵随着的增大而减小， ∴， 即客车行驶速度的取值范围为． 21. 某品牌毛衣平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受气温影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件毛衣每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果该商场要使每天销售该品牌毛衣的盈利为700元，且每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，求每件该品牌毛衣应降价多少元？ 【答案】5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件该品牌毛衣降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，即可确定结论． 【详解】解：设每件该品牌毛衣降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每件该品牌毛衣应降价5元． 22. 如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，交于点，且平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形的面积等，正确作出辅助线是解题的关键． （）连接，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，得到，即可求证； （）①连接，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解；②连接，可得是等边三角形，即得，得到，再根据解答即可求解； 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的直径是； ②如图，连接， 由（）知，， ∴四边形是直角梯形， 又由①可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 【发现问题】 投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，淇淇发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 淇淇利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：m）与竖直高度（单位：m）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，淇淇发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 （1）在淇淇投掷过程中，出手时实心球竖直高度是______m，实心球在空中的最大高度是______m； （2）求满足条件的二次函数的解析式； （3）根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于8m时，即可得满分10分，淇淇在此次考试中能否得到满分，请说明理由． 【答案】（1）2， （2） （3）淇淇在此次考试中能得到满分，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在淇淇投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：淇淇在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴淇淇在此次考试中能得到满分． 24. 综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，此时矩形面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）设正方形的边长为，根据正方形的性质和相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设，利用相似三角形的性质求出，根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 则， ∵四边形是正方形， ，即， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设， 四边形是矩形， ，即，， ，， ，即， ， 矩形面积， 当时，此时最大，最大值为2400， ∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $