第06讲 一元二次方程的根与系数的关系（1知识点+8题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪科版

第06讲 一元二次方程的根与系数的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 【即时训练】 1．已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 2．在方程中，若，则原方程的两个根是，；若，则原方程的两个根是________，． (1)完成上面的填空； (2)试用上述的结论解下列方程 ①； ②． 【题型1 利用根与系数的关系求直接代数式的值】 例1．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 例2．已知 ，是一元二次方程的两个根，则 下列正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．若是方程的两个实数根，则的值为 ． 变式2．关于x的方程有两个实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 变式3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是原方程的两根，且．求m的值． 【题型2 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 例1．若方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 例2．若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 变式1．若，是方程的两个解，则 ． 变式2．已知、是方程的两个根， (1)求、的值； (2)求的值． 变式3．已知一元二次方程的两个根为，求的值． 【题型3 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 例1．设a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2003 B．2004 C．2005 D．2006 变式1．设是方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．1000 C．0 D．1002 变式2．已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 变式3．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若时，和是方程的两个实数根，求 的值． 【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】 例1．已知实数满足，则的值为（    ） A．2 B．2或7 C．7 D．7或9 例2．若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 变式1．在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 变式2．阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： (3)思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 变式3．阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． 【题型5 由两根关系求方程字母系数】 例1．一元二次方程的两个根分别为，若，则 . 例2．已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，求的值． 变式1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 变式2．关于x的方程是一个一元二次方程，方程有两个实根、，这两个实根满足条件，求k的值 变式3．已知关于的一元二次方程． (1)试说明不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【题型6 根与系数关系的新定义问题】 例1．定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 例2．定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1．定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 变式2．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值． 变式3．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 【题型7 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 例1．关于x的方程，有下面5个说法： ①存在实数k，使得方程无实数根； ②存在实数k，使得方程恰有1个实数根； ③存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根； ④存在实数k，使得方程恰有3个不同实数根； ⑤存在实数k，使得方程恰有4个不同实数根； 其中正确的说法有（    ）个 A．0 B．2 C．3 D．5 例2．若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数 变式1．已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 变式2．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法： ①方程是2倍根方程； ②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数）， 则； ③若，则关于x的方程是2倍根方程； ④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1. 则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 变式3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） 【题型8 一元二次方程根与系数关系的应用】 例1．若，是关于的方程：的两个根，且则的值是 ． 例2．已知关于的一元二次方程满足．若一元二次方程的两实根为，，且，则之间的数量关系为 ． 变式1．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 变式2．已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 变式3．阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比探究：已知实数，满足，．________． (3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 1．关于x的一元二次方程的两个根满足，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 2．若，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 3．若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．6或 4．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（    ） A． B． C． D． 6．对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 7．已知实数，满足，，且，求的值（   ） A． B． C． D． 8．已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 9．若α，β是方程的两个根，则的值为 ． 10．关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 11．已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 12．为方程的两个根，则代数式的值为 ． 13．已知，且有，则的值等于 ． 14．已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， (1)求实数的最小整数值； (2)当实数取最小整数值时，若方程的实数根为，求代数式的值． 16．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，求的值； (2)已知，满足，，求的值． 17．一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程都有实数根； (2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值． 19．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 20．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 一元二次方程的根与系数的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 【即时训练】 1．已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 2．在方程中，若，则原方程的两个根是，；若，则原方程的两个根是________，． (1)完成上面的填空； (2)试用上述的结论解下列方程 ①； ②． 【答案】(1) (2)①，；②， 【分析】本题考查一元二次方程的根的特征，解题的关键是理解并运用和时方程根的规律． （1）根据的特征，确定方程的一个根； （2）利用题目给出的结论，分别分析两个方程，求出它们的根． 【详解】（1）解：对于方程，当时，把代入方程，左边为， 。 故答案为： （2）解：①解方程， ，则， 根据结论，当时，，另一个根． 方程的根为； ②解方程， ，则， 根据结论，当时，，另一个根． 方程的根为． 【题型1 利用根与系数的关系求直接代数式的值】 例1．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，直接代入求值即可． 本题考查一元二次方程根与系数的关系， 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为 和 ， ∴由根与系数关系，，， ∴． 故选：C． 例2．已知 ，是一元二次方程的两个根，则 下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，． 故选D． 变式1．若是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，即可求解． 【详解】解：∵ 是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：9 变式2．关于x的方程有两个实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的性质是解决此题的关键． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 变式3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是原方程的两根，且．求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，熟练掌握利用判别式判断方程解的情况、根与系数的关系是解题的关键． （1）通过计算判别式，方程总有两个不相等的实数根进行证明即可； （2）由韦达定理得，，代入，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：判别式为 ， 则无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由韦达定理得，， 由于， 则， 解得， 因此m的值为． 【题型2 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 例1．若方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值． 先求出，，将通分计算即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴． 故选：A． 例2．若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可得， ，结合已知条件 求解的值． 【详解】解：∵ 方程的两根为、， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ . 故选：B． 变式1．若，是方程的两个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后展开所求表达式并代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个解， ∴，， ∴． 故答案为：． 变式2．已知、是方程的两个根， (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1), (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及利用完全平方公式变形求值．解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接求解； （2）利用完全平方公式变形得到，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵、是方程的两个根， ，； （2）解：． 变式3．已知一元二次方程的两个根为，求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，根据根与系数的关系得到，，再由进行求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴，， ∴． 【题型3 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 例1．设a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，利用根的定义将高阶项降次，根与系数的关系求出的值，进行变形代入计算是解决本题的关键． 先利用根的定义将高阶项降次，对原式变形化简，再结合根与系数的关系代入的值计算即可． 【详解】解：∵ a，b为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 原式 ． 故选：A． 例2．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2003 B．2004 C．2005 D．2006 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，关键是根据根的定义及根与系数的关系得出关于的方程后变形代入目标代数式，解题技巧体现为代入时“降次”（例如：）．根据 是一元二次方程的两个实数根，分别把代入，得出关于的方程，利用这些方程结合目标代数式变形，利用根与系数的关系即可． 【详解】解： 是一元二次方程的两个实数根， ，， ∴，， 将左右两边同乘以得：， ∴， ， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得： ，代入上式，得 ， 故选：D． 变式1．设是方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．1000 C．0 D．1002 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键． 根据m，n是方程的两个实数根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，即可求出的值． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 变式2．已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，并利用方程变形简化表达式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即， 所以． 因此，（，由 知）． 原式． 代入，得． 故答案为：4． 变式3．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若时，和是方程的两个实数根，求 的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解． （1）由于方程有两个不相等的实数根，需满足二次项系数且判别式，计算判别式后解不等式； （2）根据根与系数的关系，一元二次方程的解得到，，进而计算即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ， 即， ∴且； （2）解：若时，原方程为， ∵和是方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ． 【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】 例1．已知实数满足，则的值为（    ） A．2 B．2或7 C．7 D．7或9 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系. 根据题意可知，实数是一元二次方程的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系及方程相等的两实数根解题即可． 【详解】解：依题意，实数是一元二次方程的实数根， 若，则， ； 若，则； 故选：B． 例2．若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由题可得m、n是的两个根，整理得到，从而得到，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m、n是，即的两个根， 根据根与系数的关系，得，， ∴ ， 故答案为：6． 变式1．在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 【答案】(1)23或2 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据根与系数的关系进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行解答即可． 【详解】（1）、满足， ①当时，原式； ②当时，、可看作是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 或2． （2）将方程两边同乘以2得：， 实数，满足：，且， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，，， 又，是方程的两个不相等的实数根， 方程根的判别式，解得， ， ． 变式2．阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： (3)思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程的两个不相等的实数根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意可得：，； 故答案为：；； （2）解：，，且， 、可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ； （3）解：把变形为，又， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 变式3．阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据，计算即可； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系，求得，然后利用计算即可； （3）由题意可知，，然后根据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴是的两个根， ∴， ∴． 【题型5 由两根关系求方程字母系数】 例1．一元二次方程的两个根分别为，若，则 . 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：根据一元二次方程根与系数的关系，由已知两根之和求出参数m，再代入求两根之积即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其中． 由根与系数的关系，得． 已知， ， ∴． ∴． 故答案为：． 例2．已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则故，又因为，得，解得或，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为、， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或． 变式1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得，再解得，即可作答． （2）结合一元二次方程的根与系数的关系，得，，再代入，求出或，又因为，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， 即， 整理得：， 解得：； （2）解：该方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 即， 整理得：， 解得：或， 由（1）得， 则． 变式2．关于x的方程是一个一元二次方程，方程有两个实根、，这两个实根满足条件，求k的值 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式和根与系数的关系，关键知识点：等价于方程有两个不相等的实数根；等价于方程有两个相等的实数根；等价于方程没有实根；韦达定理：，．根据方程的系数结合根的判别式可得出 ，由此可证出方程总有两个不同的实数根，根据一元二次方程的根与系数的关系，可以得到 ， ，再将它们代入，即可求出k的值． 【详解】解：由方程， 即， 无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； ， 又 ， 把代入上式：， ， ， 整理得：， 解得：． 变式3．已知关于的一元二次方程． (1)试说明不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)0 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，正确理解题意是解题的关键： （1）根据根的判别式得出，再根据完全平方式转化，进而可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系得出，再将其代入，求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，得． ， ， 解得， 故的值为0． 【题型6 根与系数关系的新定义问题】 例1．定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得，即，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：B． 例2．定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根与系数的关系可找出，根据新运算找出，将其中的1替换成，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键． 变式1．定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：0 ． 变式2．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值． 【答案】5 【分析】①根据凤凰方程的定义可知：是方程的一个根，以及方程有两个相等的实数根，，求出的值，再进行计算即可；②利用凤凰方程的定义、根据系数法的关系求解． 【详解】解：法一：根据题意得： 解得：， 则． 法二：∵是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根， ∴的两个根均为1， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程判别式与根的个数的关系．理解凤凰方程的定义，得到是方程的一个根，是解题的关键．本题也可以利用根与系数的关系进行解题． 变式3．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”的意义，理解“倍根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． （1）设方程的两个根为，，由倍根方程的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （2）根据倍根方程的定义即可找出，之间的关系； （3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵方程的一个根为2， 则另一个根为1或4， 当另一个根为1时，则， ∴，即：， 当另一个根为4时，则， ∴，即：； （3）解：设与是方程的解， ，， 消去得：． 【题型7 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 例1．关于x的方程，有下面5个说法： ①存在实数k，使得方程无实数根； ②存在实数k，使得方程恰有1个实数根； ③存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根； ④存在实数k，使得方程恰有3个不同实数根； ⑤存在实数k，使得方程恰有4个不同实数根； 其中正确的说法有（    ）个 A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】设，则原方程可变形为（1），利用一元二次方程根的判别式可得，再分三种情况讨论，结合一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可变形为（1）， ∴， ∴当，即时，方程（1）没有实数根， 即存在实数k，使得方程无实数根，故①正确； 当，即时，方程（1）有两个相等实数根， ∴， 解得：， 即存在实数k，使得方程恰有1个实数根，故②正确； 当，即时，方程（1）有两个不相等实数根， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴无实数根，有2个不相等的实数根， ∴存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根，故③正确；不存在实数k，使得方程恰有3个或4个不同实数根，故④⑤错误； ∴正确的说法有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是用换元的思想，将原方程转化为较简单的方程，本题分类比较复杂，属于较难试题． 例2．若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的根的情况，逐项分析判断即可． 【详解】解：对于A：∵当时，代入方程得， ∴当，方程的一个根为，但1不一定是方程的根，故错误． 对于B：∵时，方程化为，∴有一个根为0，正确． 对于C：∵时，方程化为，解得，两根互为相反数，正确． 对于D：∵时，两根之积为，∴两根互为倒数，正确． 综上，不正确的是A． 故选A． 变式1．已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 【答案】D 【分析】此题主要 考查了一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义等知识．根据已知条件，将根代入方程得到关系式，并结合分析各选项的正确性． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为， ∴， 即， ∵， ∴与符号相反， 当时，，，即，得到，故选项A正确； 当，时，则，则，即，得到，故选项B正确； 若方程的另一个实数根是，则方程有两个相等的实数根，则，即， 即，则，与已知矛盾， ∴方程的另一个实数根不可能是， 故选项C正确； 若方程的另一个实数根是1，则，即，， ∴，与已知矛盾， 即方程的另一个实数根不可能是1， 故选项D错误，符合题意． 故选：D 变式2．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法： ①方程是2倍根方程； ②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数）， 则； ③若，则关于x的方程是2倍根方程； ④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1. 则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据新定义推导一元二次方程根与系数的新关系、一元二次方程的解法等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 通过解出一元二次方程，结合“n倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“2倍根方程”的定义，得出或，进而得出、，然后再用十字相乘法分解即可判定②；通过解出一元二次方程，结合“2倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“2倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而得出，求出解即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得可得：， ∴方程不是2倍根方程，故①错误； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴，， ∴，即，故②错误； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是2倍根方程， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则，故④正确． 综上所述，关于2倍根方程的说法正确的为：③④． 故选：D． 变式3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键在理解题意，正确作出判断． 通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“倍根方程”的定义，得出或，进而得出或，然后再用十字相乘法分解，再把，代入，即可判断说法②；通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系，得出，进而得出，解出即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得：， ∴方程不是倍根方程，故①不正确； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴或， ∴，故②正确； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是倍根方程， ∴设， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即方程的一个根为1． 故④正确． 综上所述，说法正确的为：②③④． 故答案是：②③④ 【题型8 一元二次方程根与系数关系的应用】 例1．若，是关于的方程：的两个根，且则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． 根据根与系数的关系得到，，根据完全平方公式变形得到，即，解方程得到，进而根据根的判别式找出符合要求的解即可． 【详解】解：∵若，是关于的方程：的两个根， ∴，． 由，得， 即， 整理得， 解得． 当时，判别式，方程无实根，舍去； 当时，判别式，方程有两个实根，符合题意． 故答案为：1． 例2．已知关于的一元二次方程满足．若一元二次方程的两实根为，，且，则之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形求值． 根据根与系数的关系可得，，根据，可得，结合可得，解出的值即可． 【详解】解：∵方程的两实根为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得： ， ∴或， ∴之间的数量关系为或． 故答案为：或． 变式1．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2043 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据二次项系数 且判别式大于零列式求解即可； （2）把代入方程得到 ，由两根为 和 ，得出 ，，，然后将原式变形为求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， ∴或， 解得或， 综上可知，或且． （2）解：取满足（1）中条件的最小正整数，即． 代入方程得， 设两根为和，则，，， ∴，， ． 变式2．已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查含参方程的根的个数以及一元二次方程根与系数的关系，注意判别方程的形式是解题的关键． （1）由于题干未明确方程形式，故对与进行分类讨论，要使方程有根，一次方程满足题意要求，二次方程需满足，计算得出的取值范围即可； （2）既然方程有两个根，即为二次方程，故根据二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵该一元二次方程有实数根， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为； （2）解：∵和是方程的有两个根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得，满足， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ∴的值为． 变式3．阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比探究：已知实数，满足，．________． (3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2)2或 (3)7 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）由，，将、看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：，， 将、看作是方程的两实数根， ， ， ， 则， ， ， ， ， 的最大值为7． 1．关于x的一元二次方程的两个根满足，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之和为6，直接求解a的值． 【详解】解：∵方程化为标准形式：， ∴两根之和， 又∵，即， ∴， ∴． 故选：C． 2．若，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 先根据一元二次方程的定义得到，利用降次的方法得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ， ，是方程的两个实数根， ， 故选：B． 3．若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．6或 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，由题意得到，，再由得到，再得到方程，解得b，分别代入进行检验即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，满足题意， 当时，，不满足题意， ∴， 故选：A． 4．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键； 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可判断①；把代入方程变形进而可判断②；把代入方程即可判断③；把代入方程变形整理得到，即可判断④，即可求解. 【详解】解：若方程的两个根是和，则， ∴， ∴，故说法①正确； 若是方程的一个根，则， ∴， ∴或， ∴当时，不一定有，故说法②错误； 若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确； 若方程有一个根是，则， ∴，即， ∴方程一定有一个实数根，故说法④正确； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 5．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解二元一次方程组，由题意得，，，，则，，联立，，解得，，然后构造一元二次方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴，， 联立解得：，， ∴，， ∴以两实数根分别为，的方程是， 故选：． 6．对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 7．已知实数，满足，，且，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识．将化为，得到实数，是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【详解】解：化为， ，且， 实数，是方程的两个根， ，， ， 故选：A． 8．已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，根据题意得、为方程的两个根，得到，，将转化为，然后代入计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵两个不等实数，满足，， ∴、为方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：A． 9．若α，β是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．由一元二次方程根与系数的关系可得 和 的值，然后代入所求式子计算 【详解】解：∵ α， β 是方程 的两个根， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：7． 10．关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算，由一元二次方程根和系数的关系可得，，即得到，得到，进而根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 11．已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意得到，，，进而化简求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 12．为方程的两个根，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据方程的系数结合根与系数的关系解题即可． 【详解】解：由题意知：，， ∴ ． 故答案为： ． 13．已知，且有，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握同解方程，和根与系数的关系，是解题的关键． 把的两边同时除以，得到，则x、是关于x的方程的两根，则利用根与系数的关系求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴x、是关于x的方程的两根， ∴． 故答案为：． 14．已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系等． （1）根据方程可知，，，再利用即可证明本题答案； （2）利用方程可知，，再将题干式子通分代入两根之和与两根之积，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：∵，，， ∴， ， ， ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，是原方程的两根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 检验，是分式方程的解， ∴m的值为1． 15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， (1)求实数的最小整数值； (2)当实数取最小整数值时，若方程的实数根为，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根与系数的关系、根的判别式的意义； （1）根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，从而求得m的最小整数值； （2）根据根与系数的关系即可得出，代入整理后的代数式即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， 且 且 ∴实数的最小整数值为； （2）由（1），得 ，方程为 ， 16．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，求的值； (2)已知，满足，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题中所给结论得出，的值，代入计算即可； （2）将和可看成是方程的两个根， 先利用根的判别式判断，再利用根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：，是方程的两根， ，， ； （2）解：，满足，， 和可看成是方程的两个根， ， ， ，， ． 17．一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 【答案】(1)6 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）将，代入方程，作差，进行因式分解得到，继而得到，然后用m表示n，再根据已知条件即可求证． 【详解】（1）解：将代入方程，则， ； （2）解：，， ，， 解得：，； （3）证明：当，，且， ①， ②， 得：， 即， 因， ， ， 由题知：， 即， 故 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程都有实数根； (2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式及根与系数的关系． （1）证明根的判别式，可得结论； （2）将代入方程，根据根与系数的关系得到，再代入代数式求值． 【详解】（1）， 无论k为何值，，即， 关于x的一元二次方程都有实数根； （2）当时，原方程为，则， ． 19．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)方程是“倍根方程” (2)代数式的值为或 (3)m的值为13或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、代数式求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． （1）利用因式分解法解方程得到、，然后根据“倍根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到、，再根据新定义解得或；然后把或分别代入所求的代数式中求值即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，，然后求出，再计算对应的m的值即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． （3）解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或． 20．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)的值为0． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． （1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （3）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵，， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是； （2）解：设方程的两个根分别为：，， 则由根与系数的关系可得：，， 消去得：， 故答案为：； （3）解：方程的两个根为：， ∴或，即或， 当时， ； 当时，； 故：的值为0． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $