第07讲 一元二次方程的应用（1知识点+12题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪科版

第07讲 一元二次方程的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元二次方程的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元二次方程的常见问题及数量关系： 常见问题 数量关系 变化率问题 利润问题 利润=售价-进价； 利润率=利润/进价×100% 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. 循环问题 单循环（如握手问题）：n（n－1） （其中n为人数） 双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数） 面积问题 (a−2x)(b−2x) （x为空白部分的宽） (a−x)(b−x) （x为阴影部分的宽） 【即时训练】 1．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为___________m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽． 2．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳11月份的进馆人次？说明理由． 3．如图，一个三角点阵从上向下数有无限多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第行有个点，容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和． 根据上述规律，请你回答下列问题： (1)三角点阵中前行的点数的和能是200吗？如果能，求出的值；如果不能，试说明理由； (2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为，你能探究出前行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前行的点数的和能是240吗？如果能，求出的值；如果不能，试说明理由． 4．某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少元，用元购买乙种树苗的数量恰好是用元购买甲种树苗的数量的． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元； (2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高元，求的值． 5．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块矩形果园，图是果园的平面图，其中，．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为，左右两条纵向道路的宽度都为，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过，且不小于． 素材2 该农户发现某种草莓销售前景比较不错，经市场调查发现，草莓培育一年可产果，已知每平方米草莓的平均销售利润为100元：果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响问题． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围； （2）若中间种植区域的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求？ 任务2 解决果园种植的预期净利润问题．（净利润=草莓销售的总利润-路面造价费用-果园承包费用-新苗购置费用-其余费用） （3）经过1年后，该农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 6．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应上涨多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【题型1 传播问题】 例1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过第三轮传染一共有多少人感染？ 变式1．某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 变式2．小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 变式3．化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【题型2 增长率问题】 例1．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 变式1．某超市于今年年初购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)若按照（1）中的增长率增长，请你估计四月份的销售量是多少？ 变式2．某电子设备厂专注于小型智能传感器的生产，随着春节前智能家居市场需求攀升，工厂在年初调整了生产计划．已知该工厂一月份为满足首批订单需求，实际产量折合产值达5万元；二月份，工厂优化了生产线流程，同时招聘了20名熟练技工，产量逐步提升；到三月份，不仅完成了节前加急订单，产值更是突破至11.25万元．假设二月份与三月份工厂每月产量（以产值计算）的月平均增长率相同，试求该工厂二、三月份的月平均增长率是多少？ 变式3．某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到袋． (1)求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率． (2)已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 【题型3 与图形有关的问题】 例1．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 变式1．为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是米的道路．已知铺花砖的面积为平方米．求道路的宽是多少米？ 变式2．我市高铁片区计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米． (1)设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是 （用含x的代数式表示）； (2)求出车道的宽x是多少米？ 变式3．列方程解决实际问题： 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地：一面利用墙（墙的长度足够长），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． (1)______米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 【题型4 数字问题】 例1．一个两位数，个位数字与十位数字的和为，并且个位数字的平方比十位数字大，求这个两位数． 变式1．小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年䍅为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）． 变式2．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，请列一元二次方程求x的值． 变式3．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 【题型5 营销问题】 例1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元． (1)若每件商品降价5元，那么每件商品的利润是______元，每星期的销售量是______件，每周的利润是______元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，并且商家还想获得6080元的利润，应将每件的销售价降低多少元？ 变式1．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y（个）与售价x（元/个）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 变式2．某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． (1)平均每天的销售量为 本（用含x的代数式表示）； (2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2210元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 变式3．为了更好推广平和美食——麻枣和枕头饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：麻枣和枕头饼销售方案制定问题 平和糕点历史悠久，平和麻枣，外酥内软，甜而不腻；枕头饼馅料饱满，芝香浓郁．皆为传统名点，馈赠佳品． 素材1 平和麻枣 平和枕头饼       素材2   经统计，该甜品店10月份“平和麻枣”销售量为480盒，12月份销售量为750盒；而“枕头饼”10月份销售量为600盒． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“枕头饼”作降价促销，已知每盒“枕头饼”的成本为10元．经试验，发现该款“枕头饼”每盒每降价1元，月销售量就会增加100盒． 问题解决 任务1 求该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店10月份“枕头饼”的总利润达到6300元，求该枕头饼每盒应该降价多少元? 【题型6 动态几何问题】 例1．如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 变式1．已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1） 中，的面积能否等于？请说明理由． 变式2．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着边匀速移动，当运动时间为多少时，的面积等于？ 变式3．如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 【题型7 工程问题】 例1．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 变式1．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 变式2．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 变式3．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【题型8 行程问题】 例1．一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． (1)汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． (2)求汽车行驶了18米时的速度． (3)当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 变式1．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 变式2．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 变式3．阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【题型9 图标信息题】 例1．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 变式1．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 变式2．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 变式3．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【题型10 其他问题】 例1．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 芯片是现代电子设备的核心组件，人工智能、电动汽车、5G网络等新技术进一步推动芯片技术革新，某芯片加工公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个芯片，第三季度生产了288万个芯片． 素材2 经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 任务1 已知每季度内存芯片生产量的平均增长率相等，求第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率． 任务2 要保证该公司每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 变式1．额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． (1)若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 变式2．通过对苏科版九（上）教材一道习题的探索研究，“在一次聚会中，有45个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？” 对这个问题，我们可以作这样的假设：第1个学生分别与其他44个学生握手，可握44次手；第2个学生也分别与其他44个学生握手，可握44次手；……依此类推，第45个学生与其他44个学生握手，可握44次手，如此共有次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进行计算的．因此，按照题意，45个人每两人之间握一次手共握了次手．像这样解决问题的方法我们不妨称它为“握手解法”． (1)若本次聚会共有n个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手．请灵活运用这一知识解决下列问题． (2)一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有378条信息，这个QQ群中共有多少个好友？ (3)已知一条直线上共有5个点，那么这条直线上共有几条线段？ (4)利用（3）的结论解决问题：已知由边长为1的正方形拼成如图所示的矩形，图中共有①多少个矩形？②多少个正方形？ 变式3．如图所示，有两个体积相同的圆柱形铁块A和B，圆柱A的底面半径为，高为且比圆柱B高．(π取3) (1)求圆柱B的底面积． (2)一个底面长，宽的长方体水箱里有一些水，将圆柱A和B立放于水箱里，水的深度恰好与圆柱A的高度相同，则水箱中，圆柱A，B放入之前的水面高度是多少厘米? 【题型11 握手循环赛问题】 例1．某次校友聚会上，所有参加聚会的校友之间都相互握手问候，据统计共握手45次，求参加聚会的校友人数． 变式1．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 变式2．九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 变式3．行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【题型12 一元二次方程新定义的应用】 例1．定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． (1)一元二次方程 “ 归零方程”；一元二次方程 “归零方程”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 变式1．在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义与基本方法去思考．试利用方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题： 已知是关于的方程及的公共解，求和的值． 变式2．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“整根方程”，代数式的值为该“整根方程”的“特征值”，用表示，若另一个一元二次方程也为“整根方程”，其“特征值”记为．当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“整根关联方程”． (1)“整根方程”的“特征值”是 ； (2)若（1）中的方程是一元二次方程的“整根关联方程”，求q的值； (3)若一元二次方程是（m，n均为正整数）的“整根关联方程”，求的值． 变式3．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 1．某工地有一块长方形空地，长比宽多米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面（拐弯处是直角），路面的面积恰好是平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个根，设，，则M与N的大小关系正确的为（    ） A． B． C． D．不确定 3．如图，这是某小区绿化带上的植草砖，其由一个正方形砖块将四角镂空半径相同的四分之一个圆以及中心镂空同样半径的圆制成，已知正方形的剩余边的长为，砖面面积为．设原正方形的边长为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 4．某小区为实现“人车分离”，在小区入门处搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的围墙（长为），其他边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏）．若车棚的占地面积为，则车棚的长为（    ） A． B． C． D． 5．2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式中，某徒步方队由解放军官兵组成．该方队每横排的人数比每纵列人数的2倍少3人，加上走在方队前面的2名指挥员，一共352人，则方队每横排的人数为（   ） A．25 B．26 C．28 D．30 6．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 7．某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛．花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为，另外三边使用总长为的防腐木栅栏围成．若要使这个花坛的面积恰好达到，那么边的长度应为 m． 8．如图，在等腰三角形中，，为边上的高，，点P从点A出发，以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点D出发，以的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间为． （1）当时，的长为 ．（用含t的式子表示 （2）当时，若的面积恰好等于，则t的值为 ． 9．小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是 毫升． 10．如图，在矩形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从点D，A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止移动．若点P移动的时间为t秒． （1）当点P在移动时，的长为 ．（用含t的式子表示） （2）当以A，P，Q为顶点的三角形的面积为时，t的值为 ． 11．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：按照这个规定，解决下列问题： （1） ． （2）关于x的方程（其中）的解为 ． 12．如图所示，已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过点E作EF丄CD，垂足为F．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，若设AE=x，则BE= ，求得AE的长为 （用含字母a 的式子表示） 13．如图所示，某农户利用一面长度为的住房墙，用长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在垂直于住房墙的边留有一个宽的门，问能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出该矩形菜园的长与宽；若不能，说明理由． 14．如图，某市近郊有一块长为，宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽为，则_____；（用含x的代AI数式表示） (2)若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为多少米． 15．水果店销售某种进口水果，平均每天可售出100千克，每千克盈利12元．为了扩大销量，水果店进行优惠活动，经一段时间销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多卖出20千克． (1)若销售单价降低元，则平均每天销售________千克； (2)在让顾客得到更多实惠的前提下，若水果店每天销售利润要达到1400元，则该种水果销售单价应降低多少元？ 16．某玩具店销售一批玩具狗，平均每天可售出20件，每件盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件玩具狗每降价1元，平均每天可多售出2件． (1)若玩具店销售这种玩具狗每天要盈利750元，每件玩具狗应降价多少元？ (2)按这样的降价措施，该玩具店销售这种玩具狗每天获利能否达到840元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． 17．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 18．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 19．综合与实践 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可以表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程，因为表示边长，所以，即． 遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】 （1）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（______）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在图2中标出各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程为______； 【拓展应用】 （2）一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，求该方程的一个正根． 20．通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 一元二次方程的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元二次方程的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元二次方程的常见问题及数量关系： 常见问题 数量关系 变化率问题 利润问题 利润=售价-进价； 利润率=利润/进价×100% 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. 循环问题 单循环（如握手问题）：n（n－1） （其中n为人数） 双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数） 面积问题 (a−2x)(b−2x) （x为空白部分的宽） (a−x)(b−x) （x为阴影部分的宽） 【即时训练】 1．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为___________m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽． 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 【分析】本题考查用代数式，一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， 故答案为：； （2）由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； 2．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳11月份的进馆人次？说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、含乘方的有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设进馆人次的月平均增长率为，根据到10月份累计进馆570人次建立方程，解方程即可得； （2）结合（1）的结论，先求出10月份的进馆人次，再求出11月份的进馆人次，与400人次进行大小比较，由此即可得． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：进馆人次的月平均增长率为． （2）解：学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次．理由如下： 由（1）已得：进馆人次的月平均增长率为， ∴10月份的进馆人次为（人次）， ∴11月份的进馆人次为（人次）， ∵因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，且， ∴学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次． 3．如图，一个三角点阵从上向下数有无限多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第行有个点，容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和． 根据上述规律，请你回答下列问题： (1)三角点阵中前行的点数的和能是200吗？如果能，求出的值；如果不能，试说明理由； (2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为，你能探究出前行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前行的点数的和能是240吗？如果能，求出的值；如果不能，试说明理由． 【答案】(1)前行的点数的和不能是200，理由见解析 (2)，这个三角点阵中前15行的点数的和是240，为15 【分析】本题主要考查图形规律，一元二次方程的运用，结合图形，找出数量关系是关键． （1）根据题意得到前行的点数和为，结合题意列式求解即可； （2）根据题意，当每行的点数变为时，此时前行的点数和为，结合题意列式求解即可． 【详解】（1）解：前4行的点数和为10，前5行的点数和为，前6行的点数和为，前7行的点数和为， 找出规律， 则前行的点数和为， 假设三角点阵中前行的点数的和能是200，则， 即，解得， 由于为无理数，不可能为整数，故前行的点数的和不能是200； （2）解：由（1）知，每行的点数与行数一致时，前行的点数和为， 当每行的点数变为时，此时前行的点数和为， 假设三角点阵中前行的点数的和能是240，则， 即， 解得， 由于为正整数，故为15，即这个三角点阵中前15行的点数的和是240． 4．某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少元，用元购买乙种树苗的数量恰好是用元购买甲种树苗的数量的． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元； (2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高元，求的值． 【答案】(1)10元；8元 (2)12 【分析】本题考查了分式的应用，一元二次方程的应用； （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据题意列出分式方程，解方程，并检验即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元； （2）解：由（1）可知，棵，棵， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 5．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块矩形果园，图是果园的平面图，其中，．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为，左右两条纵向道路的宽度都为，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过，且不小于． 素材2 该农户发现某种草莓销售前景比较不错，经市场调查发现，草莓培育一年可产果，已知每平方米草莓的平均销售利润为100元：果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响问题． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围； （2）若中间种植区域的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求？ 任务2 解决果园种植的预期净利润问题．（净利润=草莓销售的总利润-路面造价费用-果园承包费用-新苗购置费用-其余费用） （3）经过1年后，该农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）可以，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】解：（1）不超过，且不小于 纵向道路宽度的取值范围为 （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 6．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应上涨多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)①15元；②不能实现，计算说明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，熟练掌握增长率问题和销售利润问题，列出一元二次方程，判断一元二次方程解的情况，是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长a元，则此时售价为元，①根据月销售利润达到11250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；②根据使月销售利润达到12500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）①解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长a元， 则此时售价为元， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：品牌头盔的实际售价每个应上涨15元； ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∴， ∴方程无实数根， 故不能实现利润为12500元． 【题型1 传播问题】 例1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过第三轮传染一共有多少人感染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人 (2)经过第三轮传染一共有512人感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 根据题意列式计算即可． 【详解】（1）每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）根据题意得：人， 答：经过第三轮传染一共有512人感染． 变式1．某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 变式2．小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【答案】小华邀请了10名同学转发 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传播规则，结合经过两轮转发后共有111个人参与了小华创意作品的转发活动，即可得出关于x的一元二次方程求解． 【详解】解：设小华邀请了x名同学转发， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小华邀请了10名同学转发． 变式3．化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 【题型2 增长率问题】 例1．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔5月份及7月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】解：设月增长率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 变式1．某超市于今年年初购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)若按照（1）中的增长率增长，请你估计四月份的销售量是多少？ 【答案】(1) (2)500件 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，利用该商品三月份的销售量=该商品一月份的销售量×(1+月平均增长率)2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据（1）中的增长率，列算式求解即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：（件）， 答：四月份的销售量是500件． 变式2．某电子设备厂专注于小型智能传感器的生产，随着春节前智能家居市场需求攀升，工厂在年初调整了生产计划．已知该工厂一月份为满足首批订单需求，实际产量折合产值达5万元；二月份，工厂优化了生产线流程，同时招聘了20名熟练技工，产量逐步提升；到三月份，不仅完成了节前加急订单，产值更是突破至11.25万元．假设二月份与三月份工厂每月产量（以产值计算）的月平均增长率相同，试求该工厂二、三月份的月平均增长率是多少？ 【答案】50% 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键． 根据增长率问题的公式，列方程求解即可． 【详解】解：设该工厂二、三月份的月平均增长率为， 根据题意可得，， 解得（舍去）， 答：该工厂二、三月份的月平均增长率为50%． 变式3．某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到袋． (1)求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率． (2)已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 【答案】(1)该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为 (2)当农产品每袋降价5元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）设三、四这两个月的月平均增长率为x，利用增长率问题表示出四月的销量，列出方程，进而求出答案； （2）设当每袋降价m元时，表示出销量与每袋的利润，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，进而解方程求出答案． 【详解】（1）解：设该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为； （2）设当农产品每袋降价m元时，该网店五月份获利3250元， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价5元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元． 【题型3 与图形有关的问题】 例1．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据右边宽与天头长的比为，即可求解； （2）根据“装裱后作品总面积为”，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵装裱后左右两边的边宽分别是，右边宽与天头长的比为， ∴天头长和地头长分别是； 故答案为： （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 变式1．为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是米的道路．已知铺花砖的面积为平方米．求道路的宽是多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，由题意得：，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：（舍）， ∴道路的宽是米． 变式2．我市高铁片区计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米． (1)设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是 （用含x的代数式表示）； (2)求出车道的宽x是多少米？ 【答案】(1) (2)车道的宽x是3米 【分析】利用停车位的横向长度=停车场外围的长-车道的宽度，即可用含x的代数式表示出停车位的横向长度； 根据停车位的面积为204平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出停车位的横向长度；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去）； 答：车道的宽x是3米． 变式3．列方程解决实际问题： 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地：一面利用墙（墙的长度足够长），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． (1)______米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 【答案】(1) (2)6米或10米 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据篱笆总长及长、宽关系列代数式即可，注意前端有2个小门； （2）根据长宽之积为180平方米，列一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，米， 故答案为：； （2）解：由题意得， 整理得， 解得或， 故宽为6米或10米． 【题型4 数字问题】 例1．一个两位数，个位数字与十位数字的和为，并且个位数字的平方比十位数字大，求这个两位数． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，根据题意，设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，由此列式求解即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意，得，整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， ， 这个两位数为． 变式1．小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年䍅为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）． 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为，然后根据个位的平方恰好等于该数列出方程求解即可． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为， 由题意得， 解得， ∴十位数字为2或3 ∵而立之年督东吴，“而立之年”指的是三十岁， ∴应舍去， ∴周瑜去世时年龄为36岁． 变式2．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，请列一元二次方程求x的值． 【答案】 【分析】本题考查了日历表中的数字规律及一元二次方程的建立与求解，解题的关键是根据日历中相邻数字的排列特点（同一列相邻数差7，同一行相邻数差1），确定圈出的6个数中最大数与最小数的数量关系，再结合“最大数与最小数的积为225”列方程求解． 先观察日历中圈出的6个数的规律（如示例：最小数8，最大数24，两者相差16），得出“最大数与最小数的差为16”，即最小数为；再根据“最大数与最小数的积为225”列出一元二次方程；将方程整理为一般形式后求解，结合日历数字为正整数的实际意义，舍去不合理的解，得到的值． 【详解】解：∵最大数与最小数的积为225， ∴列方程得． 整理方程：． 因式分解得， 解得，． ∵日历中的数字为正整数，不符合实际意义，舍去． ∴的值为25． 变式3．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 【答案】(1) 是三角点阵中前行的点数和 (2) 是三角点阵中前行的点数和 【分析】本题考查一元二次方程的应用，图形变化的规律，能根据所给图形，用含的代数式表示出前行点数和是解题的关键． （1）依次求出前几行点数的和，根据发现的规律即可解决问题． （2）由（1）的发现即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，第一行点的个数为：； 前两行点数和是：； 前三行点数和是：； … 所以前行的点数和是 当时， 解得或（舍去）， ∴15 是三角点阵中前行的点数和． （2）解：依题意，， 解得：或（舍去） ∴ 是三角点阵中前行的点数和． 【题型5 营销问题】 例1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元． (1)若每件商品降价5元，那么每件商品的利润是______元，每星期的销售量是______件，每周的利润是______元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，并且商家还想获得6080元的利润，应将每件的销售价降低多少元？ 【答案】(1)，， (2)应将每件的销售价降低4元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合每件商品降价5元，售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，得出每件商品的利润是15元，每星期的销售量是件，故每周的利润是元，即可作答． （2）理解题意，设将每件的销售价降低元，则每星期的销售量是件，结合获得6080元的利润，列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵每件商品降价5元， ∴（元）， ∴每件商品的利润是15元， 则每星期的销售量是（件）， 每周的利润是（元）， 故答案为：，，； （2）解：设将每件的销售价降低元，则每星期的销售量是件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵为了让顾客得到更多的实惠 ∴ 答：应将每件的销售价降低4元． 变式1．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y（个）与售价x（元/个）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出y与x的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据每天的利润等于每个纪念章的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 由题意得，， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：由题意得，， 整理得或（舍去）， 答：当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 变式2．某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． (1)平均每天的销售量为 本（用含x的代数式表示）； (2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2210元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【答案】(1) (2)每本画册应降价3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出平均每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用平均每天的销售量这种画册每本降价的钱数，即可用含x的代数式表示出平均每天的销售量； （2）利用总利润=每本的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合每本售价不低于55元，即可确定结论． 【详解】（1）解：依题意，当这种画册每本降价x元时，平均每天的销售量为本． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得： 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每本画册应降价3元． 变式3．为了更好推广平和美食——麻枣和枕头饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：麻枣和枕头饼销售方案制定问题 平和糕点历史悠久，平和麻枣，外酥内软，甜而不腻；枕头饼馅料饱满，芝香浓郁．皆为传统名点，馈赠佳品． 素材1 平和麻枣 平和枕头饼       素材2   经统计，该甜品店10月份“平和麻枣”销售量为480盒，12月份销售量为750盒；而“枕头饼”10月份销售量为600盒． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“枕头饼”作降价促销，已知每盒“枕头饼”的成本为10元．经试验，发现该款“枕头饼”每盒每降价1元，月销售量就会增加100盒． 问题解决 任务1 求该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店10月份“枕头饼”的总利润达到6300元，求该枕头饼每盒应该降价多少元? 【答案】任务1：；任务2：降价3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 任务1：设该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； 任务：设该“枕头饼”每盒应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为盒，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：任务1，设该店销售“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去）． 答：该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是； 任务2，设平和枕头饼每盒应该降价m元，则每盒的利润为元，月销售量为盒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，， 答：该店10月份“枕头饼”的总利润达到6300元，枕头饼每盒应该降价3元． 【题型6 动态几何问题】 例1．如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 变式1．已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1） 中，的面积能否等于？请说明理由． 【答案】(1)2秒或者3秒后的面积等于 (2)不能等于，理由见详解 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积等于”得出等量关系是解决问题的关键． （1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解． （2）通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 则， 整理得：， 解得：， 答：2秒或者3秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， 所以此方程无解， 故的面积不能等于． 变式2．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着边匀速移动，当运动时间为多少时，的面积等于？ 【答案】当5秒时，的面积 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积．设运动时间为，可得，，，再利用三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意可得：，， ∵，，， ∴， ∴， 解得：或． 当时，， ∴应舍去，所以． ∴当5秒时，的面积． 变式3．如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 【答案】(1)， (2)1或5 【分析】（1）根据点，的运动速度及时间，即可用含的代数式表示出当运动时间为时，的长度； （2）根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长度；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；． （2）解：依题意得：， 即， 整理得：， 解得：，． 答：的值为1或5． 【题型7 工程问题】 例1．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 变式1．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 变式2．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 变式3．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 【题型8 行程问题】 例1．一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． (1)汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． (2)求汽车行驶了18米时的速度． (3)当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 【答案】(1)13 (2)10米/秒 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数关系式的建立等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速度每秒增加1米，则5秒速度增加到（米/秒）； （2）设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒，根据“距离=平均速度时间t，”列方程求解； （3）根据“距离=平均速度时间t，”建立函数关系式． 【详解】（1）解：（米/秒）， 故答案为：13； （2）解：设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒． 根据题意，得． 解得，（舍去）． 米/秒 答：汽车行驶了18米时的速度为10米/秒． （3）解：由题意得， ∴． 变式1．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 变式2．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【详解】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 变式3．阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒 【分析】（1）由图可知，甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与时间的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程； （2）由图可知，甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与时间的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值； （3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线， 又其过点， 甲的速度与时间的函数解析式为， 甲在秒内经过的路程为： ， 故答案为：； （2）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线， 设， 又其过点， 把代入，得：， 解得：， 乙的速度与时间的函数解析式为， 当甲、乙速度相等时，根据题意得： ， 解得：， 出发后，甲、乙速度相等的时间为秒； （3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等， 甲的路程为：， 乙的路程为：， 根据题意得：， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 出发后，甲、乙相遇的时间为秒． 【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用（其他问题），一元二次方程的应用（行程问题），有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，能够从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 【题型9 图标信息题】 例1．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】(1)见解析 (2)这5个数中最大数为29． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 变式1．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 变式2．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 变式3．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 【题型10 其他问题】 例1．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 芯片是现代电子设备的核心组件，人工智能、电动汽车、5G网络等新技术进一步推动芯片技术革新，某芯片加工公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个芯片，第三季度生产了288万个芯片． 素材2 经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 任务1 已知每季度内存芯片生产量的平均增长率相等，求第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率． 任务2 要保证该公司每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】任务1：20%；任务2：4条． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． （1）根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； （2）根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【详解】解：任务1：设第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：第二、三季度内存芯片生产量的季度平均增长率为20%； 任务2：设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度． 根据题意得：， 解得：（舍） 答：应该再增加4条生产线． 变式1．额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． (1)若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【答案】(1)1452 (2)25名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解决本题关键是读懂题意，建立等式列方程． （1）根据标准二先求解门票，即可求解总费用； （2）根据费用共计1500元，则人数超过20人，则根据标准二建立等式列方程即可． 【详解】（1）解：门票价格为（元／人）， ∴（元 ）， 故答案为：1452； （2）解：设该单位有名员工去该景区旅游， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时， 舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 变式2．通过对苏科版九（上）教材一道习题的探索研究，“在一次聚会中，有45个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？” 对这个问题，我们可以作这样的假设：第1个学生分别与其他44个学生握手，可握44次手；第2个学生也分别与其他44个学生握手，可握44次手；……依此类推，第45个学生与其他44个学生握手，可握44次手，如此共有次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进行计算的．因此，按照题意，45个人每两人之间握一次手共握了次手．像这样解决问题的方法我们不妨称它为“握手解法”． (1)若本次聚会共有n个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手．请灵活运用这一知识解决下列问题． (2)一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有378条信息，这个QQ群中共有多少个好友？ (3)已知一条直线上共有5个点，那么这条直线上共有几条线段？ (4)利用（3）的结论解决问题：已知由边长为1的正方形拼成如图所示的矩形，图中共有①多少个矩形？②多少个正方形？ 【答案】(1) (2)28个好友 (3)10条 (4)①；②40个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和图形的变化规律．掌握“握手解法”的计算方法和计算式子是解题的关键． （1）根据阅读材料得到规律； （2）利用（1）中的规律进行答题； （3）利用（1）中的规律进行答题； （4）利用列表法进行解答． 【详解】（1）解：∵本次聚会共有n个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手， ∴一共握手次． （2）解：设这个QQ群中有x好友， ∵每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，共有378条信息， ∴， 解得（舍去）． ∴． 答：28个好友． （3）解：∵一条直线上共有5个点， ∴这条直线上共有线段条． （4）解：①图中上有6个点， 可得上有个线段； 上有5个点， 可得上有个线段． 而上的任一条线段与上的任一条线段“握手”，都会构成一个矩形， ∴图中共有个矩形． ②上的线段与上的线段“握手”时，要构成正方形，就要求“握手”的两条线段必须相等．如下表： 线段长度 上的条数 上的条数 “握手”次数 1 5 4 2 4 3 3 3 2 4 2 1 由表中可得，共“握手”次， 即图中共有40个正方形． 变式3．如图所示，有两个体积相同的圆柱形铁块A和B，圆柱A的底面半径为，高为且比圆柱B高．(π取3) (1)求圆柱B的底面积． (2)一个底面长，宽的长方体水箱里有一些水，将圆柱A和B立放于水箱里，水的深度恰好与圆柱A的高度相同，则水箱中，圆柱A，B放入之前的水面高度是多少厘米? 【答案】(1)圆柱B的底面积是 (2)水箱中,圆柱放入之前的水面高度是 【分析】考查圆柱和长方体体积的问题及一元二次方程的应用，掌握体积公式是做题的关键． （1）考查了圆柱体积公式，根据A与B体积相等列方程求出即可， （2）水面与A平，所以能求出加入A和B后总的体积，减去A和B圆柱的体积可得长方体中水的体积，由长方体体积公式可求出高度． 【详解】（1）解：设圆柱B的底面半径为， 由题意，得圆柱B的高为， ∵圆柱A与圆柱B的体积相同， ∴， 解得， ∵π取3， ∴圆柱B的底面积， 答：圆柱B的底面积是； （2）两个圆柱放入长方体后，总体积， ∵， ∴， ∴水箱中，圆柱放入之前的水体积， ∴水箱中，圆柱放入之前的水面高度， 答：水箱中，圆柱放入之前的水面高度是． 【题型11 握手循环赛问题】 例1．某次校友聚会上，所有参加聚会的校友之间都相互握手问候，据统计共握手45次，求参加聚会的校友人数． 【答案】参加聚会的有10人． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设参加这次聚会的校友人数为x人，根据所参加的校友之间共握手次列出方程，求解即可． 【详解】解：设参加这次聚会的校友人数为x人， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有10人． 变式1．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设班级学生人数为人，则每人送出张卡片，共送出张卡片，根据“全班共送了张卡片”可列出方程，解方程即可求出答案，此时应注意考虑解的合理性．理解题意并正确列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设班级学生人数为人， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴班级学生人数为人． 变式2．九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】(1)正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 变式3．行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】(1)有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛 (2)小江说的有道理，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 【题型12 一元二次方程新定义的应用】 例1．定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． (1)一元二次方程 “ 归零方程”；一元二次方程 “归零方程”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 【答案】(1)是，不是 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程，新定义，理解新定义解题的关键． （1）根据“归零方程”的定义将各项系数相加计算结果是否为零进行判断即可； （2）根据“归零方程”的定义可得，则，方程可变形为，因为m 是这个“归零方程”的一 个根，代入即可求解． m 是这个“归零方程”的一 个根， 【详解】（1）解：， ∵， ∴此方程是“归零方程”； ， ∵， ∴此方程不是“归零方程”； 故答案为：是，不是； （2）解：是“归零方程”， ， ， ． 是这个“归零方程”的一个根， ， 解得． 变式1．在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义与基本方法去思考．试利用方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题： 已知是关于的方程及的公共解，求和的值． 【答案】的值为，的值为 【分析】根据一元二次方程解的意义，列出关于a、k的二元二次方程组，然后解方程组即可． 【详解】∵是这两个方程的公共根，则， 由①②得， 将代入①，得， 解得． 故的值为，的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出关于a、k的方程组，在解题时要重视解题思路的逆向分析． 变式2．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“整根方程”，代数式的值为该“整根方程”的“特征值”，用表示，若另一个一元二次方程也为“整根方程”，其“特征值”记为．当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“整根关联方程”． (1)“整根方程”的“特征值”是 ； (2)若（1）中的方程是一元二次方程的“整根关联方程”，求q的值； (3)若一元二次方程是（m，n均为正整数）的“整根关联方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解整根方程、整根关联方程、特征值的定义是解题的关键． （1）根据“特征值”定义求解即可． （2）根据定义可得，进而可得，解方程即可得到答案． （3）分别求出两方程的特征值，根据，即可得出的值． 【详解】（1）解：在关于的一元二次方程中， ， ∴“整根方程”的“特征值”是． 故答案为：． （2）解：∵关于的一元二次方程是关于的一元二次方程的“整根关联方程”， ， ， 解得：； （3）解：对于方程， ， 对于方程， ， ∵方程是方程的“整根关联方程”， ， ， ， ， ， ， ， ， 或， ∵、均为正整数， ∴不符合题意， ， ， 故的值为 2 ． 变式3．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)，1，，1 (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）直接根据计算即可； （2）把右边的写成求解即可； （3）利用配方法，结合求解． 【详解】（1）解：；；；； 故答案为：，1，，1； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， ， ， ∴， 解得：，． 1．某工地有一块长方形空地，长比宽多米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面（拐弯处是直角），路面的面积恰好是平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．空地的宽为米，则长为米． 铺设路面后，整个区域的宽和长各增加4米（因路面宽2米，每边增加2米），故整个区域宽为米，长为米． 路面的面积等于整个区域面积减空地面积． 【详解】解：∵ 空地的宽为米，长为米， ∴ 空地面积平方米， ∵ 路面宽2米，四周铺设， ∴ 整个区域宽米，长米， ∴ 整个区域面积平方米， ∴ ． 故选D． 2．若是方程的一个根，设，，则M与N的大小关系正确的为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和作差法比较大小，通过代入和化简得到定值，从而确定大小关系．将代入方程得到关系式，然后计算，利用代入化简比较大小． 【详解】解： 是方程 )的根， ，即 ． ， ， ． 故选：A． 3．如图，这是某小区绿化带上的植草砖，其由一个正方形砖块将四角镂空半径相同的四分之一个圆以及中心镂空同样半径的圆制成，已知正方形的剩余边的长为，砖面面积为．设原正方形的边长为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程建模和图形面积的计算，找出与不规则图形相关联的规则图形，通过和差法将涉及的规则图形面积相加或相减，得到不规则图形的面积是解题关键． 砖面面积=原正方形面积-镂空部分的总面积，四个角的镂空分别是圆，中心镂空的是同半径的圆，因此圆的半径为，求出两个圆的面积，结合正方形面积列方程求解即可． 【详解】解：原正方形边长为x，长为， 四个角的镂空圆半径， 中心镂空圆的半径与四角镂空圆相同， 镂空部分的面积为， 砖面面积为， 可列方程． 故选：A． 4．某小区为实现“人车分离”，在小区入门处搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的围墙（长为），其他边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏）．若车棚的占地面积为，则车棚的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ， 故选：B． 5．2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式中，某徒步方队由解放军官兵组成．该方队每横排的人数比每纵列人数的2倍少3人，加上走在方队前面的2名指挥员，一共352人，则方队每横排的人数为（   ） A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每纵列的人数为x人，则每横排的人数为人，根据一共有352人建立方程求解即可． 【详解】解：设每纵列的人数为x人，则每横排的人数为人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， ∴方队每横排的人数为25人， 故选：A． 6．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 7．某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛．花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为，另外三边使用总长为的防腐木栅栏围成．若要使这个花坛的面积恰好达到，那么边的长度应为 m． 【答案】14 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用和一元一次不等式，根据题意的等量关系列出方程是解题关键． 设，则，由矩形面积公式列出方程，解出x即可，同时要注意不能超过墙长． 【详解】解：设，则， 根据题意列方程得，， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，，     ∵墙长为， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：14． 8．如图，在等腰三角形中，，为边上的高，，点P从点A出发，以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点D出发，以的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间为． （1）当时，的长为 ．（用含t的式子表示 （2）当时，若的面积恰好等于，则t的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式及一元二次方程的求解． （1）根据点P的运动速度和时间，结合线段的长度关系，即可求出的长； （2）先根据等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据点P、Q的运动速度和时间表示出、的长，最后根据三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：（1）已知点P从点A出发，速度是，运动时间为， ∴， 又∵为等腰三角形，为边上的高， ∴点D为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． （2）当时，，， ∵， ∴中边上的高为， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 故答案为：． 9．小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是 毫升． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确的列出一元二次方程是解题的关键．设每次倒出液体为x升，则可计算出第一次倒出再加满水的溶液浓度，再根据第二次倒完后，剩下的纯酒精是81升，列出一个一元二次方程即可求解． 【详解】解：设每次倒出液体为x毫升， 则第一次倒出再加满水的酒精溶液浓度为 ， 由题意可得： ， 整理可得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴每次倒出的液体是10升． 故答案为：10． 10．如图，在矩形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从点D，A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止移动．若点P移动的时间为t秒． （1）当点P在移动时，的长为 ．（用含t的式子表示） （2）当以A，P，Q为顶点的三角形的面积为时，t的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式． （1）利用的长的长−点的运动速度运动时间求解即可； （2）分Q在和上讨论，根据三角形的面积构建方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， ∴， 故答案为：； （2）当Q在上时，此时， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）； 当Q在上时，此时， 根据题意，得， （不符合题意，舍去）， 综上，， 故答案为：． 11．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：按照这个规定，解决下列问题： （1） ． （2）关于x的方程（其中）的解为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次根式的性质，一元二次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键 （1）根据实数的大小比较法则和二次根式的性质求解即可； （2）分两种情况讨论：和，根据已知规定列一元二次方程分别求解即可． 【详解】解：（1），，且， ， ， 故答案为：； （2）若，则， 由题意得：， 解得：或（舍）； 若，则， 由题意得：， 解得：或（舍）， 方程的解为或， 故答案为：或． 12．如图所示，已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过点E作EF丄CD，垂足为F．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，若设AE=x，则BE= ，求得AE的长为 （用含字母a 的式子表示） 【答案】 【分析】设的长为，从而得出的长，再根据“正方形与四边形的面积相等，”列出方程，求出的值，即可得出的长． 【详解】解：设的长为，则的长为， ∵若正方形与四边形的面积相等， ∴， ∴ . ∵， ∴，（舍去） ∴的长为．    故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 13．如图所示，某农户利用一面长度为的住房墙，用长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在垂直于住房墙的边留有一个宽的门，问能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出该矩形菜园的长与宽；若不能，说明理由． 【答案】该菜园的长为8米，宽为7米 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解题关键是理解题意正确列出方程． 设为米，结合题意列出一元二次方程，求解后，结合一元一次不等式求出的取值范围即可得解． 【详解】解：设为米， 依题意得：， 解方程得：， ∵， ∴， ∴， 则当时，能围出一个面积为的矩形菜园． 答：能围出一个面积为的矩形菜园，该菜园的长为8米，宽为7米． 14．如图，某市近郊有一块长为，宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽为，则_____；（用含x的代AI数式表示） (2)若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为多少米． 【答案】(1)； (2)通道的宽为． 【分析】本题主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键． （1）结合图形列代数式表示即可； （2）结合图形，利用整个长方形面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可得． 【详解】（1）解：设通道的宽为，则； （2）解：根据题意得 ， 整理得， 解得 (不符合题意，舍去)． 即通道的宽为． 15．水果店销售某种进口水果，平均每天可售出100千克，每千克盈利12元．为了扩大销量，水果店进行优惠活动，经一段时间销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多卖出20千克． (1)若销售单价降低元，则平均每天销售________千克； (2)在让顾客得到更多实惠的前提下，若水果店每天销售利润要达到1400元，则该种水果销售单价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)该种水果销售单价应降低5元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系是解答本题的关键． （1）根据“降价前平均每天可售出100千克，降价后销售单价每降低1元，平均每天可多卖出20千克，则销售单价降低元多售出千克”列出代数式即可； （2）设该种水果销售单价应降低元，则每千克盈利元，根据“利润=每千克的利润×销售量”列方程并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：若销售单价降低元，则平均每天销售千克， 故答案为： ； （2）解：设该种水果销售单价应降低元，则每千克盈利元，平均每天销售千克．根据题意，得 ， 解得，． ∵要让顾客得到更多实惠， ∴． 答：该种水果销售单价应降低5元． 16．某玩具店销售一批玩具狗，平均每天可售出20件，每件盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件玩具狗每降价1元，平均每天可多售出2件． (1)若玩具店销售这种玩具狗每天要盈利750元，每件玩具狗应降价多少元？ (2)按这样的降价措施，该玩具店销售这种玩具狗每天获利能否达到840元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)若玩具店每天要盈利750元，每件玩具狗应降价15元 (2)该玩具店每天获利不能达到840元，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，则设每件玩具狗应降价x元，故每天售出件，结合玩具店每天要盈利750元进行列方程，再解方程，根据尽快减少库存取较大值即可． （2）理解题意，根据销售这种玩具狗每天获利840元，进行列方程，再整理，即可作答． 【详解】（1）解：设每件玩具狗应降价x元，则每天售出件， 由题意得：， 整理得：． 解得：，． 尽快减少库存， ． 即玩具店每天要盈利750元，每件玩具狗应降价15元； （2）解：按这样的降价措施，该玩具店每天获利不能达到840元，理由如下： 设每件玩具狗应降价y元，则每天售出件， 由题意得：， 整理得：． 则， 方程无实数根． 故按这样的降价措施，该玩具店每天获利不能达到840元． 17．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 【答案】(1) (2)21万元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）设下调后每辆新能源汽车的售价为万元，用代数式表示出平均每周的销售利润，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆新能源汽车的售价为万元，则每辆新能源汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 又此次销售尽量让利于顾客， ． 答：下调后每辆新能源汽车的售价为21万元． 18．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 【答案】(1)5秒 (2)从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 【分析】本题主要考查动点问题，一元一次与一元二次方程的应用，勾股定理； （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 19．综合与实践 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可以表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程，因为表示边长，所以，即． 遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】 （1）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（______）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在图2中标出各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程为______； 【拓展应用】 （2）一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，求该方程的一个正根． 【答案】（1）；在图中标出各边长见解析； ； （2）该方程的一个正根为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，矩形的性质，读懂题意、理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）依据题干方法得到，再在图中标出各边长，分别表示出图中大正方形的面积可表示为，图中四个矩形与中间小正方形面积之和，列方程即可； （2）先因式分解变形得，再分别表示出图中大正方形的面积，图中四个矩形与中间小正方形面积之和， 再根据题干条件分析，，由a为正数，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 将原方程变形为， 在图中标出各边长如下： 则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即， 因此，可得新的方程为：， 故答案为：； ； （2）， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为， ，， 解得， ∵， ∴， 则， ，即，方程的一个正根为； 综上所述，该方程的一个正根为． 20．通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 【答案】（1）B；（2）画图见解析，；（3）1，3，3，1， 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，明确一元二次方程的几何解法是解题的关键． （1）直接回答由构造图形解一元二次方程所最能体现的哪一种数学思想； （2）先构图，再解答即可； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块；则，进而可求根． 【详解】解：（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B； （2）如图， 用四个边长分别为，，且面积为的矩形构造大正方形， 根据题意得， 解得，； ， 即， 解得，（舍去）； 的正数解为； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块； ， 方程的解， 故答案为：1，3，3，1，7． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $