3.4 函数的应用（一）（思维导图+3大知识点+4大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

3.4 函数的应用（一） 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：一次函数模型的应用 4 知识点二：二次函数模型的应用 4 知识点三：解决实际应用问题 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：二次函数模型 6 题型二：分段函数模型 8 题型三：幂函数模型 10 题型四：对勾函数模型 11 知识点一：一次函数模型的应用 1、一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R． 知识点二：二次函数模型的应用 1、二次函数的一般形式是其定义域为R． 2、若，则二次函数在时有最小值； 若，则二次函数在时有最大值． 3、建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答． 知识点三：解决实际应用问题 1、解决实际应用问题的过程 2、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息． 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答． 3、函数模型的综合应用 函数的应用题是利用函数模型解决实际问题． 在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段： 第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的． 第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素． 第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述． 第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果． 第五阶段，解释数学模型的结果． 根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题．求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等． 题型一：二次函数模型 【例题1】实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【例题2】某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 (2)哪种方案较为合理？并说明理由. 【方法技巧与总结】 建立目标函数及求最值的方法，配方法是求二次函数最值的常用方法． 【变式1】某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【变式2】某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【变式3】（2025·高一·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 题型二：分段函数模型 【例题3】（2025·高一·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【例题4】（2025·高一·江苏泰州·期中）冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. (1)求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 【方法技巧与总结】 分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者．分段函数应用题是高考命题的热点． 【变式4】某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 【变式5】（2025·高一·上海杨浦·期中）某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. (1)设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； (2)请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 【变式6】（2025·高一·山东潍坊·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润. (1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； (2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 题型三：幂函数模型 【例题5】（2025·高二·湖北武汉·期末）设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．    (1)设，求关于的函数的解析式及其定义域； (2)求面积的最大值及相应的值． 【例题6】（2025·高一·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 【方法技巧与总结】 幂函数模型为(，为常数，)， 在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题. 【变式7】某地区去年用电量为，电价为0.8元/，今年计划将电价降到0.55～0.75元/．用户心理承受价位是0.40元/．下调电价后，实际价位和用户心理价位仍存在差距，假设新增的用电量与这个差值成反比（比例系数为0.2a），该地区的电力成本价为0.3元/，那么电价定为多少时仍可保证电力部门的收益增长率不低于20%？ 【变式8】（2025·高一·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【变式9】 “垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 题型四：对勾函数模型 【例题7】下图是通过列表和描点描出了函数的图象，请根据图示信息完成下面的问题： (1)在函数图象上取一个定点，一个动点，记直线的坡度为，．试将化简为（均为常数）的形式； (2)当趋近于0时，是否趋近于某常数？若是，为多少？试说明理由； (3)在函数图象上取一个定点，为正的常数，一个动点，设直线的坡度为，请直接指出，当趋近于0时，是否趋近于某常数． 坡度定义：若，，则直线的坡度为． x 1 2 … 2 …… 【例题8】为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. (1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； (2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 【方法技巧与总结】 对勾函数模型为，利用基本不等式或者图像法解决. 【变式10】（2025·高一·上海浦东新·期末）某条货运线路总长2000千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速50千米/时（含），最高限速100千米/时（含）.汽油的价格是每升8元，汽车在该路段行驶时，速度为千米/时，每小时油耗为升.（假设汽车保持匀速行驶） (1)求该线路行车油费（元）关于行车速度（千米/时）的函数关系； (2)车速为何值时，行车油费达到最低？并求出最低的行车油费； (3)运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在24小时内送达，否则将少支付50元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速. 【变式11】（2025·高一·广东珠海·期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 【变式12】（2025·高一·云南昭通·期末）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式； （2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大? （3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 函数的应用（一） 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一：一次函数模型的应用 5 知识点二：二次函数模型的应用 5 知识点三：解决实际应用问题 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：二次函数模型 7 题型二：分段函数模型 10 题型三：幂函数模型 14 题型四：对勾函数模型 17 知识点一：一次函数模型的应用 1、一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R． 知识点二：二次函数模型的应用 1、二次函数的一般形式是其定义域为R． 2、若，则二次函数在时有最小值； 若，则二次函数在时有最大值． 3、建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答． 知识点三：解决实际应用问题 1、解决实际应用问题的过程 2、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息． 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答． 3、函数模型的综合应用 函数的应用题是利用函数模型解决实际问题． 在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段： 第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的． 第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素． 第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述． 第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果． 第五阶段，解释数学模型的结果． 根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题．求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等． 题型一：二次函数模型 【例题1】实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【解析】（1）， 解方程，得或， 故在第4 年或16年盈利总额为30万元； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 【例题2】某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 (2)哪种方案较为合理？并说明理由. 【解析】（1）根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：； （2）方案一：， 当时，总盈利额取得最大值90万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得年平均利润额为 ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元，此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 综上，两种方案获利都是110万元，但方案一需要5年，而方案二仅需要4年， 故方案二合理. 【方法技巧与总结】 建立目标函数及求最值的方法，配方法是求二次函数最值的常用方法． 【变式1】某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【解析】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 【变式2】某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）由题意知，将和分别代入 得，解得，故． 当时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅． （2）设月利润为元，则， 当元时，，故当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大， 最大利润为160000元． 【变式3】（2025·高一·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【解析】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数， 设一次函数为，把和代入， 解得， ∴； 把代入检验，，符合题意， ∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为； （2）设销售利润为W元， ①当时，， ∴当时，W有最大值450， ②当时，， ∴当时，W随x增大而减小， ∴时，， ∵， ∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元； （3）由题意知 二次函数开口向下，对称轴是， 要使日销售利润随时间x的增大而增大，则， ∴， 又， ∴． 题型二：分段函数模型 【例题3】（2025·高一·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【解析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 【例题4】（2025·高一·江苏泰州·期中）冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. (1)求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 【解析】（1）当时， 当时，， 所以． （2）当时，， ∴当时，取得最大值为500； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值580， 综上，当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元． 【方法技巧与总结】 分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者．分段函数应用题是高考命题的热点． 【变式4】某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 【解析】（1）由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得， 故. 所以利润表示为月产量的函数为. （2）当时，，令，解得； 当时，，令，解得，所以， 所以月产量的取值范围是． 【变式5】（2025·高一·上海杨浦·期中）某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. (1)设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； (2)请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 【解析】（1）当时，； 当时，； 所以，且定义域为. （2）当时，生产线利润，易知二次函数开口向下，对称轴， 所以当时，有最大，最大值为500； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为520； 综上所述，2025年生产40万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为520万元 【变式6】（2025·高一·山东潍坊·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润. (1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； (2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 【解析】（1）根据题意得 当时，， 当时，， 所以 （2）当时，， 在内单调递增，所以当时，的最大值为450， 当时，， 因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为640， 所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元. 题型三：幂函数模型 【例题5】（2025·高二·湖北武汉·期末）设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．    (1)设，求关于的函数的解析式及其定义域； (2)求面积的最大值及相应的值． 【解析】（1）因为矩形的周长为，，则， 又，即，又，， 易知≌，所以， 在中，根据勾股定理得，即， 整理得， 故，定义域为. （2）由题意， ，当且仅当时，等号成立. 所以，当时，的面积有最大值． 【例题6】（2025·高一·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 【解析】（1）， 因为，且，所以当时，取得最大值， 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； （2）设年平均利润为， 因为，且，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大. 【方法技巧与总结】 幂函数模型为(，为常数，)， 在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题. 【变式7】某地区去年用电量为，电价为0.8元/，今年计划将电价降到0.55～0.75元/．用户心理承受价位是0.40元/．下调电价后，实际价位和用户心理价位仍存在差距，假设新增的用电量与这个差值成反比（比例系数为0.2a），该地区的电力成本价为0.3元/，那么电价定为多少时仍可保证电力部门的收益增长率不低于20%？ 【解析】设下调后的电价为x元， 依题意知，新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为0.2a）， 则新增用电量为，即用电量增至， 所以今年电力部门的收益 ； 要保证电力部门的收益增长率不低于20%， 则， 由， 整理得， 解得． 答：当电价定到0.60～0.75元/，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. 【变式8】（2025·高一·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【解析】（1）由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 （2） 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元. 【变式9】 “垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 【解析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需(x+50)元， 依题意，得：，解得：x＝100，经检验x＝100是原方程的解，且符合题意， ∴x+50＝150． 答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元． （2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买(50m)个A品牌垃圾桶， 依题意，得：100×0.9(50m)+150×(1+20%)m6000，解得：m． 因为m是正整数，所以m最大值是16． 答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶． 题型四：对勾函数模型 【例题7】下图是通过列表和描点描出了函数的图象，请根据图示信息完成下面的问题： (1)在函数图象上取一个定点，一个动点，记直线的坡度为，．试将化简为（均为常数）的形式； (2)当趋近于0时，是否趋近于某常数？若是，为多少？试说明理由； (3)在函数图象上取一个定点，为正的常数，一个动点，设直线的坡度为，请直接指出，当趋近于0时，是否趋近于某常数． 坡度定义：若，，则直线的坡度为． x 1 2 … 2 …… 【解析】（1）由题意，因为，则， 因为，则， 又，则． （2）当t趋近于0时，趋近于0，即常数，理由如下： 当t趋近于0时，趋近于1，故趋近于2， 则趋近于，即趋近于0，所以． （3）由题意，，， ， 则 ， 当t趋近于0时，趋近于常数． 【例题8】为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. (1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； (2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 【解析】（1）易知模型③在上单调递减，因此可排除； 因为这种微生物在开始的年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意； 又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意； 因此在时，， 当时，； 结合图象可知经过点、； 即，解得，即； 函数经过点、， 即，解得，即； 因此符合题意的两函数解析式为①和②. （2）因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳， 当时，令，解得； 当时，令，解得； 综上可得，当时，满足题意； 因此该水域生态环境最佳的时长为. 【方法技巧与总结】 对勾函数模型为，利用基本不等式或者图像法解决. 【变式10】（2025·高一·上海浦东新·期末）某条货运线路总长2000千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速50千米/时（含），最高限速100千米/时（含）.汽油的价格是每升8元，汽车在该路段行驶时，速度为千米/时，每小时油耗为升.（假设汽车保持匀速行驶） (1)求该线路行车油费（元）关于行车速度（千米/时）的函数关系； (2)车速为何值时，行车油费达到最低？并求出最低的行车油费； (3)运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在24小时内送达，否则将少支付50元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速. 【解析】（1）行车所用时间为，根据汽油的价格是每升8元， 而汽车每小时油耗升，则行车总费用为，. （2）由（1）知， 令， 设， 则 因为，故，所以 所以当时，函数严格增， 则当时，行车油费最低，最低为元. （3）在24小时内送达行驶速度为，由题意知行车总费用 ， 当时，函数严格增，的最小值为， 当时，函数严格增，， 所以综上所述，最优车速为50千米/时. 【变式11】（2025·高一·广东珠海·期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 【解析】（1）①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 与表格中的和相差较大， 所以不适合作为与的函数模型. ②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 刚好与表格中的和相符合， 所以更适合作为与的函数模型. （2）由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为， 令，则 经计算，当时，取最大值（万元）， 即，时（每亩约38棵），利润最大. 【变式12】（2025·高一·云南昭通·期末）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式； （2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大? （3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金) 【解析】（1）设投入资金(千万元)，则生产芯片的毛收入. 将，代入，得， ∴， 生产芯片的毛收入. （2）由，得；由，得；由，得. ∴当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产、芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元时，生产芯片的毛收入大 （3）公司投入4亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片， 投入千万元资金生产芯片， ∴公司所获利润， 故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $