专题03一元二次函数、方程和不等式（4知识点+15题型）期末复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学期末复习讲义以“一元二次函数、方程和不等式”为核心，通过内容导图构建知识体系，用表格系统梳理不等式性质（含别名、内容及注意点）、二次函数与方程不等式的对应关系，清晰呈现知识脉络与内在联系，突出基本不等式、含参不等式等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖不等式性质判断、基本不等式“1”的妙用、含参不等式求解等十五类题型，结合实际应用题（如矩形花坛面积优化）培养数学思维与应用意识。每个题型配典型例题，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力学生自主复习，为教师提供精准教学支持。

期末复习讲义专题03 一元二次函数、方程和不等式 览内容导图 巩知识要点 知识点1 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若a>b>0，则0<； 若a<b<0，则0>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. (3)若a>b>0，m>0，则(b-m>0)(b-m>0). 知识点2 基本不等式 1.基本不等式内容 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. （2）叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不 (3)常见变形：； (4)常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； 2.基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 3.基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 4.与基本不等式有关的恒成立问题 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 知识点3 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 2.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 3.含参的一元二次不等式的解法 在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x1<x2. 4.分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 5.二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 （1）一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. （2）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标. (2)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. 知识点4 恒成立与能成立问题 1.一元二次不等式在R上的恒成立问题 转化为一元二次不等式解集为R的情况 ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 2.在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0. 3.解决简单的能成立问题 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题. (2)对简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围. 破重难题型 一、题型一 不等式性质 1．下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 2．下列命题中，一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．下列几种说法中，不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 二、题型二 利用不等式求范围 6．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则代数式的取值范围为 ． 9．已知实数，满足，，则的范围是 10．已知实数a，b满足，，则a的取值范围为 ． 11．已知实数满足，，则的取值范围为 ． 三、题型三 解不含参不等式 12．解下列不等式： (1)； (2) 13．不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 14．设命题，命题，那么是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 四、题型四 基本不等式的理解 16．已知，则（    ） A． B． C． D． 17．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 18．已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 19．对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 20．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 五、题型五 基本不等式的定义应用 21．下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 22．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 23．下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 24．下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 25．下列结论证明的有（   ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 六、题型六 对勾函数求最值 26．函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 27．已知，则函数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 28．下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 29．已知，若，的最小值为 . 30．若，则函数的最小值为 ，此时 . 七、题型七 “1”的妙用 31．设a，b为正数，且，则的最小值为 ． 32．两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 33．已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 34．若 且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 35．已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 八、题型八 条件等式求最值 36．已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 37．已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 38．设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 39．若正数，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 41．已知正实数满足，则（　　） A． B． C． D． 九、题型九 基本不等式的综合 42．已知且，则下列选项不正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 43．已知，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为8 44．已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 45．已知正数a，b满足 ，则（   ） A．ab的最小值为1 B．ab的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 46．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 十、题型十 基本不等式的恒成立问题 47．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 49．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 50．，，且满足，若恒成立，则的取值范围为 51．设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是 . 十一、题型十一根据解集求参数 52．若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 53．关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 54．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 55．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 56．已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 十二、题型十二 恒成立问题 57．不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 58．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 59．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 60．若不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为 . 61．对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是 . 62．已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 十三、题型十三 含参不等式的求解 63．当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 64．解下列关于的不等式. 65．已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)解不等式． 66．已知. (1)若的解集为，求关于的不等式的解集； (2)解关于的不等式 67．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 68．已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 69．设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 70．已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 十四、题型十四根的分布 71．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 72．方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 73．关于的方程至少有一个负根，则实数的取值范围是 . 74．若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为 ． 十五、题型十五 实际应用题 75．（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为，下山（原路返回）的速率为（），小刚上山和下山的速率都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（    ） A．小明上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 76．如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 77．如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 78．某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 79．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义专题03 一元二次函数、方程和不等式 览内容导图 巩知识要点 知识点1 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若a>b>0，则0<； 若a<b<0，则0>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. (3)若a>b>0，m>0，则(b-m>0)(b-m>0). 知识点2 基本不等式 1.基本不等式内容 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. （2）叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不 (3)常见变形：； (4)常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； 2.基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 3.基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 4.与基本不等式有关的恒成立问题 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 知识点3 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 2.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 3.含参的一元二次不等式的解法 在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x1<x2. 4.分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 5.二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 （1）一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. （2）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标. (2)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. 知识点4 恒成立与能成立问题 1.一元二次不等式在R上的恒成立问题 转化为一元二次不等式解集为R的情况 ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 2.在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0. 3.解决简单的能成立问题 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题. (2)对简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围. 破重难题型 一、题型一 不等式性质 1．下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【分析】利用特值法和不等式的性质即可一一判断各选项. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，由不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，取，得，则，故C错误； 对于D,若且，取，得，则，故D错误. 故选：B. 2．下列命题中，一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用特例法和不等式基本性质逐一判断即可. 【详解】A．当时，，，因此不成立； B．取，此时，但因此不成立； C．若，且，则，即正确； D．若，，则，因此不成立． 故选：C． 3．下列几种说法中，不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】对于A，当时，满足，但不成立，故A错误； 对于B，因为，所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：A 4．，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 则， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以，，，， 所以， 即， 两边同时除以， 得，即，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，由B可知，故D错误. 故选：AB. 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用特值法，代入计算，可判断A的正误；根据不等式的性质，结合平方差公式，可判断B的正误； 根据不等式的性质，可判断C、D的正误. 【详解】选项A：令，满足条件，， 此时，则，故A错误； 选项B：，因为，所以， 所以，即，故B正确； 选项C：因为，所以， 因为，所以，故C正确； 选项D：因为，，， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD 二、题型二 利用不等式求范围 6．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 7．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设求得的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得. 【详解】设， 则，解得，所以； 又，， 所以， 所以. 故选：B. 8．已知，则代数式的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依据不等式的性质得到答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 当，所以，即； 当时，； 当时，，综上，， 故答案为： . 9．已知实数，满足，，则的范围是 【答案】 【分析】由待定系数可得，利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则 ，， 所以. 故答案为：. 10．已知实数a，b满足，，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可得范围. 【详解】由条件可知，， 两式相加得，即． 故答案为：. 11．已知实数满足，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先通过设为和的线性组合，再结合不等式的性质，求解取值范围即可. 【详解】设， 所以，解得，所以， 因为 所以， 相加得， 即. 故答案为： 三、题型三 解不含参不等式 12．解下列不等式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，利用分式不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】（1）由，得，解得，故原不等式的解集为. （2）由得， 等价于，解得，故原不等式的解集为. 13．不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用公式法解绝对值不等式即可. 【详解】因为，所以， 所以，解集为. 故选：B 14．设命题，命题，那么是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解不等式得，解得， 因为，因此，是的充分不必要条件. 故选：A. 15．不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】此题主要解一元二次不等式，先确定方程的根，由二次项系数为正，抛物线开口向上，进而确定不等式“大于取两侧”得出解集即可. 【详解】由不等式，可得，或， 故不等式的解集为或， 故选：. 四、题型四 基本不等式的理解 16．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质和基本不等式进行分析，再结合特殊值法进行判断即可. 【详解】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 故选：C. 17．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】当时，不等式显然不成立，故选项A错误； 因为，故选项B正确； ，不等式显然不成立，故选项C错误； 不等式成立的条件为，，故选项D错误. 故选：B. 18．已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 19．对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 20．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 五、题型五 基本不等式的定义应用 21．下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【答案】B 【分析】利用基本不等式成立的条件来作出判断，若不成立则举反例即可. 【详解】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确. 故选：B 22．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 23．下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质结合函数的性质逐一分析选项. 【详解】对于A，由题可知不等式有意义须需，则， 则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，当，即，时，有，故不等式不一定成立，故B错误； 对于C，由，则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由题意知,，故, 故不等式成立，D正确． 故选：ACD 24．下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，分和两种情况利用基本不等式即可判断，对于B，利用基本不等式即可判断，对于C，由，利用二次函数即可判断，对于D，由利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，，当且仅当时，等号成立，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由，当时，等号成立，故C正确； 对于D，由， 当且仅当，即不成立，所以等号不成立， 所以，故D正确， 故选：BCD. 25．下列结论证明的有（   ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，时，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，，，当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：AD 六、题型六 对勾函数求最值 26．函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据对勾函数的性质可得最小值. 【详解】由，令，则. ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以时，函数. 故函数的最小值为. 故选：C. 27．已知，则函数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，取等号， 所以函数的最小值为0， 故选：B 28．下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 【答案】D 【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质直接可得. 【详解】对于A：当时，， 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是3，故A正确； 对于B：当，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值是，故B正确； 对于C：当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是5，故C正确； 对于D：令，所以， 由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，故D错误. 故选：D. 29．已知，若，的最小值为 . 【答案】6 【分析】对函数进行变形，使其满足基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值，为. 故答案为：6. 30．若，则函数的最小值为 ，此时 . 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 七、题型七 “1”的妙用 31．设a，b为正数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】通过基本不等式“1”妙用求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 32．两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式及“1”的代换求值即可. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：B. 33．已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式求解. 【详解】因，，满足，则， 于是 ，当且仅当时，即，等号成立， 故的最小值是. 故选：C 34．若 且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】利用“1”的代换的方法，结合基本不等式即可求的最小值. 【详解】由题可得； 当且仅当，即时等号成立，的最小值为8. 故选：C. 35．已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 【答案】A 【分析】根据结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：A. 八、题型八 条件等式求最值 36．已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．22 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】由题得，因为，所以，同理， 将条件变形为， 则， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为28. 故选：C. 37．已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【答案】B 【分析】根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 38．设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 【答案】D 【分析】正数a，b满足，可得，解出即可得ab的最小值. 【详解】因为a，b为正数，且 所以， 即，解得，所以； 当且仅当时取等号，ab的最小值为9. 故选：D. 39．若正数，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】，所以，又因为，即，所以令， 所以，所以，解得，即. 故选：D. 40．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从中解出，代入整理得到，利用基本不等式求解即可. 【详解】，，， ， ，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值为. 故选：C. 41．已知正实数满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式判断AB；特殊值法计算判断C；变形给定等式，利用基本不等式求解判断D. 【详解】正实数满足， A，，则，解得，即，当且仅当时取等号，A正确； B，，则，即，解得，当且仅当时取等号，B正确； C，由，得，而，则，当时，，C错误； D，由，得，而，则， ，当且仅当时取等号， 由，解得，所以当时，取得最小值，D正确. 故选：ABD 九、题型九 基本不等式的综合 42．已知且，则下列选项不正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【分析】直接运用基本不等式可解决A、B；运用基本不等式中“1”的妙用可解决C；运用换元法结合基本不等式，可解决D. 【详解】对于A：因为且， 所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A正确； 对于B：因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：因为， 当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C错误； 对于D：令，则 所以， 又因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 因此，则， ，故D正确. 故选：C. 43．已知，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为8 【答案】ABC 【分析】A选项，由基本不等式直接求出的最大值；B选项，由得到B正确；C选项，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；D选项，平方后，由基本不等式进行求解. 【详解】A选项，因为，且，所以， 当且仅当时取等号，A正确； B选项，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，B正确； C选项，， 当且仅当，即时取等号，C正确； D选项， ， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故最小值不可能为8，D错误. 故选：ABC. 44．已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对ABC进行逐一分析即可判断，利用二次函数性质判断D. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 解得，当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取得等号，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取得等号，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 所以当时，取得最小值为，故D正确； 故选：ACD 45．已知正数a，b满足 ，则（   ） A．ab的最小值为1 B．ab的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 【详解】因为，所以由基本不等式 ， 当且仅当时等号成立，此时ab的最大值为1，故B正确； 由基本不等式， 当且仅当时，即时等号成立，的最小值为，故D正确； 故选：BD. 46．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式和基本不等式等号成立的条件判断ACD，利用乘“1”法判断B. 【详解】选项A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号， 所以有最大值为，A说法正确； 选项B：， 当且仅当，即，时取等号， 所以有最小值为，B说法正确； 选项C：因为，所以， 结合A中结论可得，当且仅当，时取等号， 所以有最小值为，C说法正确； 选项D：因为，当且仅当，即，时取等号， 与是正实数矛盾，D说法错误； 故选：ABC 十、题型十 基本不等式的恒成立问题 47．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再由乘1法和基本不等式可得最小值，由二次不等式的解法可得所求范围． 【详解】正实数满足，所以， 由恒成立，可得， ， 当且仅当时上式取等号， 则，解得， 故实数的取值范围是， 故选：B. 48．若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． 49．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为，利用基本不等式求的最小值，再解绝对值不等式即可求解. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以. 所以，即，所以， 解得，则实数m的取值范围是. 故答案为：. 50．，，且满足，若恒成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】利用基本不等式中“1”的代换求得，进而，解不等式即可. 【详解】， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 又恒成立，所以， 即，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为： 51．设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】 【分析】由题设恒成立，结合条件及基本不等式求左侧的最小值，即可求参数的范围，即可得参数最大值. 【详解】不等式恒成立，等价于恒成立， 由，，，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即. 故答案为： 十一、题型十一根据解集求参数 52．若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得和1是方程的根，且，然后由根与系数的关系用表示出，，代入中化简后，再解不等式即可 【详解】因为关于的不等式的解集是， ∴和1是方程的根，且， ∴，得， ∴不等式转化为， 因为，∴，，得， ∴不等式的解集为. 故选：B. 53．关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用韦达定理可得出、与的等量的关系，可判断C选项；利用一次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意得关于的不等式的解集为，则，故A错误； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得或， 因此不等式的解集为或，故B错误； 对于C选项，由题意得，故C错误； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此不等式的解集为，故D正确. 故选：D. 54．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 55．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD. 【详解】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB． 56．已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据图象得出参数，进而计算判断A，B，C选项，再代入化简计算一元二次不等式判断D. 【详解】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 十二、题型十二 恒成立问题 57．不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，两种情况得出，即可得出答案. 【详解】当时，得恒成立， 所以对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 58．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知命题“，”为真命题，可得出，可得出实数的取值范围. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 59．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D. 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 60．若不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立问题运算求解. 【详解】因为不等式对一切实数x都成立， 若，则不恒成立，不合题意； 若，则，解得 ， 故实数 的取值范围为. 故答案为：. 61．对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，再结合一元二次不等式恒成立问题可得结果. 【详解】①当时，原不等式可化为，显然恒成立 ②当时，一元二次不等式恒成立， 所以且， 即，解得. 综上可知，. 故实数a的取值范围为 62．已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得方程的解为，再利用韦达定理求解即可； （2）分和两种情况讨论结合根的判别式求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的解为， 则，解得； （2）当，即时，恒成立； 当时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 十三、题型十三 含参不等式的求解 63．当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出方程零点，根据参数范围，判断零点的范围，进而求出不等式的解集. 【详解】当时，， 不等式可化为， 因为，且， 所以，， 所以的解集为， 所以原不等式的解集为，即 故选：C. 64．解下列关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别讨论研究时不等式的解集． 【详解】对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 65．已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系即可求解； （2）由，，，，分类讨论即可. 【详解】（1）由的解集为， 可知，且的两根为， 所以，解得：； （2）对于， 当时，得，解得， 当时， （1）时，不等式的解集为或； （2），则，不等式的解集为； 时，不等式的解集为空集； 时，，不等式的解集为， 综上：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 66．已知. (1)若的解集为，求关于的不等式的解集； (2)解关于的不等式 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时，. 【分析】(1)根据不等式的解与方程的根的关系，利用韦达定理列出方程组，求的值，代入求得不等式的解集. (2)对参数分情况讨论，分别求得不等式的解集. 【详解】（1）已知的解集为，说明和是方程的根. 由韦达定理：，可得， 将代入不等式，得， 所以或. 因此，不等式的解集为. （2）先对进行因式分解： 即解，需要根据的取值分类讨论： (1)当，即时，不等式的解为或； (2)当，即时，不等式变为，解集为全体实数； (3)当，即时，不等式的解为或. 综上所述：当时，；当时，；当时，. 67．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法即可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 68．已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 69．设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； (3). 【分析】（1）代入得到二次函数解析式，由对称轴求出单调区间，从而求出值域； （2）对分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法要求，得出对应解集； （3）由不等式化简后整理得到，求出的最小值即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 的图象的对称轴为，故在上单调递减， 当时，；当时，， 故在上的值域为； （2）当时，，由得：； 当时，， 当时，，由得：； 当时，即，由得：或； 当时，即，，由得：解得； 当时，即，由得：或； 综上：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； （3）由得， 即，由于 得： 即，因，故， 故 ， 令，现求在上的最小值，即， 设，则，代入得： 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号）. 此时对应，不等式可取等号， 故， 故，即的取值范围为. 70．已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先把二次不等式化为，再分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可． 【详解】（1）， 化简得，即， 若，即，上式可化为：，即，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， ，，， 或， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）不等式，即， ， 恒成立，， 问题转化为：存在，使得成立，， 设，令，则， （当且仅当，即时取等号）， ，当且仅当时取等号， 综上，的取值范围为． 十四、题型十四根的分布 71．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 72．方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 73．关于的方程至少有一个负根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设方程的根为，分、、三种情况讨论. 【详解】设方程的根为， 若，则，得； 若，则，得； 若，则，得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 74．若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为 ． 【答案】. 【分析】先根据判别式确定方程有两个不相等实根的条件，再结合二次函数的根分布和韦达定理，即可求解. 【详解】因为关于的方程的两个不相等的实数根， 所以，解不等式得， 设方程的两个根为，则根据韦达定理，可得，， 又方程的两个不相等的实数根均小于， 所以，展开得， 代入韦达定理的结果，得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 十五、题型十五 实际应用题 75．（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为，下山（原路返回）的速率为（），小刚上山和下山的速率都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（    ） A．小明上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 【答案】BD 【分析】分别求出小明和小刚上山和下山所用的时间之和，再由基本不等式化简即可． 【详解】解：小明上山和下山所用时间之和为，故A错误，B正确； 对于C，D，小刚上山和下山所用时间之和为，因为， 所以，， 所以， 所以小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少，故C错误，D正确． 故选：BD． 76．如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）设花坛的长为米，由花坛的宽与长之比为（），得到花坛的宽为米，由花坛的周长为120米和矩形花坛的面积为500平方米，建立和的等式，求解即可； （2）设花坛的长为米，得到花坛的宽为米，由题中条件得到，整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米，从而求得整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 花坛的周长为120米，， 矩形花坛的面积为500平方米，，联立， 解得，故花坛的宽为米. （2）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 矩形花坛的面积为500平方米，，，， ，， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积为， 展开得到，， ，， ，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小， 故整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小时，. 77．如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】(1) (2)当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【分析】（1）根据矩形面积公式即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）由则，， 所以. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 78．某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【答案】(1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【分析】（1）设玩具的单价为元，根据题意可得，运算求解即可； （2）根据题意整理可得，原题意即为存在，有解，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 79．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $