函数常用知识清单（8种初等函数+简图+性质+公式+图象变换）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中常用初等函数 一、 一次函数 解析式 图象 K>0 k<0 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 单调性 　　 　　 奇偶性 b=0为奇函数， b≠0非奇非偶函数 截距 横截距 纵截距 画 法 两点法：两点定一直线 二、 二次函数 解析式 ① 一般式 ②顶点式方程：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). ③零点式方程：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 二次函数的图象与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递增；　　 在上单调递减　　 在上单调递增；　　 在上单调递减　　 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 特殊点 与x轴交点 ，与y轴交点(0,c) ，顶点 （） 简图 画法 五点法 、 、 (0,c）关于对称轴对称的两点即顶点、交点、对称点 ： 三、 反比例函数 解析式 图象 K>0 K<0 定义域 值域 单调性 　　 　　 奇偶性 奇函数 截距 横截距 纵截距 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 对称 中心 （0，0） 渐近线 x轴和y轴 图象的两个分支都无限接近于x轴和y轴，但不相交. 比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线， 所得矩形的面积为. 简图 画法 一心两线一单调（取2个特殊点定单调） 四、对勾函数 解析式 (、) 图象 以a>0,b<0为例 定义域 值域 单调性 单调递增区间 ，， 单调递减区间 ，； 　 当、时， 在单调递增 当、时， 在 单调递减； 　 奇偶性 奇函数 最值 最值当且仅当，即时取最大、最小值 对称 中心 （0,0） 渐近线 y=ax和x=0 x=0 简图 画法 一心两线一拐点 （两线指渐近线， 分为上勾和下勾， 最低点及最高点） 一心一线一单调 （两特值定单调） 五、 一次分式函数 解析式 图象 定义域 值域 单调性 当ad>bc时，函数在区间和分别单调递减； 当ad<bc时，函数在区间和分别单调递增. 　 　 奇偶性 奇函数 最值 最值当且仅当，即时取最大、最小值 对称 中心 渐近线 ； 简图 画法 一心两线一单调（两特值定单调） 总结：一次分式函数看成是反比例函数变换而来. 六、指数和对数函数 解析式 图象 定义域 (－∞，＋∞) 值域 (－∞，＋∞) 单调性 a>1 在上是增函数 0<a<1 在上是减函数　 a>1 在上是增函数 0<a<1 在上是减函数　　 奇偶性 非奇非偶 顶点 范围 a>1 当时 当时 0<a<1 当时 当时 a>1 当时0 当时 0<a<1 当时 当时 特殊点 过定点 简图 画法 三点 、 三点 结论: （1）指数为底大图高， 轴右侧观察，图像从下至上，指数函数的底数依次增大. （2）对数为底大图低 0<c<d<1<a<b 在轴上侧观察，图像从左向右，对数函数的底数依次增大. 七、幂函数 常用幂函数 当时的五种函数，其中是非常熟悉的三个函数，只需熟记两个函数即可，要熟练掌握其图象、单调性、奇偶性。 1.图象分布：在第一象限内都有图象，在第四象限都没有图象； 2.单调性 （1）当a>0时，在第一象限内都是增函数； 其中，当a>1时，图象增长的快；当0<a<1时，图象增长的慢； （2）当a<0时，在第一象限内为减函数 3.定点(1,1) 4.画法：依据给出解析式及定义域、值域、单调性、奇偶性去画. (1)先画第一象限的，当a<0时，在第一象限内为减函数,与反比例类似， 当0<a<1时，图象增长的慢，与类似， 当a>1时，图象增长的快，与类似. (2)必过定点(1,1)(3)利用奇偶性再画其他象限的图象. 五种常见幂函数的图象与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减 公共点 (1,1) 八、 常见的几种函数图象变换： （1）平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） （2）对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④(，且)图象(，且)图象. （3）伸缩变换 ①. ②. （4）翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. 的图象是函数的图象原轴右侧的部分不变，去掉原轴左侧的部分，再将原轴右侧的部分对称到轴左侧.即简记为“去左翻右”得函数图象 （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 九、三角函数 1.任意角和弧度制 (1)弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角． (2)弧长公式：＝|α|R，扇形的面积公式：S＝R＝|α|R2. 2．任意角的三角函数 (1)设α任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝. (2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．诱导公式 公式一 sin(2kπ＋α)＝ ， cos(2kπ＋α)＝ ， tan(2kπ＋α)＝ (k∈Z) 公式二 sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ，tan (π＋α)＝ 公式三 sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ，tan (－α)＝ 公式四 sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝ ，tan(π－α)＝ 公式五 ， 公式六 口诀 奇变偶不变，符号看象限 4．同角三角函数基本关系式 sin2α＋cos2α＝ ，tan α＝ (cos α≠0) 5.常用角的三角函数值 角度制 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度制 sin cos tan 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6.（1）三角函数性质(下表中k∈Z). 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 {x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z} 值域 周期性 奇偶性 函数 函数 函数 单调性 为增； 为减 为减； [2kπ－π，2kπ]为增　　　　　 为增 最值 对称 中心 (kπ，0) 对称轴 x＝kπ＋ x＝kπ 无 零点 正值 区间 （2）关于的性质：例： 定义域： 值 域： 周 期： 整体法求 给x范围求最值。 7.公式 （1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β)) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β)) tan(α＋β)＝　(T(α＋β)) tan(α－β)＝　(T(α－β)) （2）二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α (S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) tan 2α＝ (T2α) （3）公式的变形和逆用 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下： 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2. 正切和差公式变形： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1. 配方变形：1＋sin α＝(sin＋cos)2，1－sin α＝(sin－cos)2. （4）辅助角公式 asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 8.三角函数的图象变换 由函数y=sin x的图象通过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法: 十.重要结论 1.集合的运算性质 （１）若 A= 的子集个数，真子集个数-1 2.公式 ①两个同底的恒等式：ⅰ.; ⅱ.; ②换底公式：； 。 ③传递性质： 3.对数函数及其性质且()，恒过点，图象恒在轴右边。 ①当时，是增函数；当时，是减函数； ②在同一坐标系作出多个对数函数的图象，在第一象限作垂直于轴的直线， 交点越靠右，底数越大； 秒杀结论：③确定对数值正负满足两个一致原理：即对数真数与底数范围一致为正，不一致为负，对应区间为：。 4. 为奇函数 为偶函数 为奇函数 为奇函数 为奇函数 5.奇函数性质 定义在R上的奇函数必过原点：在对称区间上单调性相同. 6.判断函数单调性的几个常用结论 ①判断方法:定义法、图象法、导数法.②复合函数的单调性（同调增；异调减） 对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． ③函数相加或相减后单调性 设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减） 若函数，在区间上具有单调性，则在区间上： ①与具有相同的单调性； ②与，当时单调性相同；当时，单调性相反； ③当、都是增（减）函数时，则当两者都恒大于0时，是增（减）函数；当两者都恒小于零时，是减（减）函数． ④当恒不为零时，与具有相反的单调性． ⑤当时，与具有相同的单调性． 注意： （1）判断单调性不等同于证明单调性． （2），都是增（减）函数时，不一定是增(减)函数．如，，则在上不是增（减）函数．同理，也不一定是增（减）函数． （3），都是增（减）函数时，增(减)函数 （4）增 函数，减函数， 增 （5） 减函数，增函数， 减 7.函数的奇偶性 ①判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). ②对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性. ③，在它们的公共定义域上有下面的结论： （1） 、都是偶函数时，、、、偶函数 （2） 、都是奇函数时，、、、 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 （3） ， 一奇一偶函数 ， 则 ，， ， 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 8.函数的周期性 函数周期性的常用结论与技巧（同号周期） 设函数，. ①若，则函数的周期； ②若，则函数的周期； ③若，则函数的周期； ④若，则函数的周期； ⑤，则函数的周期 9.函数对称性的重要结论 （1）轴对称：若函数关于直线对称，则 ①；②；③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ① ②③ 特殊 若f(-x)=-f(2+x)则f(x)的图像关于点（1,0）对称 若f(-x)=f(2+x)则f(x)的图像关于点x=1对称 若y=f(x+1)是奇函数则y=f(x)的图像关于点（1,0）对称 若y=f(x+1)是偶函数则y=f(x)的图像关于x=1对称 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $